原来“烧脑”的数学公式可以这样融入编织设计

星形编织只在每条边上有珠子、在每个顶点和边上都有珠子，以及只在每个顶点有珠子的四角星。（图2）

串珠编织，顾名思义，是将一颗颗珠子通过某种方式编织、串联起来形成的一种装饰品或艺术品。这是一种历史悠久的手工艺，从史前时代（约200万年前—公元前21世纪）开始，民间就有制作串珠的传统，人们将其视为具有祈福和美好寓意的饰品。

串珠编织与密铺数学理论有极大关联。密铺在数学上指的是用一些较小的表面（通常是平面图形）填满一个较大的表面而不留任何空隙的方法。密铺要求图形之间既没有空隙也不重叠，且能够一块挨着一块，彼此相邻地铺成一片。

串珠编织者通过用针线连接有孔的珠子来创造各种各样的设计，包括类似机器织物的平织。用绿豆般大小的珠子制成的串珠织物通常用于制作珠宝，尤其是手链和项链。串珠的数学原理重在珠子之间的数理规律与巧妙组合。出于美观和实用的考虑，串珠织物通常图案精美，以周期重复的方式进行编织。然而，虽然数学家和艺术家已经研究密铺理论几个世纪，但相对来说，很少有人将其用于珠饰设计。

以正方形、正三角形、正六边形密铺为基础构造出的星形密铺。

正多边形密铺通常有正方形、正三角形、正六边形的密铺方式。三者可以围绕一个公共顶点拼接，使得每个顶点的角度之和为360°。拼块仅在孤立点（3个或更多拼块相交的地方）或弧线（两个拼块相交的地方）相交。这些点和弧线分别称为密铺的顶点和边。人们大多对拼块是正多边形的密铺感兴趣，因为这是便于人们用珠子编织的一种方式。

最简单的密铺方法是用同一种正多边形密铺平面。人们可以通过计算来确定哪些正多边形能够密铺。一个常见的密铺公式是：1/N1 + 1/N2 + 1/N3 = 1/2。其中，N1、N2、N3是正多边形的边数。这个公式用于描述在密铺过程中，不同正多边形边数之间的关系。但需要注意的是，这个公式并非普遍适用，它更多地描述了一种特殊情况下的密铺规律。

正多边形的内角与密铺也存在关系，正多边形的内角和与其边数的函数公式为（N-2）×180°，其中N为边数。在密铺过程中，需要确保在每个拼接点，所有多边形的内角之和为360°。这是密铺能够成功进行的必要条件之一。

丨 星形密铺 丨

以菱形和等腰直角三角形为基础构造出的星形密铺。

如果尝试将上述3种正多边形密铺做一些变换，形成的编织图形会更加有趣，比如构造出的星形密铺。以正三角形、正方形、正六边形为中心，沿着它们的各条边向外画三角形即可得到星形。

为了从起初的正多边形密铺创建星形密铺，在正多边形的每个顶点放置一颗星。选择小于多边形边长一半的距离D，在距离顶点D处画垂直于每条边的线段，其端点与相邻边的垂线相交。这些线段将形成顶点在内部的多边形的边。然后在每条边上放置一个三角形来形成一个星形，让星形的尖角落在起初正多边形的每条边的中点上。

同一种正多边形密铺可以变换出许多种不同的星形密铺，这取决于距离D的选择。选择尽可能规则的星形，往往会让编织作品更加美观。如果起初的多边形密铺不局限于正多边形，那么构造出的星形密铺会更加多样。

在创建星形密铺时，需要考虑图案的美观度和对称性，通过调整星形的大小、形状和位置，可以优化图案的整体效果。

正三角形、正方形和正六边形的边角覆盖编织示例。（图1）

那么，如何将平面密铺图案变成串珠编织作品？最常见的方法是在多边形的每条边上放置一颗珠子，那么珠子的孔就与多边形的边便会对齐。

编织的方法是将线穿过每颗珠子，使图案中每个多边形周围的珠子都用线连接起来，从而编织成环形，部分平面图中并没有暗示穿线路径，事实上，可以有许多不同的穿线路径。在实践中，珠子可能大小不一，或者一条边上可能有多颗珠子。此外，不同的密铺结构也可以实现相同的编织。例如，许多不同的四边形密铺结构都可以实现正方形编织。

在更复杂的设计中，顶点周围通常也会编织珠子。这些珠子被编织在边珠之间，以覆盖细线、提供装饰、稳定边角。这些珠子也被称为稳定珠、中间珠或覆盖珠。这就产生了边角覆盖编织的概念。图中正多边形为灰色，线为黑色，边珠是较大的灰色圆圈，覆盖珠是较小的黑色圆圈。

在边角覆盖编织中，正多边形的每条边上都有一颗珠子，每个角上也有一颗珠子。因此，一个正N边形对应一个由2N颗珠子组成的环。

星形编织是由上述的星形密铺生成的串珠。星形编织的生成分为两个步骤。人们从任意一个密铺开始，按照前文所述将其转换为星形密铺。然后，通过在星形编织图的每条边和每个顶点上放置一颗或多颗珠子，图2展示了只在每条边上有珠子的四角星密铺（上图）、在每个顶点和边上都有珠子的四角星密铺（中图）以及只在每个顶点有珠子的四角星密铺（下图）。

当用珠子编织时，只在每条边上放珠子会使织物下垂，露出线和珠子的孔。因此，出于审美的考虑，可以更倾向于在每个顶点和边上都放置珠子，编织出的织物会更紧密，如图2（中图）所示。当然，图中的珠子是理想化的，实际编织的时候可以用更大、更小或更多的珠子代替。不同尺寸的珠子，沿着每个三角形的两条边使用两个小珠，通过精心选择珠子颜色，能营造出一种环环相扣的错觉，进一步增强设计效果。的八面体串珠也是基于四角星形的编织作品。要制作它，首先要编织一个正八面体的内核，然后在外层编织一层四角星形珠子。

内容摘编自
《中华手工》2024年10月号
《密铺数理玩转串珠编织》
文·图丨张羿

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