第2184题
试题来源：2024年10月标准学术能力诊断性测试
如果有朋友发现解析有误的话，还请留言指正。
思路简析
今天的题目是10月份的标准学术能力检测题解答题第18题，难度中等。
第一个问很简单，直接求导就可以了。第二个给出了f(x)≤0，很明显直接分参的话是需要洛必达的，那么还是考虑直接求导，求导之后f'(x)=a+cosx，由三角函数的有界性，所以肯定考虑把a和±1进行比较来进行讨论，这样第二个问也基本上解决了。
第三问也是常规的讨论。把g(x)的表达式写出来之后，可以看到g(0)=0，后面就只看(0,π]上的零点了，并且注意观察g(x)的式子g(x)=x+1/a·sinx-ln(x+1)，其中有一个很明显的x-ln(x+1)≥0，所以只要剩下的1/a·sinx>0，那么就肯定是没有零点了，而sinx在(0,π]上是≥0的，所以直接分出a>0的时候讨论，这种情况就完成了。接下来a<0的时候就只有直接求导了，一阶导g'(x)的正负情况是不清楚的，但是单调性是能直接看出来的，在已知单调性的情况下，就直接看端点值，结合零点存在定理来判断就可以了，根据判断出来的零点以及一阶导的正负情况，就可以推得原函数g(x)的单调性了，再结合g(x)的端点值，就能得到最终的零点个数了。
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完
