第2174题
试题来源：2022年全国高中数学联赛B1卷
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思路简析
今天的题目是22年高联B1卷的解答题第11题，难度较大。
22年的高联试卷因为疫情的关系比较多，这套B1卷不是很清楚是哪些地方在考，模式和其他几套都有点不太一样，一共只有12个题，1-8是填空，每题10分，9-12是解答，9,10是每题20分，然后11,12是每题40分。
这道题的形式在今年的东南赛里面也出现过类似的，每日一题第2112题（2024年第21届东南赛高一年级1），第二个问比第一个问要简单。这里给出了一个S(a,b,c)的式子，其中a,b,c是非负实数，第一问要证明a,b,c均为正数时，S(a,b,c)取不到最小值，那很明显说明了最小值应该是在有一个数为0的时候取，所以就相当于要证S(a,b,c)>S(m,n,0)，又注意到式子中分母的特性，所以考虑把任意一组正数(a,b,c)直接减去其中最小的正数，这样得到的一组新的数得到的S分母是不变的，这样就可以直接放缩比较了。
在有了第一问的基础上，第二问就很简单了。首先确定最小值一定是在一个数等于0的时候取，所以令一个数为0，剩下的式子很明显就是需要构造x/y这种形式，并且从式子结构上可以看到|x-y|和x/y+y/x这两部分都是对称的，只有一个单独的分子里面有y，所以这个地方越小越好，这样就可以确定x,y的大小了，进而去掉绝对值之后就可以用不等式来解决了。
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完
