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导读：
运用圆的方程判断圆与圆的位置关系，并解决简单的问题。
图形之间的位置关系，既可以直观定性描述，也可以严格定量刻画。定量刻画的方法既可以完全运用代数的方法，通过运算求解，得到图形的性质：也可以综合使用几何方法、代数方法，得到图形的性质，在本节的教学中，应引导学生根据初中学习图形与几何的经验以及本章前面所学内容，类比用直线的方程研究两条直线的位置关系、直线和圆的位置关系，研究运用圆的方程判断圆与圆的位置关系。
一、教材分析
教材截图
（考虑到研讨时部分教师未带有2019版课本，这里对教材截个图）
教材分析：
1. 圆与圆的位置关系的判定
与判断直线与圆的位置关系一样，判断圆与圆的位置关系也有两种思路：一种是根据两个圆公共点的个数判断两圆相交、相切、相离，从而得到利用两个圆的方程组成的方程组解的情况来判断的方法；另一种是根据连心线的长与半径和或差的大小关系，利用方程求出连心线的长，比较连心线的长与两圆半径和差的大小关系来判断的方法：
设圆C1的半径为r1,圆C2的半径为r2,则
(1)当连心线的长大于r1+r2时，圆C1和圆C2相离；
(2)当连心线的长等于r1+r2时，圆C1和圆C2外切；
(3)当| r1+r2|小于连心线的长，且连心线的长小于r1+r2时，圆C1和圆C2相交；
(4)当连心线的长等于| r1+r2|时，圆C1和圆C2内切；
(5)当连心线的长小于| r1+r2|时，圆C1和圆C2内含.
2.例5的教学
例5是已知两圆方程判断两圆的位置关系，教材给出了两种解法.
解法1中，把圆C1与圆C2的方程联立，得到方程组
①-②，得
x+2y-1=0……③
教材用“边空”提问形式提示：“画出圆C1与圆C2以及方程③表示的直线，你发现了什么？你能说明为什么吗？”
因为由方程①②组成的方程组的解（x,y)必定满足方程③；而方程组有两组实数解，即两圆C1,C2有两个公共点A,B,这两个公共点必在方程③确定的直线上；又因为两点确定一条直线，因此方程③表示的直线就是两圆公共弦所在的直线（图2-12).
例5只要判断是否有公共点，并不要求求出公共点的坐标，因此不必求出方程组
的两组解.
事实上，解方程组可得
因此，两圆有两个公共点，它们的坐标分别为（3,-1)和（-1,1).
解法2中，要判断圆C,与圆C2相交，不仅需要判断连心线的长与r1+r2的关系，还要判断连心线的长与| r1－r2|的关系，只有当| r1－r2|小于－连心线的长，且连心线的长小于r1+r2时，圆C1与圆C2相交
3.例5后的“思考”
例5中的圆与圆是相交关系，关于圆与圆的其他位置关系教材在例5后设置了“思考”。
教学中教师要注意引导学生借助图形分析，得到答案：对于两圆方程联立消元后得到的二元一次方程与两圆中任意一个方程联立得到的一元二次方程，如果△=0,则两圆相切（这个二元一次方程表示的直线是经过两圆切点的公切线）;此时无法判定两圆是内切还是外切，还要根据两圆的半径与圆心距之间的关系作进一步判断；如果△<0,两圆相离或内含。
4.例6的教学
例6是探究满足某种几何条件的动点的轨迹问题，这是完整体现运用坐标法研究几何问题的典型例子、教学时首先要引导学生回顾例3与例4后总结的用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”，在此基础上引导学生提出探究思路：
(1)如何建立平面直角坐标系，什么样的平面直角坐标系是适当的？哪些几何要素需要用坐标表示？
受圆的标准方程建立的启发，考虑到对称性，以线段AB的中点O为原点，AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立的坐标系是适当的.
(2)如何用坐标分别表示点M与点A、点B的距离？
建立坐标系后，我们用坐标表示问题中的几何要素：用坐标表示点，用两点的坐标通过两点间的距离公式刻画这两点间的距离。对代数表达式进行化简，得到轨迹的方程。
(3)分析方程表示的轨迹图形，引导学生理解轨迹与方程间的关系.
从轨迹方程我们知道它表示的图形是以P(6,0)为圆心，半径为的一个圆.而在得到轨迹方程之前，我们可以想到点的轨迹可能是一条封闭的曲线，但很难想象这个轨迹是一个圆，更无法想到其圆心和半径的大小，这正是坐标法的作用与价值.
在例6的教学中，有条件的学校可以借助信息技术工具，探究点M的轨迹。如图2-13,利用信息技术工具作出点A(-2,0),B(2,0),设置参数k,作线段CD并度量出其长度，以点B为圆心，CD长为半径作圆B,以点A为圆心，k·CD长为半径作圆A,圆B与圆A交于点M,改变CD的长度，就可以得到点M的轨迹，如图是取参数k=≈1.41,即
时点M形成的轨迹
为进一步拓展学生思维，教材在此设置了一个“边空”问题供学生思考：“如果把本例中的“倍”改为“k(k>0)倍“，你能分析并解决这个问题吗？”教学时，可根据学生的实际情况，引导学生思考分析，
设点M的坐标为（x,y),由IMA|=k|MB|,得
化简，得
当k=1时, 方程为x=0 , 可知点M的轨迹是线段A B的垂直平分线;
当
时，方程可化为
点M的轨迹是以
的圆.
【本文大部分内容选自《普通高中教科书教师教学用书数学选择性必修第一册》，版权归原作者、原出版者所有，摘录、转载是为没有带纸质用书时研讨使用】
二、教学目标和目标解析
1.理解圆与圆的位置关系，掌握对圆与圆的位置关系进行判断的两种方法.
2.类比直线与圆研究位置关系的方法，探究用方程判断两圆位置关系的方法.
3.掌握用坐标法求动点的轨迹的基本方法.
三、教学重点、难点
教学重点：
1. 理解圆与圆的位置关系，掌握圆与圆位置关系的判断方法.
2. 会用坐标法求动点的轨迹.
教学难点：
1. 利用圆的方程判断圆与圆的位置关系.
2. 理解动点轨迹.
四、数学学科素养
直观想象、数学运算、逻辑推理和数学抽象
五、教学过程：见《研讨素材二》
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| 4.1.1 圆的标准方程 |
| 课例分析 | 圆的标准方程 |
| 课例分析 | 圆的一般方程 |
| 4.2.1 直线与圆的位置关系 |
| 课例分析 | 直线与圆的位置关系 |
| 4.2.2 圆与圆的位置关系 |
| 原创 课例分析 | 圆与圆的位置关系 |
| 4.2.2 圆与圆的位置关系(精品) |
| 4.2.3 直线与圆的方程的应用 |
根据文末留言的要求，考虑到高一学生预习的需要，这里提供教材的练习、习题及复习参考题等等习题答案，可能有错漏，仅供各位学生朋友参考。
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