digits dataset 是一个包含手写数字图像的数据集，是机器学习入门常用的数据集之一。这个数据集由1797个8x8像素的手写数字图像组成，每个图像可以看作是一个8x8的矩阵。每个图像都是灰度的，矩阵的每个元素代表一个像素的灰度值。这些图像代表了0到9的数字，每个数字大约有200个样本。前200个数字长这样子：
1.小规模：数据集的规模相对较小，非常适合用于算法测试。
2.多类分类：包含10个类别（0-9的数字）。
3.高维特征：每个图像可以看作是64维的特征向量（8x8像素，如下图所示）。
1. images：一个形状为 (1797, 8, 8) 的数组，存储了每个图像的8x8像素矩阵。
2. data：一个形状为 (1797, 64) 的数组，是将每个8x8的图像矩阵展平成一个64维的特征向量。所有像素值都被转换成了一个长向量，这样这些向量就可以直接用于机器学习模型的输入。这种展平操作也是图像处理中常见的数据预处理步骤。
3. target：一个形状为 (1797,) 的数组，存储了每个图像所代表的数字类别，即0到9之间的整数。
4. target_names：一个列表，包含了目标类别的名称，即从0到9的数字。
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.datasets import load_digits
from sklearn.decomposition import PCA
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
# 加载数据集
digits = load_digits()
X = digits.data # 数据集中的特征（64维向量）
y = digits.target # y变量存储了每个样本对应的标签（0-9的数字）
# 标准化数据
scaler = StandardScaler()
X_standardized = scaler.fit_transform(X)
# 执行 PCA，降维到2维
pca = PCA(n_components=2) # 我们将数据降到2维
X_pca = pca.fit_transform(X_standardized)
# 输出主成分解释的方差比例
print("主成分解释的方差比例:", pca.explained_variance_ratio_)
print("前两个主成分的累积解释方差:", np.sum(pca.explained_variance_ratio_))# 可视化降维后的数据# # 绘制累积方差图表（如果要展示所有主成分的累积方差比率，前面的语句应改为：pca=PCA()不指定降维的维度）
# plt.figure(figsize=(8, 4))
# plt.plot(np.arange(1, len(pca.explained_variance_ratio_) + 1), np.cumsum(pca.explained_variance_ratio_), marker='o')
# plt.xlabel('主成分数量')
# plt.ylabel('累积解释方差比率')
# plt.title('PCA 累积解释方差比率')
# plt.grid(True)# plt.show()
plt.figure(figsize=(8, 6))
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False
scatter = plt.scatter(X_pca[:, 0], X_pca[:, 1], c=y, cmap='viridis', edgecolor='k', s=40)
plt.xlabel('主成分 1')
plt.ylabel('主成分 2')
plt.colorbar(scatter, label='数字标签')
plt.title('数字数据集PCA（二维投影）')
plt.grid(True)plt.show()
对于上面的手写数据集，第一主成分通常是解释数据中方差最大的方向，即在这个方向上，数据的“扩散”或“扩展”最大；而第二主成分是在正交于第一主成分的条件下（即互相独立，相关系数为零），解释方差第二多的方向。
1、首先找到球的“中心点”：也就是它们平均位置的地方，这就像是数据的“平均值”。
2、观察球的分散情况：观察球在地板上沿着不同方向的分散情况，你会发现球沿着某些方向比沿着其他方向分散得更广。
3、找到分散最广的方向：假如沿着某个特定的方向（比如从左到右）测量，球的距离差异最大，也就是说，沿着这个方向，球的位置差异最大。这个方向就是方差最大的方向。
4、计算主成分：在PCA中，我们寻找的就是这样的方向，但不是在二维的地板上，而是在数据可能存在的多维空间中。PCA会计算出那个方向（主成分），它能够最好地代表数据点之间的差异。
5、降维：一旦找到了方差最大的方向，PCA还会寻找第二个方向，它与第一个方向正交（即两者之间形成90度角），并且能够捕捉到剩余的最大方差。这个过程可以继续，直到所有的主成分都被找到。
在PCA中，第一个主成分（PC1）就是那个捕捉数据中方差最大的方向，第二个主成分（PC2）是与第一个正交且捕捉次大方差的方向，以此类推。通过这种方式，PCA能够将数据降维到最重要的几个方向上，同时尽可能保留原始数据的信息。
