怀疑一切和相信一切是两种同等方便的办法，因为两者都无须思考。
——亨利·庞加莱（1854—1912）
当时是 2013 年 6 月 6 日，午夜钟声响过了 6 分钟以后，我正在读一篇匪夷所思的文章。虽然达维德·卢阿普尔持有理论物理学的博士学位，但他在自己的博客“惊奇科学”（Science Étonnante）中写下了一篇博文，似乎证明了所有正整数的和等于-1/12，也就是说，1+2+3+4+…=-1/12。我为之着迷，但也深深感到困惑。我必须评论一下。
我是这样评论的：“这篇文章太棒了！我不明白为什么人们尝试构造各种求和方法，而不是尝试利用您用到的这些级数变换规则来扩展求和的定义。利用某些规则，比如线性性质和向级数添加为 0 的项等操作，难道我们不可能证明对于所有可以通过这些规则得到的数列，都存在唯一一种自然的求和结果吗？在我看来，这能够更好地解释 1+2+3+4+…=-1/12 这个结果，比看起来限制性太大的切萨罗求和更好，也优于解析延拓之类的技巧，因为大家会觉得这些技巧给出的结果相当随意。”
三小时之后，达维德·卢阿普尔回复了我的评论：“很有道理，的确有人这样做了。人们尝试找到一个作用在数列空间上的算子 S，它必须是线性的，在数列开头加上有限个 0 之后得到的结果也相同，而且与绝对收敛级数的通常定义相符。如果我们假设这个算子存在，那么我在博文中写下的那些有点随意的变换就是合法的，我们也会发现 1+2+3+4+…的唯一可能取值就是-1/12，但是还需要证明这样的算子（至少在某些数列上）存在，这就是切萨罗求和与解析延拓这类方法的意义所在。”
于是，大家在达维德·卢阿普尔这篇博文的评论区里展开了热烈的讨论。最引人注目的回复来自雷米·佩尔，他证明了“不存在任何发散级数的（线性、正则及稳定的）求和法能够（对所有正整数的和）给出有限的结果”。几个星期之后，轮到我在自己的博客上发表了一篇博文，其中证明了，虽然达维德·卢阿普尔的变换无法得出 1+2+3+4+…=-1/12 这个结论，但可以得出 1+2+4+8+16+…=-1。
三年之后，2016 年 9 月 8 日，我上传了一段视频，证明了所有可以通过非重心型的线性递推式再加上一个收敛级数来定义的级数都能以唯一的方式求和，我把这种满足线性、正则性及稳定性的求和称为超求和。它能够用于证明大量令人惊叹的等式，比如还有
此外，在视频的结尾，我猜想符合这些条件的级数恰好就是所有能用某种满足之前条件的方法求和的级数。我的几位（可爱的）订阅者很快就着手解决这个问题，写出了严谨的证明！
我很喜欢这段故事，因为它完美地描绘了（优秀的）研究者特有的那种好奇心。奇怪的结论会浇灌求知的渴望，以至于众多物理学家对意料之中的希格斯玻色子的发现其实感到很失望。但最重要的是，研究者会尽量避免得出结论，还会质疑结果的依据，以及自身直觉的依据。就像伊萨克·阿西莫夫所说的：“科学中最激动人心的话语，也就是预示着新发现的话语，并不是‘我发现了！’，而是‘这有点怪啊……’。”
不幸的是，某些观众的反应并不是这样的。“您写出的方程不合逻辑！”“我觉得关于无限的计算太蠢了。”“无限求和没什么用。”达维德·卢阿普尔的博文也收到了大量类似的回复。“这篇博文真是蠢得过分。”“这种假装严谨的‘证明’把我都看笑了。”“这不是惊奇的科学，而是随手乱写的伪劣证明！”对于这些粗暴的留言，达维德·卢阿普尔也很惊讶。他这样写道：“我没想到这篇博文会让那么多读者倒戈相向。”
请你也思考一下。在读到 1+2+3+4+…= -1/12 的时候，你有没有惊讶得跳起来？如果我跟你说勾股定理错了的话，你会有什么反应？如果我说，π 只是冒名顶替呢？引力并不存在呢？地表在向上加速移动呢？与通过杂交得到的品种相比，通过 CRISPR 基因编辑技术得到的转基因作物无论对人体还是对生物多样性来说都更有益呢？物理学家达成了光子（量子状态）的瞬间转移呢？存在并非有限也并非无限的集合呢？
否定那些违反直觉的奇怪假说不算是个坏习惯——虽说仅仅因为碰到这种假说就一脸敌意也不可取。如果我跟你说，我轻轻松松就登上了喜马拉雅山脉上的一座高峰，即使你不相信我，我也不会责怪你。之前，我甚至还在为偏见辩护。不要浪费太多时间去仔细思考那些我们完全有理由认为没什么前途的想法。
同样，过去的智者与大型团体为了让自己看起来更可信，会激烈反对那些他们觉得过于违反直觉的想法。传说毕达哥拉斯学派淹死了可怜的希帕索斯，因为他证明了√2是个无理数；1632 年，耶稣会禁止数学中的无穷小计算；19 世纪末，格奥尔格·康托尔提出的无限集合引来了同时代人的嗤笑，尤其是来自利奥波德·克罗内克的猛烈批评，他用到了类似“招摇撞骗”“叛徒”和“腐蚀青年人”等侮辱性的字眼；即使到了 20 世纪 70 年代，曼德尔布罗分形那种不同寻常、粗糙不平的新几何结构也被同时代的许多著名数学家激烈攻讦，对他们来说，真正的几何结构应该是平滑、连续、可微分的。
然而，在所有这些例子当中，数学界并没有把对新想法的否定一直持续下去，而是一步一步最终改变了想法，从过去的怒火中烧变成了今天的焚香供奉。今天，√2的无理性、莱布尼茨的微积分、康托尔的无限集合以及曼德尔布罗的分形都被视为数学中的珍宝。即使是1+2+3+4+…= -1/12 这个等式，最终也有顶尖数学家为其辩护，比如斯里尼瓦萨·拉马努金、戈弗雷·哈罗德·哈代和陶哲轩。人们有时候会说，数学这门科学能够扫清疑问、分辨真假，那么其中怎么可能发生这样的思想转变呢？数学家是怎么知道自己错了的？又是什么让他们回心转意？
“新的科学真理最终取得胜利，靠的不是说服反对者并让他们理解，而是因为这些反对者最后都死了，而熟悉这个真理的新一代成长了起来。”物理学家马克斯·普朗克曾这样断言。根据数十年的心理学实验结果，心理学家多米尼克·约翰逊和詹姆斯·福勒这样补充道：“人类有着众多的认知偏差，但其中最常见、最严重也最普遍的就是自信过度。”科学家也无法免于这种自信过度。
往往只有少数人会花精力去理解其他人得出某个结论的理由，而更少见的就是那些尝试思考自己为什么会做出某种思考的人。而我的主要目的之一，正是引导你仔细思考是什么原因使你做出了某种思考！我自己之前就花了很长时间来推敲，为什么我会持有某种想法。幸运的是，我人生中的几件大事都引向了这个问题。我希望我个人的思考可以作为例子，让你也去思考这个问题。
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读者无须过多专业数学知识，无须身为数学家，也可领略本书的精彩之处
