导言
自打硕士阶段读书，到后来在挪威、国内和澳洲的onshore及矿业工作，都在日常使用临界状态土力学（Critical State Soil Mechanics, CSSM），因此计划了许久要把它整理整理，看看自己到底学到了什么，但又一直颓废偷懒，加上春节后换了工作和处理琐事，延宕至今。姑且粗略写写，望读者朋友不吝赐教。
1. Background
首先，临界状态土力学是什么？它是一门全新的乃至不是建立在有效应力原理上的土力学吗？不是的，它大体上继承了经典土力学的基本概念，但在理论上更为完善，它将强度和变形统一起来，可以较好地描述土的力学行为。临界状态又是什么？简单地说它是一种土体破坏的理想状态，是土的弹塑性力学描述的重要假设。
基于临界状态的土体模型，像剑桥模型（Cam Clay, CC）、修正剑桥模型（Modified Cam Clay, MCC）、硬化土模型（Hardening Soil, HS）和小应变硬化土模型（Hardening Soil with Small strain, HSS）都很常见。理解CSSM对进一步理解这些模型很有帮助，另外，CSSM和剑桥模型本身有着很简明漂亮的形式，值得掌握。
关于CSSM的介绍（除了论文）在国内不是很多。
网上能看到的大概是这些：
1.北京交大赵成刚老师的《临界状态土力学》一书；
2.浙江大学岩土博士引垂思汀制作的系列视频课程；
3.余海岁教授的英文著作"plasticity and geotechnics"的中译本《岩土塑性理论》；
4.散见于各论坛的发帖和资料（知乎、土木在线、岩土网等）。
英文的资料则多得多，
1. CSSM的开山之作"Critical State Soil Mechanics" by A.N. Schofield and C.P. Wroth (http://www.geotechnique.info/)；
2. David Muir Wood教授的"Soil Behaviour and Critical State Soil Mechanics";
3. 业内著名的Ken Been & Mike Jefferies 的 "Soil Liquefaction: A Critical State Approach"一书以及大量notes和papers；
4.上面提到的余海岁教授的英文著作"plasticity and geotechnics";
5.佐治亚理工学院Paul W. Mayne教授的PPT: "critical state soil mechanics for dummies"和"Simplified Critical-State Soil Mechanics"；
6. J.H. Atkinson and P.L. Bransby 教授的"The Mechanics of SOILS : An Introduction to Critical State Soil Mechanics";
7. J. AR Ortigao教授的"Soil Mechanics in the Light of Critical State Theories";
8. 唾手可得的海量课件、视频、笔记等。
**上面提及的能下载的资料我都整理了，可添加关注或由底部二维码进入交流群获取**
"Plasticity and Geotechnics" by Hai-Sui Yu
2. 临界状态的概念
Schofield 和 Wroth教授在著作 "Critical State Soil Mechanics"中对临界状态的描述是
“The kernel of our ideas is the concept that soil and other granular materials, if continuously distorted until they flow as a frictional fluid, will come into a well-defined critical state determined by two equations （我们想法的核心是这样的概念：土和其他颗粒材料，当被持续剪切直到像摩擦流体一样流动时，就进入了一个由下面两个方程明确定义的临界状态）
The constants M, Γ, and λ represent basic soil-material properties, and the parameters. （参数M， Γ, 和 λ 代表了基本的土体材料特性和参数）”
这两个公式分别描述了在强度和变形空间中的临界状态线（三维空间中的曲面），一种土在任意应力路径下经持续剪切最终都会落到该线上的某点。这个状态的特点是“常体积”（没有剪切膨胀或者收缩）、“常应力”（正应力和剪应力，以及孔隙水压力都不变）和“大应变”（持续剪切应变，或者流动），这样的现象在直接剪切试验中最容易观察。
Critical state in Strength (A) and Deformation (B) space
Specific volume，v=1+e不是很常见，英国学者更喜欢用些。公式中p（写作p'更准确，应为有效的）和q的定义分别是平均有效应力和偏应力，比起使用具体的应力分量，它们能更好地描述土的体积和形状改变。它们在三轴试验中的定义见下图。图里还给出了在排水剪切时应力路径斜率1:3的推导。
Definition of p' and q in triaxial testing
3. 剑桥模型
剑桥模型（Cam Clay, CC）是Schofield 和 Wroth教授提出的最早的基于临界状态的应变硬化塑性模型，被广泛应用于黏土的模拟，也可用于模拟砂土。讨论土的模型不免要讲“做功方程（剪胀方程）”、“流动法则”、“屈服面和等势面”，以及“硬化规律”，这些内容是一般的塑性力学的要求，我对其内涵知之甚少，在土本构模型的推导中只能粗浅地谈谈其物理意义。
做功方程与剪胀方程
在土力学中我们通常约定压为正。与上面提到的p'和q相对应的还有一组应变，即和
。体积应变定义为三向应变之和（忽略高阶项），剪切应变则定义为2/3倍的（最大应变与最小应变之差），为什么会这样定义呢？这可从做功等效的角度获得。以三轴为例：
回到做功，在外部施加p'和q的三轴试样中单位体积的塑性功为,
。
公式中应变的上标p表示塑性。
关于能量在土中的耗散，作者假定其仅与摩擦相关，即有，
。
此式中M即临界摩擦系数,=6sin(phi)/[(3-sin(phi)]。
列出能量耗散方程，
，
此即剑桥模型的做功方程。
如把应力和应变分别归并，则有，
这就得到了模型的剪胀方程。在其他文献中常写作
。
是应力比，
是剪胀系数，这个方程将试样在加载过程中，或更一般地，土体在剪切过程中的变形方向（应变增量）和应力状态（p'和q）联系了起来，在土的塑性模型推导中起到了核心作用。
从三轴试验中我们可以比较容易地获得应力比和剪胀系数，并把他们的关系画出来。大量的试验表明，上述的应力比和剪胀系数间的线性关系与数据的趋势符合较好，如下图中的Coop & Wilson （2003）数据所示。我做过硅质砂和钙质砂的三轴试验，剪胀关系用直线表示问题也不大。
Coop & Wilson, 2003
自Cam Clay之后，也有不少新的剪胀关系被提出来，如Been & Jefferies (2011)在下表和图中整理的。
Stress-dilatancy relationship summarised in Been & Jefferies (2011)
塑性势函数
假定塑性势函数是p'和q的函数，即g=g(p',q)=0.
基于塑性力学可写出塑性体应变和剪应变的表达式，
和
。
其中，为塑性乘子，后面会有推导，不要与v~lnp'关系中的斜率λ混淆。
这里塑性力学的另一个要求为：塑性应变增量与塑性势面正交（物理意义是？），即
-->
。
将其代入上面的剪胀方程（应力状态与塑性应变增量之关系），可得
，
即塑性势函数的微分方程。这个微分方程可以通过使用代换求解，得方程
或写作
。
方程中即q/p'=0时的平均有效应力。当M的值确定，p'0的值即决定了塑性势面的大小，如下图所示。
塑性势面
塑性流动法则与屈服准则
剑桥模型假设土遵从关联流动法则，因此屈服面与塑性势面相同，即
。
式中先期固结压力p'0用作随着塑性应变变化的硬化参数。
硬化规律
在剑桥模型中，硬化参数p'0随塑性体应变而变化，其关系可以通过 v ~ lnp'关系推导：
-->
弹性应变
在剑桥模型中，与p'和q相对应的模量分别是体积模量K和剪切模量G。同样由v ~ lnp'关系可推导得K的表达式：
-->
-->
G则可由弹性力学知识由K获得：
。
此处附上一个quora上的推导 https://qr.ae/psZlKa。
Relationship between K, G, E and v
完整的应力-应变关系
根据Prager一致性条件
结合硬化参数p'0是塑性体应变的函数
，
可得
使用上文写出的
，
则方程可进一步改写为
。
由此式可得塑性乘子的表达式：
，
其中
。
的这个表达式中所有的函数都已获得，这之后就可以把它代入塑性体应变和剪应变的表达式
和
里得：
和
。
那么，完整的应变可写出：
和
。
上式中弹性剪应变部分的分母为3G，原因如下：
。
4. 小结
作者：XY
