一、分析框架

《课标(2017)》指出，数学抽象的主要表现为：获得数学概念和规则，提出数学命题和模型，形成数学方法与思想，认识数学结构与体系[1].本文以此作为数学抽象素养的分析框架来具体分析现行教材.

1 获得数学概念和规则

数学抽象的一个重要表现是数学概念和规则的获得.根据抽象程度的不同，史宁中教授将数学抽象过程细分为三个阶段：

一是简约阶段，把握事物本质，把复杂问题简单化并条理清晰的表达；

二是符号阶段，去掉事物的具体内容，利用符号和关系术语等表述已简约化的事物；

三是普适阶段，通过假设和推理，建立法则或者模型，能在一般意义上描述具体事物的特征或规律[4].

这三个阶段相互连接，后一个阶段建立在前一阶段的基础之上.数学概念的获得包括概念形成和概念同化两种基本方式.数学概念的形成，通常会经历以上三个阶段：

首先，从直观的背景、具体的材料中抽离出事物的本质特征；

其次，对抽象概括对象给予一般表示，并且用符号进行表述；

最后，根据符号阶段得出的结论进行定义，形成概念系统进行应用.

2 提出数学命题和模型

数学抽象的一个重要过程是数学命题和模型的提出.数学命题和模型不仅是对数学事实的抽象概括，还具有“工具性”特征，可用于实现“知识迁移”，即来解决某一类问题.因此，对数学命题和模型的抽象不仅需要关注抽象的结果，还需要关注数学抽象的过程[5].

学生在体验和完成学习活动后，获得模型化解决问题的能力，进而将数学与现实世界进行联系；同时，学生经历完整的数学命题的抽象过程，需要理解数学抽象的“基本套路”，获得数学抽象的基本活动经验.

其中，数学抽象的“基本套路”是上述数学抽象的三个阶段的具体步骤(如图1)：

从“辨别”到“抽象”为简约阶段，抽离事物本质；

从“概括”到“形式”为符号阶段，完成符号表达；

从“系统”到“运用”为普适阶段，形成理论并运用到具体情境.

3 形成数学方法与思想

数学抽象的一个重要产物是数学方法与思想的形成.

数学方法与思想作为数学抽象的产物，蕴含于数学抽象过程中；

同时，依托数学方法与思想可以反过来加深对数学抽象的理解.《课标(2017)》提出“运用数学抽象的思维方式思考并解决问题”的表现要求，史宁中教授认为“思维方法的教育是数学思想与思维经验之和”，因此在培养数学抽象素养的过程中要重视形成数学方法与思想，进而真正认识并形成数学抽象的思维方式.

综合来说，挖掘教材中的数学方法与思想会指向数学抽象素养的提高；数学抽象素养的提升有助于领悟数学方法与思想.

4 认识数学结构与体系

数学抽象的一个更高水平是形成数学结构与体系.通过数学结构与体系的抽象可以看清知识的“来龙去脉”，认识到数学理论体系的完善过程，以及不同研究领域之间的联系与统一性.

在高观点下对知识进行系统梳理以及完整描述某个数学领域的知识体系，可以让学生理解通过数学抽象所得知识的重要性及必要性，进而展现数学抽象的独特魅力.

二、教材分析- 以函数单调性为例

“函数单调性”是人教A版高中数学实验教科书必修一第一章第三节“函数的基本性质”的内容.基于前面的分析框架，以该节教材内容为例，具体阐释在函数单调性的教学中如何培养学生的数学抽象素养.

1. 教材中的“数学概念和规则的获得”

从教材知识编排上看，学生在初中阶段接触了一些常见的初等函数的图象，对函数图象的增减性有了初步的感性认识.

在高中阶段学习函数单调性的概念，可以从数和形的直观感受出发，研究自变量变化时函数值的变化规律，通过定量分析解释定性结果来理解单调性的概念.

从抽象过程上看，单调性的定义是通过函数图形语言到自然语言、再到符号语言逐步抽象得出的,其中涉及到了基于几何直观的抽象、对数学研究对象之间关系的抽象和构建模型抽象，从不同抽象层面上去培养了学生的数学抽象素养.

函数单调性概念的获得，需要认识到概念的本质.

对抽象的数学概念进行剥茧抽丝，通过全面分析做到深入理解.

从教材的编排内容可以看出，函数单调性概念的获得，恰好经历了史宁中教授提出的“三个阶段”的抽象：

一是在“简约阶段”中，观察图象直观感受，通过“上升”“下降”描述图象的变化规律，抽象出函数的本质特征；

二是在“符号阶段”中，使用数学符号语言表达增(减)函数定义，构造概念关系特征，其中“任意”两字的理解是一个难点；

三是在“普适阶段”中，完善单调性的知识体系，运用单调性定义解决问题，通过例题设置提升问题解决水平和思维抽象素养，让学生在课堂收获“带得走的东西”.

2 .教材中的“数学命题和模型的提出”

函数单调性概念的抽象过程需要通过数学探究活动让学生去经历.

函数单调性的探究活动设置是让学生参与到数学命题的建构过程中，获得对数学抽象过程的体验与感知，让学生在认知领域进行数学概念的再发现、再创造，从而培养学生的数学抽象素养.探究活动内容包括：

让学生经历函数单调性的抽象过程，尝试从具体的直观特征到利用符号形式化表达数学定义，构建出概念形成系统并具体应用.以下将基于教材中的数学探究活动的设置，分析教材是如何与上述数学抽象过程的“基本套路”相对应来设置探究活动内容，从而让学生经历函数单调性的完整抽象过程.

2.1 图象直观，抽离本质

教材问题1 观察图2中的函数图象，你能说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律吗？

问题1的设置是为达到数学抽象过程中起初的“辨别”和“分化”两个步骤.

第一步“辨别(刺激模式)”：从学生认知基础入手，学生在初中阶段学习了一些常见初等函数，能够感受函数图象的变化规律，由此通过观察直观的函数图象引出课题，达到外部刺激引入情境的效果.

第二步“分化(各种属性)”：依据具体图象来感知函数的性质，在多种函数的性质中，函数图象有递增递减的属性是学生从各种特征当中较为容易分化出的一个特性.

教材问题2 研究一次函数f(x)=x和二次函数f(x)=x2的图象，描述这两个函数图象的单调性.

问题2的设置是为达到数学抽象过程中的“类化”和“抽象”两个步骤.第三步“类化(共同属性)”：

观察图3，可以看到，函数f(x)=x的图象由左至右是上升的；函数f(x)=x2的图象在y轴左侧是下降的，在y轴右侧是上升的.对具体函数图象变化的认识，用图形语言描述函数图象特征，抽离出它们所共有的“上升”“下降”的共同属性.

第四步“抽象(本质属性)”：在引导学生类化出函数“上升”“下降”的共同属性后，可以自然地揭示出函数“变中不变”的本质特征，也就是函数图象的“上升”“下降”反映了函数的一个基本性质——单调性.

2.2 抽象概括，符号表达

教材问题3 如何描述函数图象的“上升”“下降”？

问题3的设置是为达到数学抽象过程中的“概括”这一步骤.

第五步“概括(形成概念)”：

通过问题引导学生从图形语言过渡到用自变量x与对应的函数值y之间关系的自然语言.以二次函数f(x)=x2为例，结合图象与列表，让学生用自然语言描述出函数图象“上升”“下降”的特征.

也就是，函数f(x)=x2图象在y轴左侧“下降”，即在区间(-∞,0]上，f(x)随着x的增大而减小；图象在y轴右侧“上升”，即在区间(0,+∞)上，f(x)随着x的增大而增大.

教材问题4 怎样利用函数解析式f(x)=x2描述“随着x的增大，相应的f(x)随着减小”“随着x的增大，相应的f(x)也随着增大”？

问题4的设置是为达到数学抽象过程中的“形式”这一步骤.

第六步“形式(符号表达)”：

学生尝试用代表数量意义的数学符号来准确描述增(减)函数的形式化定义.对于二次函数f(x)=x2，用符号语言描述“在区间(0,+∞)上，随着x的增大，相应的f(x)随着增大”：

首先要反映“增大”，就需要两个数x1,x2，也就是x1<x2时，对应有函数值f(x1)和f(x2)的大小关系；

其次，定义作为本质特征的反映，需要揭示出“单调增”的“变中不变”的特性，也就是“函数值f(x)随着x的增大而增大”，为此，需要引导学生认识到“任意性”，强调x1,x2在区间上的任意性，将单调递增的特征准确地表述出来.

由此，用自然语言表述的“在区间(0,+∞)上，随着x的增大，相应的f(x)随着增大”，用符号语言描述为：

在区间(0,+∞)上，任取x1,x2，得到

当x1<x2时，有f(x1)<f(x2).

同样地，可以用数学符号语言类比描述函数f(x)=x2在区间(-∞,0]上，随着x的增大，相应的f(x)随着减小.

2.3 形成理论，拓展应用

增(减)函数定义 设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增(减)函数.

单调性定义 如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间.

教材中增(减)函数定义的给出以及单调性定义的完善是达到数学抽象过程中的“系统”这一步骤.

第七步“系统(形成理论)”：

通过以上简约阶段、符号阶段的逐级抽象，最终得到增(减)函数的一般性定义.解释说明严格单调与单调区间的含义，深化概念的理解，形成完整系统.

教材例题

例1 根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？

例2 试用函数的单调性证明物理学中的玻意耳定律(k为正常数)：对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强p将增大.

教材中例题的设置是为达到数学抽象过程中的“运用”这一步骤.

第八步“运用(理论实践)”：

教材安排的两个例题是从帮助学生把握函数单调性概念的本质出发，体现了“函数单调性”所要达到的教学目标.

例1利用图象法来判断函数的单调性以及相应的单调区间.

例2利用定义证明物理学中的玻意耳定律，使学生了解定义法在讨论函数单调性问题中的作用并掌握证明单调性的基本步骤.由此，加深对函数单调性的理解，体会用符号形式化表达数学定义的必要性.同时通过例2的学习，引导学生归纳出利用增减函数定义证明函数在给定区间上的单调性的一般方法步骤，帮助学生初步构建出用定义证明函数单调性的解题模式，增强学生的模型化解决问题的能力及应用意识，也进一步让学生感受从具体到抽象得出数学方法的数学抽象过程.其中，用定义法证明函数单调性的一般步骤为：

①取值，设x1,x2∈D,且x1<x2；

②作差，求f(x1)-f(x2)；

③变形，向有利于判断差值符号的方向变形；

      ④定号，判断f(x1)-f(x2)的正负符号；

      ⑤下结论，根据函数单调性的定义下结论.

以上教学过程中，教材内容在编排上通过逐级设问，引导学生从感性认识到理性认识，逐步抽象出函数单调性，最终提出数学命题.在实际教学过程中，教师需要给学生思考的时间和机会，鼓励学生积极参与数学探究活动，使学生通过自身尝试归纳、定义和证明，发展数学抽象素养.

3. 教材中的“数学方法与思想的形成”

函数单调性的教学不仅要求学生掌握函数单调性的理论知识，参与这一概念的形成过程，而且要让学生在完成本节课的学习之后，知道如何研究这样的性质，这一性质的研究对类似性质的研究有什么借鉴，从中挖掘出在数学抽象过程中形成的数学方法与思想.

基于这样的认识，本节课的教学要立足于培养学生数学抽象的思维能力，渗透相应的数学思想方法，体现“数学的方式”，使学生领会到数学地认识并解决问题的思想方法，这样施教才会更有深度[6].

本节教材在数学抽象过程中体现了

抽象与概括、特殊与一般、数形结合、模型化等数学思想方法.

教材通过设置问题情境让学生观察、归纳、类比，积累思维活动经验，培养学生的数学抽象能力.

例如，教材从研究两个特殊的函数f(x)=x和f(x)=x2的单调性出发，用图形语言抽象概括出函数图象特征，提升归纳的能力；再以函数f(x)=x2为例，通过数形结合，用数学符号语言描述增函数的定义，鼓励学生类比写出f(x)=x2在区间(-∞,0]上是减函数的定义；进一步发现，f(x1)和f(x2)推广到一般函数均可表示为f(x1)和f(x2)，完成从特殊函数单调性的准确表述到一般函数单调性的准确表述；

例题设置解决实际问题，培养学生数学应用的意识，体会数学模型思想.基于以上活动，达到在数学抽象的过程中形成数学方法与思想，并且数学方法与思想的形成又深化对函数单调性理解的相互作用效果.

4. 教材中的“数学结构与体系的认识”

函数的单调性这一节教材中通过借助数学抽象得出概念并应用概念的过程，让学生看清楚数学知识的发生和发展过程，也就是知识的“来龙去脉”.

研究两个特殊函数的单调性，可以借助函数的图象直接予以判断；

可倘若是已知函数解析式，却出于某种原因画不出函数图象，此时就需要借助新的代数方法对未知函数的单调性作出判断，这就是抽象的“来龙”.

在使用准确的数学语言描述的过程中，要判断在某一区间上函数的单调性，就必须指出在区间上任意两个自变量x1,x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)(或f(x1)>f(x2)).其实质就是当自变量增大时，函数值随之增大或减小，可以变换为判断x1-x2与f(x1)-f(x2)的符号关系.假若把这种关系表示成“差商”的形式，也就转换成在区间上任意两自变量x1≠x2，判断的正负符号.对这一形式的认识，在知识结构上也为后续以导数为工具研究函数单调性的学习奠定了基础.同时，在这个过程中数学抽象的魅力也体现在可以化无限为有限，通过有限的对象来替代无限的对象，进而简化研究问题.学习完单调性的定义后，例2帮助学生运用单调性来解释玻意耳定律，将抽象的知识运用到实际生活和实践中，这就是抽象的“去脉”.

整个函数单调性的抽象过程不仅展现出数学知识的来龙去脉以及知识结构的延续与升华，其中所包含的化无限为有限的思想也充分展现了数学的哲学内涵.

函数单调性作为高中阶段学生接触并研究的第一个函数性质，是后续研究函数的极值与最值的基础，通过增(减)函数定义的获得以及函数单调性概念的得出，完善函数单调性的知识体系；

同时，教材中利用数学抽象研究函数单调性的步骤与方法，为学生后续研究函数的奇偶性以及具体的基本初等函数的性质提供了依据，从而在函数性质的研究方法层面上逐步形成系统.

教材中数学抽象素养的培养途径

引用格式：邓翰香, 吴立宝, 沈婕. 指向数学抽象素养的教材分析框架与案例剖析——以人教A版"函数单调性"为例[J]. 数学通报, 2019, 58(10):6.  仅提供部分内容，更多内容详见原文。

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