【寒假必看】九年级数学下册《位似》知识点，假期抓紧掌握！

教育 2025-01-28 11:31 浙江

1．位似图形

如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。

2．针对位似图形的定义，需要注意以下几点：

①位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形。

②两个位似图形的位似中心只有一个。

③两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧。

④位似比就是相似比．利用位似图形的定义可判断两个图形是否位似。

3．位似与相似的联系和区别

（1）从概念上区别

相似图形指的是形状相同但大小不一定相同的图形；位似图形指的是如果两个图形不仅相似而且满足对应点的连线相交于一点，且对应边互相平行，我们就把这样的两个图形称为位似图形。故从这两个概念可以看出，两个图形是相似图形，但不一定是位似图形；两个图形是位似图形，它们一定是相似图形。

（2）从性质上区别

相似图形的性质：(1)相似三角形对应高(对应中线、对应角平分线，对应中位线)的比等于相似比相（2）相似三角形周长的比等于相似比；（3）相似三角（多边）形面积的比等于相似比的平方。

位似图形的性质：位似图形任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比。从上上可以看出，位似除了具有相似图形的性质以外，还有属于自己的独特的性质。

（3）从大小与位置情况区别

①两个图形相似只能反映出这两个图形的大小关系，而不能反映出这两个图形的位置关系。

②两个位似图形不但能反映出两个图形的大小关系，还能反映出两个图形的位置关系，是一种特殊的图形变换，我们可称之为位似变换。

（4）在平面直角坐标系中的运用

在位似变换的两个图形中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或－k．而两个相似图形则只能根据实际情况进行分析和处理。

4．位似图形的性质

位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上；

位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；

位似图形中不经过位似中心的对应线段平行。

5．位似图形与相似图形的区别

位似图形首先是相似图形，所以它具有相似图形的一切性质．位似图形是一种特殊的相似图形，它又具有特殊的性质，位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离等于位似比（相似比）．两个位似图形的主要特征是：每对位似对应点与位似中心共线；不经过位似中心的对应线段平行．

由此可知：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形。

6．位似图形的画法

第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心；

第二步：作位似中心与各关键点连线；

第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例；

第四步：顺次连接截取点。

作图时要注意:①首先确定位似中心，位似中心的位置可随意选择；②确定原图形的关键点，如四边形有四个关键点，即它的四个顶点；③确定位似比，根据位似比的取值，可以判断是将一个图形放大还是缩小；④符合要求的图形不惟一，因为所作的图形与所确定的位似中心的位置有关，并且同一个位似中心的两侧各有一个符合要求的图形。

7．位似变换中对应点的坐标变化规律

在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或－k。

需要注意以下几点：

（1）相似与轴对称、平移、旋转一样，也是图形之间的一个基本变换，因此一些特殊的相似（如位似）也可以用图形坐标的变化来表示。

（2）在平面直角坐标系中，用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换的关键是要确定位似图形各个顶点的坐标，而不同方法得到的图形坐标是不同的．如：已知：△ABC三个顶点坐标分别为A(1,3)，B(2,0)，C(6,2)，以点O为位似中心，相似比为2，将△ABC放大，根据前面（2）总结的变化规律，点A的对应点A′的坐标为（1×2，3×2），即A′（2，6），或点A的对应点A′′的坐标为（1×(-2)，3×(-2)），即A′′（-2，-6）．类似地，可以确定其他顶点的坐标．

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