统计推断与作图｜第2期. 统计分析前必不可少的正态性检验
文摘
教育
2024-11-15 19:58
北京
正态性检验的方法主要包括显著性检验和图示法。
常见显著性检验法有Shapiro-Wilk检验，Kolmogorov-Smirnov检验，Anderson-Darling检验及偏度-峰度检验（D'Agostino's K-squared 检验），这些检验可给出相应P值，据此判断数据偏离正态分布的程度。
常用图示法包括QQ图，直方图，箱型图等，顾名思义，图示法的优点是直观，但由于需对图形进行主观判断，可能存在误判情况。因此，将两种方法结合使用可以更加准确地判断数据是否符合正态分布，接下来我们将结合常见的显著性检验方法及相应的图示法进行说明。
Shapiro-Wilk检验适用范围：小样本数据（一般少于2000个样本）。
R代码：
# 生成样本数据set.seed(100)data <- rnorm(1000) # 正态分布的数据
# Shapiro-Wilk 检验shapiro_test <- shapiro.test(data)shapiro_test
# 绘制QQ图qqnorm(data)qqline(data, col = "red") # 添加辅助线
结果：
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结果解读：可看到本例中Shapiro-Wilk检验P=0.9765，小于0.05，故不能拒绝原假设，认为数据符合正态分布。QQ图（Quantile-Quantile Plot）将数据的分位数与理论正态分布的分位数对比。本例中数据点接近一条对角直线，则表明数据可能符合正态分布。
Kolmogorov-Smirnov（K-S）检验是一种非参数检验，由于其敏感性较低，在小样本下效果不佳，因此适用于较大样本。
R代码：
# 生成样本数据set.seed(100)data <- rnorm(20000) # 正态分布的数据
# Kolmogorov-Smirnov 检验ks_test <- ks.test(data, "pnorm", mean(data), sd(data))ks_test
# 绘制直方图hist(data, probability = TRUE, main = "Histogram with Normal Curve")curve(dnorm(x, mean = mean(data), sd = sd(data)), add = TRUE, col = "red")
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结果解读：可看到本例中Kolmogorov-Smirnov检验P=0.8863，小于0.05，故不能拒绝原假设，认为数据符合正态分布。直方图可以显示数据的频率分布形状，本例直方图呈对称的钟形，则表明数据可能符合正态分布。
Anderson-Darling 检验对数据的尾部更敏感，适合检测非对称分布或长尾分布的数据。
R代码：
# 安装并加载必要的包install.packages("nortest")library(nortest)
# 生成样本数据data <- rnorm(1000) # 正态分布的数据
# Anderson-Darling 检验ad_test <- ad.test(data)ad_test
# 绘制密度曲线图plot(density(data), main = "Density Plot with Normal Curve")curve(dnorm(x, mean = mean(data), sd = sd(data)), add = TRUE, col = "red")
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结果解读：可看到本例中P=0.5684，小于0.05，故不能拒绝原假设，认为数据符合正态分布。密度曲线图可以显示数据的分布密度，通过将样本密度曲线（黑色）与正态分布密度曲线叠加对比，观察两者是否相似来判断数据的正态性。
偏度-峰度检验检验（D’Agostino’s K-squared检验）通过计算偏度和峰度来判断数据的正态性，适合大样本。
R代码：
# 安装并加载必要的包install.packages("moments")library(moments)
# 生成样本数据data <- rnorm(10000) # 正态分布的数据
# D'Agostino's K-squared 检验k2_test <- agostino.test(data)k2_test
# 绘制箱线图boxplot(data, main = "Boxplot of Data")
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结果解读：可看到本例中P=0.9487，小于0.05，故不能拒绝原假设，认为数据符合正态分布。skew反映数据分布的对称性：若 skew 值接近 0，表示分布接近对称；若 skew 为正，说明分布右偏（长尾在右侧）；若 skew 为负，说明分布左偏（长尾在左侧）。箱线图主要用于观察数据的对称性和异常值，本例箱线图对称，且没有明显的异常值，则表明数据可能符合正态分布。
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