第2182题
试题来源：2024年10月标准学术能力诊断性测试
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思路简析
今天的题目是10月份的标准学术能力检测题多选题第11题，难度中等。
题干中给出了两个圆和一条直线，画出简单的图形之后就可以看选项了。
A选项给出的存在一条直线使得以AB为直径的圆和l_2相切，也就是要找到圆心，然后看圆心到l_2的距离来比较。从题干条件可以看出AB是由单位圆上一点作切线和大圆相交得到的，所以AB的长度是定值4√6，圆心就是AB中点M，当M为单位圆上任意一点时，M到直线l_2的最短距离就是5√2-1，这个最短都是大于半径AB/2的，所以位置关系始终都是相离，A选项就错了。
然后BCD是判断PA，PB之间的一些关系，对于向量PA，PB来说，差向量的长度为定值，所以C选项是可以先判断的，C选项相当于是要求PA，PB两个向量数量积的最小值，因为差向量长度为定值，所以可以考虑直接用极化恒等式来处理，转化为PM的长度最小，很显然就是5√2-1，代入之后可以得到C选项是对的。
在C选项的基础之上，B选项就比较好判断了，有数量积，有平方和，那么自然会想到(向量PA+向量PB)^2，两个向量相加是可以转化为PM向量的，平方后有要求的长度平方和，有数量积，而数量积在算C选项的时候已经转化为了PM，所以就可以把B选项要求的长度平方和同样的转化为PM的长度，也就能得到B选项正确了。
D选项看起来形式最简单，但实际是最难的。要求PA+PB的最小，这种到两个点距离的最小，一般都是考虑作对称，用将军饮马的方式来处理，所以这里考虑将对称圆画出来，对于单位圆上任意一个点M作出来的切线AB，因为P点是任意的，所以这时候的PA+PB最小一定是在A'，P，B三点共线的时候，所以也就转化为了求什么时候A'B的长度最小。要求A'B的长度，肯定就考虑作垂线，然后勾股定理解决，垂线长度可以考虑用AB和夹角来处理，另一条直角边A'H可以得到和中位线MM'的长度是一样的，而MM'又可以用OO'来表示，恰好两个角度又是一样的，这样A'B就能够表示为一个二次函数了，最小值也就能求出来了。
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完
