第2175题
试题来源：2024年全国高中数学联赛内蒙古预赛
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思路简析
今天的题目是今年内蒙古预赛的解答题第10题，难度较大。
后台有老师在问这个题，在前面的公众号没有找到答案。第一问是不难的，直接对f(x)求导，通分之后分子暂时判断不出正负情况，那就直接把分子拿出来再求导，得到先增后减，再结合端点值和g(0)=0，就可以得到导函数的正负情况了，就可以得到f(x)的极值了。
第二问难度比较大，题干上给出了x=0是极小值点，理论上应该是通过求导来判断，但是求完一次导后，还是有f'(0)=0，然后再求导的话计算量就特别大了，所以直接求导来算的话不太好做。另外还有一点，就是f(x)的定义域也是随着a的变化而变化的，所以在讨论的时候也是需要考虑到定义域的变化，分母的判别式是4-4a，所以初步考虑a=0，a<0，和0<a<1，a≥1这几种情况来讨论。第一种情况很显然。其他情况下，先对f(x)式子中的分式求导，然后代入一些0附近的特殊值判断一下和e^x的大小，这样可以大致上判断出来0附近的增减情况，这样可以大致得到小于1的时候在大于0的附近是递减的，有了这么一个判断之后就可以大胆通过放缩来处理指数了。
然后在≥1时上面的方法就行不通了，但是直接求导又太复杂了，所以还是考虑简化一点，这里注意到f(0)=0这个特殊点，在分母是恒大于0的情况下，就可以直接分子在0附近也是≥0的，同时分子在0这个地方也是等于0，所以0也是分子的极小值点，这样转化为研究分子，就简单很多了。
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完
