教学研讨｜2.3.3点到直线的距离公式 B（2019版新教材）

文摘 2024-11-05 22:54 广东

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导读：

运用坐标法求点到直线的距离，计算思路与方法容易想到，但推导过程中运算难度很大，这是本课时的难点之一.用向量法推导点到直线的距离公式，是向量投影、数量积运算的具体应用.学生在上一章学习中已经有了用投影向量的模长刻画距离的经验，将上述经验进行优化，得到更简洁的方法是本课时的另一个难点.

研讨素材一

一、教材分析

教材截图

（考虑到研讨时部分教师未带有2019版课本，这里对教材截个图）

教材分析：

1.用坐标方法推导点到直线的距离公式

本小节首先设置“探究”，在已知点P的坐标和直线乙的方程的条件下，让学生探究如何求点P到直线l的距离.

如图2-6,

根据点到直线距离的定义，求点P到直线的距离就是求|PQ|。

根据直线PQ与已知直线/垂直，可以获得直线PQ的斜率，进而得到直线PQ的方程，由直线PQ和直线的方程，可以求出它们的交点Q的坐标，利用两点间的距离公式，求出|PQ|是最常见的一种方法，也是基本方法.

教材指出，这种方法思路自然，但运算量较大，教师要询问学生，是否有这样的体会，教材在分析引起复杂运算原因的基础上，提出探究简化运算方法的任务，采取“设而不求”的策略，将方程组

转化为关于x-x₀,y-y₀的方程组

将③④两边分别平方后相加，得

(A²+B²)(x-x₀)²+(B²+A²)(y-y₀)²=(Ax₀+By₀+C)².

所以

教材没有给出上述完整的过程，教学时，可以先让学生探索求解的过程，然后进行补充完善.

“设而不求”是学生第一次接触，教学时教师要积极引导，“设”的是什么，“求”的是什么。

能不能把点P到直线的距离用含有所设未知数的式子表达出来，进而得到整个式子的结果，而不是式子中具体未知数的结果，这就是“设而不求”的原因.

2.用向量方法推导点到直线的距离公式

平面向量的有关知识是推导的依据。在本书第一章中用空间向量求点到直线的距离和点到平面的距离都利用了投影向量。这些为本节课用向量方法推导平面上点到直线的距离公式提供了启示.以上述内容为基础，教材介绍用向量方法推导点到直线的距离公式.在图2-7中，点P到直线l的距离，就是向量的模.

点到直线的距离是点与直线上所有点的距离中最短的。这个最短的距离是存在的、确定的，而且是唯一的.

3.其他推导方法

除了上述两种方法外，还有其他推导方法，下面再给出一种推导方法。

在两点间距离公式的推导过程中，为了得到公式，我们把它转化为与坐标轴平行的两段距离，因为与坐标轴平行的距离容易求，它是一维的，然后运用勾股定理。

为了得到PQ,我们考虑与坐标轴平行的线段，把它转化为与坐标轴平行的线段的关系.具体看下面的过程。

如图2-8,

这种方法充分借助面积，用直角三角形两条直角边的乘积除以斜边得到斜边上的高，即点到直线的距离。虽然借助了直角三角形面积的有关知识，但是上述证明方法中运算量依然很大，包括求交点的坐标、两条直角边的长度、斜边的长度等。

4.例5的教学

教学时，要注意点到直线的距离公式中，直线方程的形式为一般式时，可以直接运用公式；不是一般式的，要先化为一般式。在具体问题中，也可以结合直线本身的特点，进行求解。如本例中的直线与x轴垂直（或与y轴平行）,此时直接运用点的横坐标之差的绝对值计算更简洁.

5.例6的教学

由三角形的面积公式可知，要求三角形的面积，只要求出边AB的长和边AB上的高即可由两点间的距离公式，可以求出边AB的长；边AB上的高就是点C到直线AB的距离，所以先求出直线AB的方程，再由点到直线的距离公式求出边AB上的高，从而求出△ABC的面积.教学时，教师要引导学生分析解决问题的思路，让学生回答如何求得三角形的面积。思路明确了，可以放手让学生独立完成.

这种方法充分运用图形的几何性质，通过割补得到三角形的面积.无论是获得△ACD,还是△CBD的面积，都用到了直线与x轴相交，通过它们的方程求得相应点的坐标，进而求得相关底边的长度，这种方法是综合法和坐标法结合使用，充分借助图形本身的几何性质，也就是割补三角形面积，而这两个三角形的面积容易求出，这种方法，有一定的技巧，很难想到，教学时，可以先让学生思考，在思考的基础上，教师提示割补的方法，方法清楚后，让学生独立完成后续的过程。

【本文大部分内容选自《普通高中教科书教师教学用书数学选择性必修第一册》，版权归原作者、原出版者所有，摘录、转载是为没有带纸质用书时研讨使用】

二、教学目标和目标解析

1.利用坐标法推导并掌握点到直线的距离公式；

2.利用向量法推导点到直线的距离公式，掌握用向量法推导的分析过程，体会向量法和坐标法的差异.

三、教学重点、难点

教学重点：点到直线的距离公式.

教学难点：点到直线的距离公式的推导.

四、数学学科素养

直观想象、数学运算、逻辑推理和数学抽象

五、教学过程：见《研讨素材二》

教学研讨｜2.3.3点到直线的距离公式 A （2019版新教材）

研讨素材二