线性代数学与练第30讲：正定二次型及二次曲面类型的判定

通过上一讲的讨论我们知道，二次型的标准形是不唯一的，但是标准形的所含项数和正、负项的数量也是确定的，体现这样的性质的二次型的描述形式则是规范形，它比较直观地反映出了这些性质。在科学技术上用得较多的二次型是正惯性指数或负惯性指数就等于二次型包含变量个数的二次型，对于这样的二次型也称为正定二次型或负定二次型，这也是咱们这一讲主要讨论的内容。

本讲的任务：首先介绍二次型的分类，然后讨论正定二次型的判定和介绍其它类型的二次型，最后讨论二次型的一个几何应用，关于二次曲面的分类和类型的判定。

一、二次型的分类

定义  设二次型 ，若对任何 ，

(1) ，则称 为正定二次型，并称矩阵 是正定的；

(2) ，则称 是半正定二次型，并称矩阵 是半正定的；

(3) ，则称 为负定二次型，并称矩阵 是负定的;

(4) ，则称 为半负定二次型，并称矩阵 是半负定的；

(5) 若 不是以上类型，即既有 使得 ，也有 使得 ），则称 是不定的，并称矩阵 是不定的.

【注】：(1) 以上定义所对应结论也称为二次型与矩阵的正定性，线性代数中只有实对称矩阵，才讨论它的正定性.  所以涉及到矩阵的正定性讨论时，潜在的条件矩阵应该为实对称矩阵，对于正定性的讨论也应该首先确定所讨论的矩阵为实对称矩阵。

(2) 负定当且仅当 正定， 半负定当且仅当 半正定. 因此，只需对正定、半正定二次型（矩阵）进行讨论.

例1 判断下列二次型的正定性:

(1) .(2) .

【解】：(1) 矩阵 为实对称矩阵，令 ，则矩阵对应的二次型为

显然，当 ，故 是正定的。

(2) 矩阵 为实对称矩阵，令 ，则矩阵对应的二次型为

当 时， ；当 时， ；故 是不定的。

例 2 设 和 是 阶正定矩阵， 是正实数，证明 也是正定矩阵。

【证明】：因为 都是正定矩阵，所以 也是对称矩阵，由于

故 是实对称矩阵. 对任意非零向量 ，由于 是正定矩阵，故 ，因此

即 是正定矩阵.

二、正定二次型的判定

定理1 对 元实二次型 ，下列命题等价：

(1) 是正定的；

(2) 的标准形的 个系数都为正;

(3) 的正惯性指数为 ，即 的规范形为

(4) 的所有特征值均为正数；

(5) 存在 阶可逆矩阵 ，使得 ，即 与单位矩阵合同；

(6) 存在 阶可逆矩 ，使得 ；

(7) 的所有顺序主子式为正，即

【证明】：根据前面的讨论我们知道，对于(1)-(6)只需要证明 即可. 设有可逆变换 ，使得

(2) : 设 ，则任给 ，则 ，故

所以 是正定的.

: 用反证法. 假设有 ，不妨设 ，则当 时，则

由于 ， 显然 ， 这与 正定矛盾，从而说明假设不成立， 即 .

: 设实二次型为

是正定二次型，对每个 ，令

把 看作关于 的 元二次型，由 正定知 正定，故矩阵的行列式大于零，即 。

对 做数学归纳法. 当 时， ，由 知 正定. 假设充分性对于 元二次型成立，则对于 元的情形:

设

则 ，且 的各阶顺序主子式全为正数，则由归纳假设， 正定. 于是存在 阶可逆矩阵 ，使得 。令 ，于是

令 ，则

令 ，则 可逆且

故 与 合同. 再由 知 。故 与 均为正定矩阵. 即 的所有顺序主子式全大于零，则 正定，即二次型 为正定二次型。

【注】：(1) 实对称矩阵是正定的当且仅当它与单位矩阵合同.

(2) 正定矩阵的行列式大于零.

(3) 数值二次型和含参二次型的正定性判断一般首选计算其各阶顺序主子式的方法来讨论. 对于抽象的矩阵，由给定矩阵的正定性，利用标准型，特征值及定理中的等价描述论证相关矩阵的正定性.

例3 判断下列二次型是否正定:

【解】: 的矩阵

其顺序主子式为

因此该二次型是正定的.

例 4 当参数 为何值时，实二次型

是正定的？当 时，求二次型在正交变换下的标准形。

【解】: 的矩阵

正定，则其各阶顺序主子式为

因此，当且仅当 时，二次型 是正定的. 当 时，

此时 的三个特征值为 . 故 在正交变换下的标准形是

【证明】：设 是正定矩阵，则 是实对称矩阵且由

可知 也是一个实对称矩阵，故可讨论它的正定性。

【法 1】: 因为 是正定矩阵，所以 的特征值 全为正数，又 的特征为 ，故也全部为正数，所以 为正定矩阵。

【法 2】: 因为 是正定矩阵，所以 与单位矩阵 合同，即存在可逆矩阵 ，使得

从而有

故 为正定矩阵。

【法 3】: 设 ，由于 是可逆矩阵，故 为可逆线性变换，代入二次型，得

由于 是正定矩阵，故 正定。由于可逆变换不改变二次型的正定性，故 正定，即矩阵 是正定矩阵。

例6 设 为实对称矩阵，证明 是正定的。

【证明】: 显然 是实对称矩阵。由 是实对称矩阵知，存在正交矩阵 ，使得

于是

所以 是正定的.

例 7 设 为 阶实对称矩阵且正定， 为 实矩阵，证明: 正定当且仅当 .

【证明】：必要性：设 为正定矩阵，则对任意的实 维列向量 ，有

即 . 于是， . 因此 只有零解，从而 .

充分性: 因 为 阶实对称矩阵，则

故 为实对称矩阵. 若 ，则线性方程组 只有零解，从而对任意的实 维列向量 ，有 . 又 为正定矩阵，所以对于 ，有

于是当 时， ，故 为正定矩阵.

例 8  设 分别为 阶正定矩阵，试判定分块矩阵 是否是正定矩阵?

【解】【法 1】设 的特征值为 的特征值为 . 由题意可知

由于

于是矩阵 的特征值为 . 因此 的特征值全部大于 0 ，所以 正定。

【法 2】因为 为正定矩阵，则 ，则

即 是对称阵. 设 维列向量 ，其中

若 ，则 不同时为 0 ，不妨设 ，因 是正定矩阵，所以 ；又因为 是正定矩阵，故对任意 维向量 ，有 。于是有

又 是对称阵，故 是正定矩阵.

三、其它类型二次型的判定

定理 2 对 元实二次型 ，下列命题等价：

(1) 是半正定的;

(2) 的正惯性指数与秩相等，即 的规范形为

(3) 的所有特征值非负；

(4) 存在 阶可逆矩阵 ，使得

(5) 的所有主子式皆为非负数.

【注】：在（5）中，所有顺序主子式非负不能保证半正定性. 例如，是半负定的.

(1) 是负定的;

(2) 的负惯性指数等于 ，即 的规范形为

(3) 的所有特征值为负数；

(4) 存在 阶可逆矩阵 ，使得 ；

(5) 存在 阶可逆矩阵 ，使得 ；

(6) 的所有奇数阶顺序主子式全小于零，所有偶数阶顺序主子式都大于零。

【注】: 为负定二次型的充要条件是 为正定二次型。

定理 4 (赫尔维茨定理)对称矩阵 正定的充要条件是 的所有顺序主子式为正，即

对称矩阵 负定的充要条件是 的奇数阶顺序主子式为负，而偶数阶顺序主子式为正，即

证明：存在 维实向量 ，使得 。

【证明】：设可逆线性变换 化该二次型 为规范形

则由 是不定二次型知 . 设

令 ，则 ，且

四、二次曲面的分类与标准化

数学、物理学和工程技术中很多问题的研究都涉及到二次型. 在几何空间中二次型通常代表不同类型的二次曲面. 多元函数的极值问题也可以利用二次型来研究.

下面讨论利用二次型的正交变换将一般二次曲面方程化为最简形式的问题进行研究，同时给出化简后的标准方程.

在空间直角坐标系 确定的 中，一般的二次方程可以描述为

它在空间直角坐标系中描述的图形称为二次曲面. 曲面的类型主要由二次项部分决定，一次项部分不改变曲面图形的形状，仅仅改变其位置，它们可以通过坐标轴的平移消去. 因此这里把二次项部分拿出来单独讨论.

令 ，且

其中

为实对称矩阵. 设正交矩阵 化 为对角矩阵，即

  为 的 3 个特征值，则由函数符号的无关性，有

其中 .

【注】: 设 是二元正定二次型，则 为常数) 的图形是以原点为中心的椭圆，当把 看作任意常数时则是一族椭圆。当 为三元正定二次型时，的图形是一族棈球. 比如二次型

它的矩阵为

由于

故 正定. 由于 的特征值为 ，故它经过正交变换可以转换为 ，所以如果 ，则它转换后的三元方程为

将它们的图形放在同一坐标系中，图形效果如下.

根据 的不同取值情况，可将二次曲面分为五大类，得到 17 种标准方程.

1、若 且同号，则配方消去一次项后，总可得到下面三种标准方程之一:

(1) ，椭球面，特别地，若 ，则为球面；

(2)   ，虚椭球面（在实空间中不存在）；

(3) ，点 (原点).

2、若 且异号，则消去一次项后，总可得到下面三种标准方程之一:

(4) ，单叶双曲面；

(5) 双叶双曲面；

(6) ， 二次锥面.

3、若 中恰有一个为 0 ，另两个同号，则总可得到下面四种标准方程之一:

(7) ，椭圆抛物面；

(8) ，椭圆柱面;

(9) ，虚椭圆柱面;

(10) ，直线.

4、若 中恰有一个为 0 ，另两个异号，则总可得到下面三种标准方程之一:

(11) ，马鞍面;

(12) ，双曲线柱面；

(13) ，一对交叉的平面.

5、若 中恰有两个为 0 ，则适当变换后总可得到下面四种标准方程之一:

(14) ，抛物线柱面;

(15) ，一对平行平面;

(16) ，对应着一对虚平行平面;

(17) ，一对重合平面.

例 10 设二次方程为 ，将该方程化为最简形式，并判断它所表示的曲面类型。

【解】：该方程二次项对应的实对称矩阵

由特征方程

求得 的特征值为 . 求出对应的特征向量为:

对前面两个向量施行 Gram-Schmidt 正交化，得

令

则原二次方程化为

配方，得

令 ，得

因此该方程表示的是单叶双曲面.

【注】：如果三元二次方程仅仅包含二次项和非零常数项，则一般直接通过二次型对应的矩阵的特征值可以直接确定曲面的类型，即三元二次方程为

经过正交变换可以直接转换为

然后对比该方程与上面标准方程结构可以确定图形类型. 如果包含有一次项，则要经过最后的平移变换后再具体情况具体分析. 比如上式中常数项不为 ，而等于 ，则配方后的常数项不为 ，而是 ，图形则为双叶双曲面.

练习题

1、填空题:

(1) 设 为 3 阶实对称矩阵，如果二次曲面方程

在正交变换下的标准方程为双叶双曲面方程，则 的正特征值个数为（）

(A) 0(B) 1(C) 2(D) 3

(2) 设二次型 ，则 在空间直角坐标系下表示的二次曲面为 ( )

(A) 单叶双曲面(B) 双叶双曲面

(C) 椭球面(D) 柱面

2、判断下列二次型的正定性.

(1) .

(2) .