教学研讨｜ 4.2.1 指数函数的概念 （2019版新教材）

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导读：       

     1.如果你是第一次教2019版新教材，请先阅读：4.2 指数函数 （2课时，单元教学设计 2019版新教材），然后阅读本文，谢谢！

     2. 概念引入要突出过程:

  教材先给出2个实际问题情境，并通过问题解决得到2个关系式：然后引导学生分析这些关系式的特点，努力让学生感悟到：这是一组函数关系式——它符合函数的定义；这样的函数关系式很有用，值得关注——它们全部来自现实生活；这样的函数关系式从未见过，是新生事物；进一步地，它们有何共同特点——自变量在指数位置……让学生尝试概括指数函数的概念.在整个建立概念的过程中，一是要给学生充分的观察、比较、分析、概括的时间和空间；二是要悉心的启发引导学生自主建构概念.特别是概括事物的本质属性，要给学生充分的思考时间，比如，让学生相互讨论交流，让学生再举出类似的例子.

  3.一般而言,定义一类函数，应该明确如下四个要点：

（1）这类函数的现实背景是什么？它刻画了哪类运动变化现象？

（2）决定这类运动变化现象的要素是什么？

（3）要素之间的相互关系如何？

（4）可以用怎样的数学模型来刻画？

其中，（1）是弄清楚这类运动变化现象的基本特征，这是明确研究对象的过程；（2）、（3）是对这类运动变化现象的深入分析，从中析出常量、变量及其依赖关系，这里的“依赖关系”常常要借助运算建立对应关系；（4）是以“依赖关系”为导向，利用代数、几何中可以表示这些关系的数学式子、表格、图形等（中学阶段主要是多项式、指数式、对数式、三角式等）加以明确。

4.通过图像直观（定性）和数学运算（定量）获得函数

根据以上3的要求，为了使学生明确指数函数反映了现实世界中哪类事物的变化规律，教材编者精心创设问题情境，让学生通过对具体实例中包含的各种量（常量、变量）及其关系的分析，发现并归纳它们的共性，在此基础上概括出指数函数定义并给出符号表示。为了使学生能顺利地展开抽象活动，教材编者通过设计不同类型的变化现象，为指数函数提供可类比的对象，使学生获得抽象指数函数概念的路径与方法的启发，在比较不同类型函数变化差异的过程中得出指数函数的定义。

教材编者基于这样的思考，创设了如下问题情境：

问题1随着中国经济高速增长，人民生活水平不断提高，旅游成了越来越多家庭的重要生活方式。由于旅游人数不断增加，A,B两地景区自2001年起采取了不同的应对措施，A地提高了景区门票价格，而B地则取消了景区门票。表1是A,B两地景区2001年至2015年的游客人次的逐年增加量。比较两地景区游客人次的变化情况,你发现了怎样的变化规律？

如何发现数据中蕴含的变化规律？可以先通过画散点图（图2、图3）感受一下:

结合图、表可以发现，A地游客人次近似于直线上升，年增加量基本稳定在10万人次；B地游客人次变化规律看不出来，怎么办？我们知道，代数运算是发现数据中蕴含规律性的基本方法，年增加量的计算用减法，而用除法则可得游客人次的“年增长率”：

于是,B地游客人次的年增长率约为1.11-1=0.11,是一个常数。增长(或衰减)率是一个常数,它是决定这种变化规律的要素,称为指数增长(衰减)。如果设经过x年后的游客人次为2001年的y倍,那么

这是一个函数，其中指数x是自变量。

以上过程，通过做减法得到了游客人次的年增加量，通过做除法得到了游客人次的年增长率，而增加量、增长率恰是刻画事物变化规律的两个很重要的量。

接着，教科书给出问题2：

当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的衰减比率（简称为衰减率）衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”

按照上述变化规律，生物体内碳14含量与死亡年数之间有怎样的关系？

设生物死亡年数为x,死亡生物体内碳14含量为y,那么y与x之间的关系为,

即

在这个函数中,指数x也是自变量。死亡生物体内碳14含量每年都以的衰减率衰减。像这样衰减率为常数的变化方式,我们称为指数衰减。因此,死亡生物体内碳14含量呈指数衰减。

归纳①②的共性,并考虑到指数时有意义,我们就可以在一般意义上给出刻画这类现象变化规律的函数定义:

函数叫作指数函数,其中指数x是自变量,定义域是R

【引用文献：章建跃, 王翠巧. 用代数运算和函数图像研究指数函数与对数函数——人教A版"指数函数与对数函数"教材介绍[J]. 中学数学教学参考：上旬, 2019, 000(034):P.18-25.】

一、教材分析

教材截图

（考虑到部分教师未有2019版课本，这里对教材截个图）

教材分析：

      1.问题的提出

      问题1是旅游经济的问题，A,B两地游客人数的增长和经济指标都源于真实数据，贴近现在国内的实际，利于学生从实际出发体会函数是刻画实际问题变化规律的数学模型；两地游客人数的变化一个呈指数增长、另一个呈线性增长，这种对比有利于学生理解指数函数的概念。这样的背景实例还具有一定的教育意义，即促进学生了解国家经济的发展、关心社会。教学时，也要注意发挥这个问题的数学育人的功能.

       问题2是碳14衰减的问题，生物体内的碳14含量随时间呈连续的指数衰减变化，这是一个经典的指数函数实例，有利于指数函数概念的理解。

   问题1和问题2一个是增长问题，一个是衰减问题，两个问题有利于学生从实际出发全面地认识指数函数，实际上，科学研究表明，宇宙射线在大气中能够产生包括碳14在内的放射性物质，碳14的衰减非常有规律，其准确性可以称为自然界的“准确时钟”.动植物在生长过程中衰减的碳14,可以通过与大气的相互作用得到补充，所以活着的动植物体内的碳14含量不变.死亡后的动植物停止了与外界的相互作用，体内原有的碳14按确定的规律衰减，半衰期为5730年，这也是考古中常用碳14来推断年代的原因，教学中还可以让学生通过“阅读与思考”进一步了解放射性物质的衰减。 

    2.指数函数概念的抽象概括

    教材是通过问题1和问题2,分以下三步逐步抽象概括出指数函数的概念。

首先，从问题1出发，分别通过变量的数据和这些数据的图象初步抽象出实际问题的变化规律，教学中要先让学生观察数据的变化情况，当不能发现数据的变化规律时，引导学生采取其他方法发现变化规律，比如将数据转化为图象形式进行观察，通过图象可以直观地看到变化的趋势，但还不能准确地刻画这一变化规律.

    其次，引导学生利用已知数据来说明图象的变化规律，并从图象中得到启发去处理数据，从而数形结合地发现实际问题变化规律的本质。在问题1中，图象显示A地景区的游客人次呈线性增长，B地景区的游客人次呈非线性增长，这两种增长变化如何用数量表示？由此引出通过对数据进行运算来探究数据变化规律的一种基本方法，分别对A,B两地景区的数据做减法和除法运算可以发现，年增长率相等是B地景区数据变化规律的本质.

    最后，给出具体问题变化规律的数学表示, 并归纳概括出指数函数的一般表达式. 根据 问题1 中B  地景区旅游人次年增长率相等的这一变化规律的本质, 可以得到解析式:

由问题2 可以得到解析式

. 

尽管两个问题的实际背景不同, 但它们的解析式都具有

的形式. 所以, 就可以抽象概括出

“函数叫做指数函数, 其中指数x是自变量, 定义域是R.

通过抽象和概括指数函数概念, 可以帮助学生发展数学抽象的核心素养.

    3.指数增长和指数衰减的引入

    教材在抽象概括指数函数概念的过程中，引入了指数增长和指数衰减。通过除法运算发现，B地景区游客人次每年都以相同的增长率在增长，像这样增长率为常数的变化方式就是指数增长。同样地，死亡生物体内碳14含量每年都以相同的衰减率在衰减，像这样衰减率为常数的变化方式就是指数衰减。其实，增长率或衰减率相等在一定程度上体现了指数函数增长或衰减变化的本质.

    对于指数函数, 其本质特征是：

  对任意

因此, 两个实例中指数增长或指数衰减的本质可以用下列式子体现: 

当时, 

上式即

可见, 两个具体事例引入指数增长和指数衰减可以帮助学生更清楚地认识指数函数的概念,更好地把握指数函数变化规律的本质.

     4.例题教学

      例1不仅可以让学生熟悉指数函数的解析式和对应关系，还可以让学生学习利用函数解析式列方程求底数a的值.

      例2通过利用指数函数概念解决问题1和问题2有关的问题，让学生进一步了解指数函数的实际意义，并理解指数函数的概念。同时引出形如

的刻画指数增长或指数衰减变化规律的函数模型。当初始量k(x=0时y的值）不为1时，一般就用这种函数刻画具有指数增长或衰减变化规律的实际问题.

结合例2,还可以让学生举出几个指数型函数的例子，这些例子可以是学生课外搜集的具有指数增长或衰减规律背景的具体实例，也可以是本章涉及的有关实际问题的具体实例，通过这些实例增强对指数函数模型的认识.

二、单元教学目标和目标解析

  1.通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念．

  2.结合指数函数概念的研究，进一步体会研究具体函数的一般思路和方法，提升数学抽象、直观想象素养．

三、教学重点、难点

  重点：理解指数函数的概念和意义；

  难点：理解指数函数的概念.

四、数学学科素养

1.数学抽象：指数函数的概念；

2.逻辑推理：用待定系数法求函数解析式及解析值；

3.数学运算：利用指数函数的概念求参数；

4.数学建模：通过由抽象到具体，由具体到一般的思想总结指数函数概念.

五、教学过程：见本文《教学过程赏析》

六、教学课件：见本文《研讨素材二》

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