1.1反比例函数
知识点1反比例函数的定义
1.定义：一般地，如果两个变量y与x的关系可表示成y= k/x（k为常数，k≠0)的形式，那么称y是x的反比例函数，其中x是自变量，常数k(k≠0)称为反比例函数的比例系数.
2.反比例函数的三种形式:
①y=k/x
② y= kx -1，
③xy=k (其中k为常数，k≠0)
三种基本形式要牢记，这是识别反比例函数的关键
特别提醒：
①形如 y= 1/x+1，(x+1)y=3，y=(x+1)-1 等的函数都不是y关于x的反比例函数.
②反比例函数的表达式 y= k/x 中无论变量 x， y怎样变化，k的值始终等于 x与y的乘积.若 k=0，则y= k/x=0恒成立，为常数函数，失去了反比例函数 x， y成反比例的意义，所以k≠0.
知识点2 反比例关系与反比例函数的关系
1.如果两个量x，y满足xy=k(k为常数，k≠0)，那么x，y就成反比例关系，这里的x和y既可以代表单项式，也可以代表多项式；
当x，y只代表一次单项式时，x，y这两个量才成反比例函数关系.
2.成反比例关系不一定是反比例函数，但反比例函数中的两个变量必成反比例关系.示例：y= k/x² (k为不等于0的常数)，y与x²成反比例，但y不是关于x的反比例函数.
3.反比例函数中有自变量和函数的区分，而反比例关系中的两个变量没有这种区分.
示例解读
若 y+2与x - 5成反比例，则y+2= k/x-5 ( k为常数，k≠0);
若 y与 x2成反比例，则y =k/x²( k为常数， k≠0).
知识点3求反比例函数表达式
1.确定反比例函数表达式的方法是待定系数法，由于在反比例函数
y=k/x (k≠0)中只有一个待定系数，因此只需要一对x，y的对应值或图象上一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其表达式.
2 用待定系数法求反比例函数表达式的一般步骤
特别解读
1.用待定系数法求反比例函数的表达式的实质是代入一对对应值，解一元一次方程.
2.当题目中已经明确“y是x的反比例函数”或“y与x成反比例关系”时，可直接设函数的表达式为y= k/x（k为常数，k≠0).
1.2反比例函数的图象与性质
知识点1 反比例函数的图象
1.图象的画法(描点法):画实际问题中的反比例函数的图象时，要考虑自变量的取值范围，一般地，实际问题的图象是反比例函数图象，在第一象限内的一支或其中一部分.
(1)列表：先取一些自变量的值，在原点的两边取三对或三对以上互为相反数的值，如1和-1，2和-2，3和-3等. 求y值时，只需计算原点一侧的函数值，另一侧的函数值可以随之得出.
(2)描点：根据表中提供的数据，即点的坐标，在平面直角坐标系中描出对应的点.
(3)连线：用平滑的曲线顺次把这些点连接起来并延伸，注意双曲线的两支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交.
2.图象的特点：
(1)反比例函数y= k/x (k为常数，k≠0)的图象是双曲线.
(2)反比例函数图象的两支分别位于第一、三象限或第二、
四象限.
(3)双曲线的两支都无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交.
(4)双曲线既是中心对称图形(对称中心是原点)，又是轴对称图形(对称轴是直线y=x和直线y=-x).
示意图(如图).
无限接近，永不相交
知识点2 反比例函数的性质
反比例函数的性质主要研究它的图象的位置和函数值的增减情况，如下表所示.
反比例函数 | 数y= k/x ( k≠0 ) | |
k的取值 | k＞0 | k＜0 |
图象
|
|
|
图象位置 | 第一、三象限 | 第二、四象限 |
增减性
| 在每个象限内， y随 x的增大而减小 | 在每个象限内， y随 x的增大而增大 |
特别提醒
在描述反比例函数的增减性时，必须指明"在每个象限内"因为当 k> 0（k<0)时，整个函数不是 y随 x的增大而减小(增大)的，而是函数在每个象限内，y随 x的增大而减小(增大).
知识点3 反比例函数y= k/x(k≠0)中k 的几何性质
1.矩形的面积
如图所示，过双曲线y= k/x (k≠0)上任意一点p（x，y）分别作x轴，y轴的垂线PM，PN ，所得得矩形PMON得面积为
S=PM · PN =yx ，因为y= k/x ， 所以xy= k ，所以S =y=k ，
即过双曲线y= k/x (k≠0)上任意一点作x轴，y轴的垂线，所得得矩形面积为|K|.
2.三角形的面积：
如图1.2-3， 过双曲线y= k/x (k≠0)上的任意一点E作EF垂直于y轴，垂足为F，连接EO，则S▲EOF= |k|/2 ， 即过双曲线y= k/x 任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点与原点，所得三角形的面积为 .
因为 y= ( k≠0)中只有正、负之分，所以在利用函数表达式求矩形或三角形面积时，都要加上绝对值符号.
1.3反比例函数的应用
知识点1 建立反比例函数模型解实际问题
1.在生活与生产中，如果某些问题的两个量成反比例关系，那么可以根据这种关系建立反比例函数模型，再利用反比例函数的有关知识解决实际问题.
运用反比例函数解决实际问题时常用的两种思路：
(1)通过问题提供的信息，明确变量之间的函数关系，设出相应的函数表达式，再根据题目条件确定函数表达式中待定系数的值；
(2)已知反比例函数模型的表达式，运用反比例函数的图象及性质解决问题.
2.建立反比例函数表达式常用的两种方法：
(1)待定系数法：
若题目提供的信息中明确此函数是反比例函数，则设函数表达式为y= k/x ，( k为常数，k≠0)，再求出k的值；
(2)列方程法：
若题目所给的信息中两个变量之间的函数关系不明确，通常列出关于两个变量的方程，通过变形得到反比例函数表达式 .
3.用反比例函数解决实际问题的一般步骤：
(1)审：审清题意，找出题目中的常量、变量；
(2)设：根据常量、变量间的关系，设出函数表达式，待定的系数用字母表示；
(3)列：由题目中的已知条件列出方程，求出待定系数；
(4)写：用函数的图象和性质去解决实际问题.
文本来源于网络，版权归作者所有，若侵删。
✅ 知识点视频
相反数———双生世界
有理数的定义———死亡迷宫的出口
↓↓↓点击“阅读原文”， 观看初中数学所有知识点视频！
