第2181题
试题来源：2024年10月绵阳一诊
如果有朋友发现解析有误的话，还请留言指正。
思路简析
今天的题目是前两天考的绵阳一诊的解答题第19题，难度中等。
这个题是模仿上半年3月的福建质检题出的，难度没有福建质检大，之前在每日一题里面也分析过福建质检的题，每日一题第1968题（2024年3月福建省质检解答19）。
第一问很简单，第二问给出了一个a_n和a_(n+1)之间的递推式，先把这个递推式整理出来，然后第一小问要比较a_n和1的大小，通过对右端a_n的式子求导可以发现，这个函数在x>1时始终都是大于1的，也就是说只要最开始的a_1是大于1的，那么就有a_n>1，所以数学归纳法就很自然了。
第二小问稍微复杂一点，但也是套路。首先绝对值已经可以去掉了，变成了(a_n)-1的求和，要证明小于2，要计算这个求和，肯定是只能放缩成一个等比数列来求和，所以目标就是a_n-1<q(a_(n-1)-1)，然后通过这个式子转化为a_n-1<q^(n-1)·(a_1-1)，这样整个式子就可以求和了，利用求和公式之后，就可以得到只要1/(1-q)=2，这个不等式就成立了，也就是要q=1/2，所以现在就转化为要证明a_n-1<1/2·(a_(n-1)-1)，把a_n和a_(n-1)之间的递推关系代入，就可以得到一个单变量的式子，就可以求导来证明了。
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完
