导言
前阵子同事问起箱涵底板结构计算中的特征长度问题，据说是会影响底板下反力的计算，一时不知其为何物，于是去查了下，发现这个特征长度原来是弹性地基梁理论中的。为了下次被问到能说出个所以然，就找了些资料，尤其是题图中的这本书（Beams on Elastic Foundation by M. Hetenyi，后来发现龙驭球老先生有翻译），理论推导十分详尽，且给了土木和机械行业的应用案例。我读了前四章，觉得有必要做个整理，自己加深印象，同时跟朋友们分享。这篇先说第一章“弹性梁的通用解”。
这章包括基本微分方程、Hayashi method和Russia method两种严格解法。
基本微分方程
基本假设
众所周知弹性地基梁理论建立在温克勒（Winkler）假设上，该假设即地基反力大小与基础在该点的变形成正比，这个理论与岩土工程的关联即在于此，除此之外更多的是材料力学和结构力学问题。
基本微分方程
齐次方程的求解可先假设通解的形式为指数函数，指数中的系数取m，代入后可得m的4次方程，该方程右侧是个负数，m^4求根可得四个解，均为复数，且每个解中都带有(k/4EI)^(1/4)这项。将该值命为Lamda，使通解得以简化如下图中最下式，A1到A4为待定系数。
对于这个通解，我们再对其逐次微分，就可得到梁的弯曲程度、弯矩和剪力方程。
值得一提的是，上面代换的Lamda是个会影响梁的变形的重要因素，在四次根号下分子为地基或支承介质的弹性系数，分母为梁单元的抗弯刚度，它的量纲为长度的倒数，可称作该弹性地基梁的特征值，Lamda的倒数量纲则为长度，称作特征长度，就是最初我的同事所问到的。这的确是一个很好的表示梁和地基相互作用特征的值，本书后文有重要应用。
Hayashi Method
通解中待定系数求解最直接的办法莫过于在一个连续的荷载条件一致的分段上使用边界条件解出C1-C4。书中提及该方法在1921年K. Hayashi的书中用到了，姑且称之为Hayashi Method.
Russia Method
进一步地，使用双曲正余弦代换指数函数，便得到下图中的更简明的形式。该方法最早由俄国人提出，姑且就称Russia Method.
考虑一个较为一般的情形，从左到右我们可以逐段把变形方程的解写出来。当我们考虑力矩M左侧一段时，上图中的通用方程就行，当我们考虑力矩右侧到集中荷载P这段时，M的影响项可参照通用方程中的写法在通用方程右端添加一项。类似地，集中荷载会添加相应的一项。到分布荷载的区段，可将每一微段上的分布荷载作集中荷载考虑，任一位置处取其左侧分布荷载的积分即可。最右侧一段的方程只需把上一段中的积分上限修改为确定的位置坐标即可。
上例中最终的包含七项的方程逐次微分后可得下图中的转角、弯矩和剪力方程。四个方程中各项的顺序存在一定规律。
通常，我们待求的梁每一端会有两个条件已知，例如知道两端的挠度为定值，弯矩均为零，另外还有四个边界条件未知。梁的变形方程我们共有四个。通过代入另一端的坐标，我们可以得到两端边界条件的关系。这样，如果给定了两端各两个边界条件，我们也能解出剩下的四个未知数。
小结
上面的两种方法区别其实不大，第二种方法待求解的系数物理意义更直观。但二者都少不了大量冗长繁杂的计算。本书的第二章将介绍一种稍作简化但简便很多的方法：叠加法。敬请关注。
作者：XY
