何跨海||高中数学（人教A版），到底要学些什么
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2024-11-17 07:18
湖南
何跨海
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高中数学（人民教育出版社2019版，题目及以下均简称人教A版）共5本教材，分别是必修一（第一章~第五章，高一上期学完）、必修二（第六章~第十章，高一下期学完）、选修一（第一章~第三章）、选修二（第四章~第五章，高二上期学完）、选修三（第六章~第八章，高二下期学完，剩余时间适应学业水平考试）。高中数学（人教A版）到底学一些什么，高考数学又考些什么，相信很多家长甚至许多高中生都不甚清楚，下面我以高中数学（人教A版）的章节为序，作个粗略的说明，愿藉此给广大家长或者广大高中生一个架构和目标。• 1.1 集合的概念：有关于集合概念理解的题目，比如判断某些元素是否属于给定的集合、根据描述确定集合中的元素等。例如：用列举法表示集合{x|x 是小于 10 的正奇数}等。• 1.2 集合间的基本关系：判断集合之间的包含、相等关系，求子集、真子集等等。如：已知集合 A = {1, 2, 3}，集合 B = {x|x⊆A}，求集合 B 的元素等。• 1.3 集合的基本运算：涉及交集、并集、补集的运算，给定两个或多个集合，求它们的交集、并集或某个集合在全集下的补集等。例如：设集合 U = {1, 2, 3, 4, 5}，A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，求 A ∩ B，A ∪ B，\complement_U A等。• 1.4 充分条件与必要条件：判断条件的充分性、必要性，或者根据条件关系进行推理等。比如：判断“x > 1”是“x² > 1”的什么条件等。• 1.5 全称量词与存在量词：对含有全称量词或存在量词的命题进行判断、改写，或者求满足特定条件的参数取值范围等。例如：对于命题“∀x∈R，x² + x + 1 > 0”，判断其真假等。• 2.1 等式性质与不等式性质：根据不等式的性质进行推导、证明，比较大小等等。如：已知 a > b，c < 0，证明 ac < bc等。• 2.2 基本不等式：利用基本不等式求最值、证明不等式，或者根据已知条件求参数的取值范围等。例如：已知 x > 0，y > 0，且 x + y = 1，求\frac{1}{x} + \frac{1}{y}的最小值等。• 2.3 二次函数与一元二次方程、不等式：求解一元二次方程的根、根据二次函数的图象和性质解不等式等等。比如：已知二次函数y = ax² + bx + c的图象开口向上，且与 x 轴的两个交点坐标分别为(-1, 0)，(3, 0)，求不等式ax² + bx + c > 0的解集等。• 3.1 函数的概念及其表示：判断两个函数是否相等、求函数的定义域、值域，根据给定的条件求函数的表达式等等。例如：已知f(x + 1) = x² - 2x，求f(x)的表达式等。• 3.2 函数的基本性质：考查函数的单调性、奇偶性、最值等性质等。如：判断函数f(x) = x³的单调性和奇偶性；求函数f(x) = |x - 1|在区间[0, 2]上的最值等。• 3.3 幂函数：根据幂函数的性质进行计算、比较大小等等。例如：比较2^{\frac{1}{2}}，3^{\frac{1}{3}}的大小等。• 3.4 函数的应用（一）：利用函数模型解决实际问题，如根据已知数据建立函数模型并进行分析预测等等。• 4.1 指数：进行指数的运算，根据指数函数的性质解决相关问题等。例如：计算2^{3}×2^{4}÷2^{5}；已知指数函数f(x) = a^x（a > 0 且 a≠1）经过点(2, 4)，求 a 的值等。• 4.2 指数函数：研究指数函数的图象、性质，利用指数函数的单调性解不等式等等。比如：画出函数y = 2^x的图象，并根据图象说明其单调性等。• 4.3 对数：进行对数的运算，求对数式的值，根据对数的性质进行推导等。例如：计算\log_2 8，\log_3 27等等。• 4.4 对数函数：分析对数函数的图象和性质，利用对数函数解决相关问题等。例如：求函数y = \log_2(x - 1)的定义域；比较\log_3 2和\log_2 3的大小等。• 4.5 函数的应用（二）：运用指数函数、对数函数等知识解决实际问题，如人口增长模型、放射性物质衰变等问题等。• 选择题：角\alpha = 45^{\circ} + k\cdot180^{\circ}(k\in Z)的终边落在哪个象限；若角\theta是第四象限角，那么角90^{\circ} + \theta是第几象限角等等。• 解答题：已知角\alpha与角\beta的终边关于y轴对称，求角\alpha与角\beta的关系；把某个角改写成k\cdot360^{\circ} + \beta(k\in Z,0^{\circ} \leq \beta < 360^{\circ})的形式，并指出它所在的象限等等。• 用定义法、公式一求某些角（如\frac{7\pi}{6}、\frac{11\pi}{4}等）的三个三角函数值等。• 已知角\alpha的终边上有一点P的坐标是(3a,4a)（其中a\neq0），求\sin\alpha，\cos\alpha，\tan\alpha的值等。• 计算一些三角函数式子的值，如6\sin(-90^{\circ}) + 3\sin0^{\circ} - 8\sin270^{\circ} + 12\cos180^{\circ}等等。• 化简式子，如a\sin0^{\circ} + b\cos90^{\circ} + c\tan180^{\circ}等等。• 确定某些三角函数值的符号，如\sin186^{\circ}、\tan505^{\circ}等等。• 综合运用题：根据已知条件求函数值；确定式子的符号；证明一些三角函数的等式或不等式等等。• 利用诱导公式化简三角函数式子，如给定一个复杂的三角函数表达式，利用诱导公式将其化简为最简形式等。• 根据已知角的三角函数值，求经过诱导公式变换后的角的三角函数值等。例如，已知\sin\alpha的值，求\sin(\alpha + \pi)、\cos(\alpha - \frac{\pi}{2})等的值等。• 画出正弦函数、余弦函数在给定区间内的图象，比如在[0, 2\pi]内画y = \sin x、y = \cos x的图象等。• 根据正弦函数、余弦函数的图象和性质，求解不等式、求函数的最值、单调区间等问题等。例如，求函数y = \sin(2x - \frac{\pi}{3})的单调递增区间；解不等式\cos x \geq \frac{\sqrt{2}}{2}等等。• 研究正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性等性质，并进行相关的判断和证明等。• 画出正切函数的图象，根据图象解决一些问题，如求函数的渐近线方程、判断函数值的大小关系等等。• 利用三角函数解决实际问题，比如利用正弦函数、余弦函数模型解决物理中的振动问题、天文学中的角度问题、生活中的周期变化问题等等。• 综合运用三角函数的知识，进行三角函数的化简、求值、证明等，涉及到多种三角函数公式的综合运用等。• 6.1 平面向量的概念：有关于向量概念的辨析题，比如判断某些量是否为向量、判断向量是否相等、求向量的模等等。例如：已知向量\overrightarrow{a}，其起点坐标为(1,2)，终点坐标为(3,4)，求向量\overrightarrow{a}的模等。• 加法运算：给出两个或多个向量，求它们的和向量，或者根据已知向量的和以及其中一些向量求另一些向量等。如已知\overrightarrow{a}=(2,3)，\overrightarrow{b}=( -1,2)，求\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}等。• 减法运算：求两个向量的差向量，或在图形中根据向量的关系进行减法运算等。• 数乘运算：计算向量的数乘结果，或者根据数乘后的向量求原向量或数乘的系数等。• 数量积：计算向量的数量积，判断向量是否垂直或求向量的夹角等等。例如：已知\overrightarrow{a}=(3,4)，\overrightarrow{b}=(4,3)，求\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}，并判断\overrightarrow{a}与\overrightarrow{b}的夹角是锐角、钝角还是直角等。• 6.3 平面向量基本定理及坐标表示：根据平面向量基本定理求解向量的表示，或者根据向量的坐标进行相关运算，如向量的线性组合、求向量的中点坐标等等。例如：已知点A(1,2)，B(3,4)，求线段AB的中点坐标等。• 6.4 平面向量的应用：利用向量知识解决实际问题，如在物理中的力的合成与分解、几何问题中的证明与计算等等。比如在三角形中，已知向量表示的边和角，求三角形的面积等。• 7.1 复数的概念：判断一个数是否为复数、区分复数的实部与虚部、求复数的模等等。例如：对于复数z = 3 + 2i，求其模\vert z\vert等。• 7.2 复数的四则运算：进行复数的加、减、乘、除运算，以及根据运算结果求复数的参数等等。如已知z_1 = 2 + 3i，z_2 = 1 - 2i，求z_1 + z_2，z_1 - z_2，z_1 \cdot z_2，z_1\div z_2等。• 7.3 复数的三角表示（选学内容）：将复数转化为三角形式，或者根据三角形式进行相关运算和推导等。• 8.1 基本立体图形：识别不同的基本立体图形，根据图形的特征求其表面积、体积、侧面积等相关量等。例如：已知一个圆柱的底面半径和高，求其表面积和体积等。• 8.2 立体图形的直观图：根据给定的立体图形绘制其直观图，或者根据直观图还原立体图形并进行相关计算等。• 8.3 简单几何体的表面积与体积：计算棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台、球等简单几何体的表面积和体积，也可能涉及组合体的表面积和体积计算等。比如求一个由正方体和圆柱组成的组合体的体积等。• 8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系：判断直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，根据已知条件进行相关的证明和推理等。例如：判断两条直线是否平行、相交或异面等。• 8.5 空间直线、平面的平行：证明直线与平面平行、平面与平面平行，或者根据平行关系求解相关的参数或证明其他结论等。• 8.6 空间直线、平面的垂直：证明直线与平面垂直、平面与平面垂直，以及利用垂直关系解决相关问题等。• 9.1 随机抽样：涉及简单随机抽样、分层抽样、系统抽样的方法应用，如根据给定的情况选择合适的抽样方法，或者计算抽样的样本容量等等。• 9.2 用样本估计总体：根据样本数据求总体的均值、方差、标准差等统计量，或者根据样本的分布情况估计总体的分布等。• 10.1 随机事件与概率：计算简单随机事件的概率，判断事件的独立性，或者根据概率的性质进行相关的推导和计算等。例如：求抛掷一枚硬币两次，至少有一次正面朝上的概率等。• 10.2 事件的相互独立性：根据事件的相互独立性计算多个事件同时发生或至少有一个发生的概率等。• 10.3 频率与概率：通过实验数据理解频率与概率的关系，或者根据频率估计概率等。人民教育出版社（2019）高中数学选修一的课后习题因章节不同而各有特点，以下是各章节的大致课后习题情况：• 复习巩固：有判断向量共面、计算空间向量的线性运算、求空间向量的模等题目等。例如，已知空间中某些向量的坐标，求它们的和、差、数乘向量的坐标表示，以及判断某些向量是否共面等。• 综合运用：利用空间向量证明立体几何中的平行、垂直关系，或者求空间角、距离等问题等。比如，给出一个立体图形，要求用空间向量的方法证明线线平行、线面垂直等等。• 1.2 空间向量基本定理：主要是关于空间向量基本定理的应用，如已知空间向量用基底表示的形式，求基底向量的系数；或者根据已知条件，用基底向量表示其他向量等等。• 1.3 空间向量及其运算的坐标表示：涉及空间向量坐标运算的题目，包括求向量的坐标、计算向量的模、判断向量的平行与垂直关系等等。还可能有根据已知点的坐标求向量的坐标，以及利用向量的坐标求空间中的距离、夹角等问题等。• 1.4 空间向量的应用：这部分课后习题多是利用空间向量解决实际的立体几何问题，如求异面直线所成的角、线面角、二面角等；或者证明线面平行、面面垂直等位置关系等。• 2.1 直线的倾斜角与斜率：包括求直线的倾斜角、斜率，根据倾斜角或斜率的范围求直线的倾斜角或斜率的取值范围等题目等。例如，已知直线上两点的坐标，求直线的斜率；或者已知直线的斜率，求直线的倾斜角等。• 2.2 直线的方程：有根据不同的条件求直线的方程，如点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式等等。也会有已知直线方程，求直线的某些参数，或者判断两条直线的位置关系等问题等。• 2.3 直线的交点坐标与距离公式：主要是求两条直线的交点坐标，计算点到直线的距离、两点间的距离、两条平行直线间的距离等等。例如，已知两条直线的方程，求它们的交点坐标；或者已知一个点和一条直线，求点到直线的距离等。• 2.4 圆的方程：涉及圆的标准方程和一般方程的相互转化，根据已知条件求圆的方程，判断点与圆的位置关系等等。比如，已知圆的圆心坐标和半径，求圆的标准方程；或者已知圆的一般方程，求圆心坐标和半径等。• 2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系：包括判断直线与圆的位置关系（相交、相切、相离），求直线与圆的交点坐标，以及圆与圆的位置关系（外离、外切、相交、内切、内含）等问题等。• 3.1 椭圆：有根据椭圆的定义求椭圆的方程，根据椭圆的方程求椭圆的长轴、短轴、焦距、离心率等基本量；或者已知椭圆上一点的坐标和椭圆的方程，求该点到焦点的距离等问题等。也会有一些与椭圆相关的综合题，如直线与椭圆的位置关系等等。• 3.2 双曲线：类似于椭圆，有求双曲线的方程、基本量，以及判断直线与双曲线的位置关系等题目等。还可能涉及双曲线的渐近线方程、离心率等知识点的考查等。• 3.3 抛物线：包括求抛物线的标准方程，根据抛物线的方程求焦点坐标、准线方程，以及抛物线的简单几何性质的应用等等。例如，已知抛物线的焦点坐标或准线方程，求抛物线的方程；或者求抛物线上一点到焦点的距离等等。人民教育出版社（2019）高中数学选修二分为不同的章节，各章节有其对应的课后习题，以下是大致的介绍：• 4.1 数列的概念：课后习题有让学生根据数列的通项公式写出数列的前几项，或者根据数列的前几项归纳出数列的通项公式；判断一个数列是否为等差数列或等比数列等等。例如，已知数列的递推公式，让学生求出数列的前几项，并观察数列的特点等。• 4.2 等差数列：涉及求等差数列的通项公式、前 n 项和公式的应用，如已知等差数列的首项、公差和项数，求某一项的值或前 n 项和；或者根据已知条件，求等差数列的首项、公差等等。还会有判断一个数列是否为等差数列的证明题等。• 4.3 等比数列：包括求等比数列的通项公式、前 n 项和公式的应用，与等差数列类似，已知等比数列的首项、公比和项数，求某一项的值或前 n 项和；或者根据已知条件，求等比数列的首项、公比等等。也有证明一个数列是否为等比数列的题目等。• 4.4 数学归纳法：课后习题主要是让学生运用数学归纳法证明与数列相关的命题，比如证明数列的通项公式、求和公式等满足某种性质等。• 5.1 导数的概念及其意义：有关于函数在某一点处导数的定义的理解和计算的题目，比如根据导数的定义求函数在某一点处的导数；根据函数的图象，判断函数在某一点处的导数的正负等等。• 5.2 导数的运算：涉及基本函数的求导公式、导数的运算法则的应用，如求函数的导数，包括和、差、积、商的导数；根据已知函数的导数，求原函数等等。• 5.3 导数在研究函数中的应用：包括利用导数研究函数的单调性、极值、最值等问题等。例如，求函数的单调区间、判断函数的极值点、求函数在某一区间上的最值等；根据函数的单调性、极值、最值等性质，解决实际问题等。人民教育出版社（2019）高中数学选修三的课后习题分布在各个章节中，主要章节及课后习题大致如下：• 6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理：课后习题会给出一些实际问题场景，让学生运用分类加法计数原理或分步乘法计数原理来计算不同的情况数等。例如，从甲地到乙地有 3 种交通方式，从乙地到丙地有 2 种交通方式，问从甲地经乙地到丙地有多少种不同的走法，这就需要用分步乘法计数原理来解答；或者一个班级有男生 20 人、女生 30 人，选一名男生代表和一名女生代表，有多少种选法，这是分类加法计数原理的应用等。• 6.2 排列与组合：涉及排列数和组合数的计算，以及排列、组合的实际应用问题等。比如，从 10 个人中选 3 个人排成一排，有多少种排法，这是排列问题；从 10 个人中选 3 个人组成一个小组，不考虑顺序，有多少种选法，这是组合问题等。• 6.3 二项式定理：有根据二项式定理展开式子、求特定项的系数、证明一些与二项式相关的等式等类型的习题等。例如，求(x + y)^5展开式中x^3y^2的系数，或者利用二项式定理证明一些恒等式等。• 7.1 条件概率与全概率公式：课后习题会要求学生根据已知条件计算条件概率，或者利用全概率公式解决一些较为复杂的概率问题等。比如，已知事件 A、B 的概率以及在 A 发生的条件下 B 发生的概率，求在 B 发生的条件下 A 发生的概率；或者已知多个互斥的事件以及它们的概率，求另一个相关事件的概率等。• 7.2 离散型随机变量及其分布列：让学生根据实际问题确定离散型随机变量的取值，写出其分布列，并进行相关的概率计算等。例如，抛一枚硬币 3 次，求正面向上次数的分布列等。• 7.3 离散型随机变量的数字特征：包括求离散型随机变量的期望、方差、标准差等数字特征，以及根据数字特征来分析随机变量的性质等。比如，已知一个离散型随机变量的分布列，求其期望和方差等。• 7.4 二项分布与超几何分布：会有判断一个随机变量是否服从二项分布或超几何分布的题目，以及根据二项分布或超几何分布的概率公式进行计算等。例如，已知某事件的成功率为 p，重复进行 n 次独立试验，求成功次数的概率分布；或者从一个有限总体中进行不放回抽样，求抽到某种特定样本的概率等。• 7.5 正态分布：涉及正态分布的概率计算、正态曲线的性质等方面的习题等。比如，已知一个随机变量服从正态分布，求在某个区间内的概率，或者根据正态分布的性质判断一些结论的正确性等。• 8.1 成对数据的统计相关性：有关于判断两个变量是否具有相关性、绘制散点图、计算相关系数等方面的习题等。例如，给出一组数据，让学生判断两个变量之间是否存在相关性，并说明理由；或者根据数据计算相关系数，判断相关性的强弱等。• 8.2 一元线性回归模型及其应用：包括根据给定的数据建立一元线性回归模型，进行预测和估计等等。比如，已知一些数据点，求回归直线方程，并利用回归方程预测某个自变量对应的因变量的值等。• 8.3 列联表与独立性检验：涉及列联表的制作、独立性检验的步骤和方法，以及根据独立性检验的结果进行判断和分析等。例如，给出两个分类变量的数据，制作列联表，进行独立性检验，判断两个变量是否相互独立等。 以上就是高中数学（人教A版）需要莘莘学子花两年时间学完，再加一年时间复习、融合、交汇、整理、提高，以适应新的高考要求，期望能给读者带来一点点帮助，余愿足以。![]()
何跨海，笔名，何凝，网名，海涵之、中国海哥，男，1966年6月出生，湖南省平江县人，中学正高级数学教师，湖南省对联文化传承人，中国楹联学会会员，中华诗词协会会员，湖南诗词协会会员，湖南楹联学会会员，岳阳市诗词协会会员，岳阳市书协会员，平江县文联会员，平江县天岳诗社常务理事，南江诗词学会副会长，蓝水河诗词大会成员，《岸芷汀兰》文学刊总编，《天岳诗词》主编，《南江诗词》主编。自幼酷爱诗词书画，崇尚传统文化，弘扬中华国粹，投身网络诗联，诗联多次获奖或发表于报刊杂志，著有诗集《海阁夜吟》，《海阁初吟》，《海阁时吟》。
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