八省联考之纽结题解析

百科   2025-01-05 19:18   广东  

最近八省联考出了一道纽结题如下:

这是一道多选题,题干中的纽结是一个左手三叶结,问下面四个纽结中,哪些不能无损伤地变为左手三叶结。也就是说,要找到与左手三叶结不等价的纽结。

纽结和同痕不变量

纽结是三维空间中不与自己相交的封闭曲线,即与圆周同胚的图形。一个圈叫作一个纽结(knot),多个圈叫作一个链环(link)。

如果把一个纽结在三维空间中经过连续变形(不许剪断或粘合)而变成另一个纽结,我们就说这两个纽结是等价的(equivalent),也叫做环绕空间同痕(ambient isotopic)。区分两个纽结是否等价的不变量叫作同痕不变量

为了研究纽结的性质,数学家常常把纽结投影到二维平面上,将三维空间中的结的问题转化为二维平面上的交叉点的问题。如果将一个纽结在三维空间中无损伤地扭曲变换,使得它在二维投影中的交叉点数量最少,此时的交叉点数就称为该纽结的交叉数(crossing number)。交叉数不同的纽结一定不等价,但是交叉数相同的纽结并不一定等价。因此,交叉数是一个比较粗糙的同痕不变量。
选项解析

选项A是一个圆圈,也就是平凡结(unkont),它没有结,所以它的交叉数是0。而三叶结的交叉数是3,是交叉数最少的非平凡纽结。所以二者是不等价的。

选项D是由3个纽结嵌套而成的一个链环,而三叶结只是1个纽结,所以二者不等价。

现在就剩下B和C,为了区分它们是否等价,需要用到一个更强大的同痕不变量——琼斯多项式(详细内容可参见我的文章:纽结理论和琼斯多项式)。

我们知道左手三叶结的琼斯多项式是,现在计算B和C的琼斯多项式,如果不同则一定不等价。


观察可知,左手三叶结的拧数(writhing number)是-3,C的拧数也是-3,而B的拧数是3,由此我们可以初步判断B、C与左手三叶结的等价关系。

先计算的尖括号多项式


由于C的拧数是-3,所以其考夫曼多项式(Kauffman polynomial)为:

把变量替换为,即得C的琼斯多项式

与左手三叶结的琼斯多项式相同。

同样的方法也可以计算出B的琼斯多项式

与左手三叶结的琼斯多项式不同,所以两者不等价。

实际上,B等价于右手三叶结,而C等价于左手三叶结,左右手三叶结互为镜像,但是不等价。因此我们说,三叶结是有手性的(chiral)。

实验

为了更直观地了解C纽结与左手三叶结是等价的,我们用实验来验证将左手三叶结无损伤地变为C纽结。

尚万只老虎
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