享受学习数学或做数学的过程|数学之路

普林斯顿高等研究院IAS有一档优秀的短视频节目《数学之路》（Paths to Math），记录了对一些当代数学家（中青年为主）的简短采访，很有启迪意义，但采访人数不多。

我想应该还有更多当代的全球数学研究机构中的优秀学者值得学和报道，因此加以陆续整理此类国内外辛勤努力奋斗在一线的数学家集锦，以飨广大的数学爱好者及各行业和领域的学者。所有题材均取自官方来源，但仍加以必要的补充说明，使数学家的背景介绍更为完整。

本期10位学者分别是Paul Minter（保罗·明特）、Kalyani Kansal（卡利亚尼·坎萨尔）、Julian Chaidez（朱利安·柴德斯）、Shira Tanny（希拉·坦尼）、Patrick Shafto（帕特里克·沙夫托）、John Urschel（约翰·厄舍尔）、Svitlana Mayboroda（斯维特拉娜·梅博罗达）、Agustin Moreno（奥古斯丁·莫雷诺）、Jinyoung Park（朴珍英）、Sergey Sergey Cherkis（谢尔盖·切尔基斯）。

（前两位已在之前介绍，请看更重要的是找到一个好问题|数学之路）

他们之中有当了多年中学教师然后去读博攻克数学猜想的，有从医学转专业到数学系的，也有本来打算经商后来从事数学事业的，也有从NFL退役后专门研究数学的。

Julian Chaidez（朱利安·柴德斯）对辛拓扑、动力系统、低维拓扑和辛场论感兴趣。在IAS，他研究凸性在Reeb动力学中的作用，通过三分法形成量子4-流形不变量，以及辛几何中的VFC虚拟基本循环（Virtual Fundamental Cycle）方法。

以下是他于2021~2023年在IAS做博士后学者期间接受采访的谈话：

最近我对台球问题很感兴趣。

这种问题是问，某种形状的台球桌什么情况下会出现一个闭合轨道，即台球可以走的一种某段时间后会重复出现的路径。这是一个非常有趣的问题，主要是因为它很难回答，但很容易陈述。

我是通过一种非常迂回的方式接触数学的。我的父母不是科学界人士，我妈妈是一位编剧，我爸爸是一位音乐家。

当我还小的时候，我想我真的很喜欢科学内容。

我认为其中很多来自于在电影之类东西中看到的真令人惊叹的科学图。

当我在中学的时候，我实际上在赛道上被降级了。首先，我必须说服自己摆脱较低的轨道，然后当我到达较高的轨道时，我的表现真的还是很糟糕。道格·布勒（Doug Bueller）是我的另一位塑造性老师，他帮助我达到了表现良好的地步，让我更有条理，帮我使得我的作业更整洁，让我更好地表达自己，诸如此类。

我有一位名叫里克·汤普森（Rick Thompson）的高中老师。我们当时刚刚完成了一些概率问题，我证明了一些关于平均值的定理，但我并没有真正意识到这就是我正在做的事情。然后我去找他，我对我刚刚证明的东西是新的想法感到非常兴奋。我想我并没有真正意识到数学家就是这么做的。但他知道这一点，所以这让他觉得我对数学感兴趣。

当我在MIT时，我开始真正沉浸在纯数学中，并开始意识到更高水平的数学是什么，你知道，那种研究，比如寻找真理，提出问题，并通过思考和与人交谈来回答问题。

我认为那是真的，我真的很喜欢它的这一方面。当我从MIT毕业时，我已经决心成为一名数学家。我申请了研究生院，最终选择去伯克利。在我到达那里之前，我根本没有做研究，我认为这很正常。当我离开时，我觉得我非常清楚做研究的意义。

朱利安的数学之路

我对数学教育非常感兴趣。

我为本科生开展了一个夏季研究项目。

这个计划很棒，我们有一个非常多元化的团队。一半是女性，一半是男性。

我认为这真的很棒。因为一般来说，没有那种平衡，大多数数学社区都没有这种平衡。

我通过一些研究项目指导本科生，我试图向他们解释数学家们的工作。IAS作为一种资源之所以如此有价值，是因为它能够聚集特定领域的一些最优秀的人才。

你知道，我们这里有很多年轻的科学家，我认为在IAS最好的部分肯定是与这些人合作，并一起开始新的数学之旅。

我对年轻数学家的建议是，专注于享受你正在做的事情，专注于享受学习的过程，并且不要对你正在做的事情有多好过于担心。对失败想太多，是你可能犯的最严重的错误，你真正应该尝试做的就是享受学习数学或做数学的过程。

采访视频上传日期：2022-12-21

https://youtu.be/TPIrd8KtwzQ

我认为它以一种令人着迷的方式将几何学和动力学结合在一起。

我在以色列的一个名叫 al-Fahm 的小镇长大。

当我十几岁的时候，我的成绩很好，但我的出勤率并不高。我的学校靠近海滩，这太诱人了。

当我上学时，数学只是众多科目中的一门。我对它并没有特别感兴趣。当我开始读大学的时候，我试着不去做一个认真的学生。然后我发现如果我想继续成功，我需要成为一名认真的学生。

我当时的男朋友，现在是我的丈夫，他给了我这些书并建议我阅读它们。Paul Hoffman的《只喜欢数字的人》（The Man Who Loved Only Numbers）和Donal O'Shea的《庞加莱猜想》（The Poincaré Conjecture）。当我读到它们时，我对数学感到非常兴奋。我发现了数学完全不同的一面。

我获得了数学和物理双学位。我喜欢数学的原因之一是你可以在数学上发挥创造力。我们在数学中所做的就是我们拥有的问题或者无人理解也无人解决的东西，而唯一的机会就是寻找新的无人想到的出路。

我刚刚告诉我的伙伴我要学习数学，我将会有这样的数学研究生学位。

我认为因为我有孩子，从某种意义上说，我没有很多空闲时间。

我非常珍惜在办公室的时间。在我所拥有的时间里，我尽力产出尽可能多的作品。

我的导师是赫尔穆特·霍弗 (Helmut Hofer）。

在秋季学期的第一天，他带我和另外两名博士后共进午餐。然后他告诉我们这个关于闭合轨道的令人着迷的老问题，并建议我们从事于研究它。这基本上就是我们自那以后一直在做的一些事情。所以，现在我们有了一些有望公开的结果。

希伯来语中有一句话是说“学习没有羞耻感”。

这句话的意思是那些害羞的人在学习上会遇到更多困难。所以这句话告诉你应该问问题。如果你不明白或者想到了什么，你应该随时提问。

我对年轻数学家的建议是在尽可能多的数学领域暴露自己，与人交谈，可以是你觉得相处舒服的研究生，然后真正尝试了解一些不同的背景，这样你就能找到你真正想做的事情。

希拉的数学之路

采访视频上传日期：2022-12-1

https://youtu.be/_vtgD0zQ0cQ

我感兴趣的事情之一是为人类和机器单独和协同工作提供数学基础。

你可能想知道，为什么我们需要数学来解决这个问题？有一个非常实际的答案，那就是，我们想让这些机器在社会中发挥作用，我们希望能够对长期后果可能是什么有某种程度的了解。如果没有强大的数学基础，你真的无法轻易做到这一点。 

在成长过程中，我一直非常喜欢数学。但在我即将上大学的某个时刻，我对我接受教育后最终会做什么有点迷茫。 

马什菲尔德（Marshfield）是一个小镇。传统上是一个渔村。

所以，当时这是一个以体力活为主的社区，人们在这儿从事体力劳动类型的工作或捕鱼等类似的事情。

那时候尽我所知，我不认识任何一个拥有博士学位的人。因此，我无法理解以数学为生的整个想法。于是我有点远离了数学，我找不到可以告诉我数学有什么好处的人。

所以，我获得了物理治疗的本科学位，这非常实用，但不是很“数学”。 

当我从东北大学本科毕业时，我留校学习了一年，攻读硕士学位，并确定了我长期要做什么。我了解了认知科学。所以我去和一位教员谈论了研究学习的事情，并成功地在下一年进入了认知科学的博士项目。 

我有一个朋友已经转到MIT攻读博士学位。

她比我晚了几年。

当时发生的事情，大约是在2004年，一个非常激动人心的时刻，机器学习和认知科学以一种有趣的方式融合在一起。 因此，这显然是正确的选择，因为你可以将机器学习的严谨性和适用性结合到认知科学研究和更广泛的学习中。 

但一旦我开始研究这个问题，我就清楚地意识到，有必要用数学来准确地表达你所声称的学习如何运作。 所以，那是我顿悟的时刻，“好吧，我确实需要比现在更加积极地追求这一点。” 就这样，漫长的数学之路开始了。

帕特里克的数学之路

我对刚开始学习数学的人的建议是找到使用它的方法，了解它的好处，因为确实有大量数学可以应用到尚未应用的问题。

采访视频上传日期：2022-10-27

https://youtu.be/ZOjXXbVHkYe

"我一直在努力尝试理解有关高斯消元法（Gaussian elimination）的一些有趣的理论问题。"

所以我的研究主要集中在矩阵分析上。

许多不同的问题都涉及线性代数，更具体地说是矩阵，这可以横跨求解线性系统或特征值问题。 

我的数学之路很有趣。这真的源于我母亲。她注意到，我不太喜欢读书。

我真正喜欢的是玩积木，建造东西，将形状放在一起，观察在她给我的玩具中看到的形状，然后在大的外部世界中认出它们。

 就在那时，我妈妈开始注意到，“哦，约翰似乎喜欢数学。” 

我想说的是，我一直对数学感兴趣，但我认为随着年龄的增长，尤其是在高中左右，我开始踢足球。

        我妈妈希望我去普林斯顿大学

        或麻省理工学院。

她希望我学习一些涉及数学和物理的东西。

我真的很想踢足球。

我想在十大联盟中踢足球。

所以宾夕法尼亚州立大学橄榄球队最终向我提供了一份全额奖学金，让我去那里打大学橄榄球。

在宾夕法尼亚州立大学，我最终主修数学。

这很大程度上是由于我所选择的几位讲师和教授的影响，但我在三年内完成了数学学位。所以我在想，在完成学位后留在宾夕法尼亚州立大学的方式。好吧，我只是用获得数学硕士学位来填补我提前毕业以来的时间。

然后我被选入 NFL，并在第五轮被乌鸦队选中。

此时，我已经离开学校了。我打了我的第一个赛季。

赛季进展得非常顺利。 

我加入了这个团队，但不知怎的，我感觉好像缺少了一些东西。

我意识到我错过了数学，就像我错过了学术界一样。所以我申请了博士项目，我最终决定选择麻省理工学院。

约翰的数学之路

我会在秋季学期参加 NFL 比赛，然后在春季学期（对于 NFL 球员来说是淡季），我会在剑桥上课、做习题、与教授交流。所以我就有了这种双重生活。 

在某个时候，我最终决定是时候永久搁置足球了。我从 NFL 退役。

现在我完全专注于完成我的博士学位并抚养我的女儿。 

事后看来，我很高兴我当时就做出了这个决定。

因为我认为花在攻读博士学位上的额外时间，以及花在学习更多数学、做更多事情上的额外时间，确实带来了回报。 

我觉得，如果不是对数学的额外关注，我不确定我现在会在研究所，实现数学家的梦想。 

足球实际上在很多方面帮助了我的数学生涯。你知道，在足球场上你不断受到挑战。每一天你都会被击倒，你必须站起来并不断反击，你就会建立这种弹性感。

我认为在数学方面，当解决数学问题时，很有助于我的弹性。

即使我尝试了 99 件事，每件事都失败了，我仍然会尝试第 100 次。保持好奇心。

采访视频上传日期：2022-4-12

https://youtu.be/Hp20Z0QyKJE

因为“局域化景观”理论（localization landscape theory），她和马塞尔·菲洛什（Marcel Filoche），共同获得首届美国数学会AMS 2024年埃利亚斯 M. 斯坦恩分析新视野奖（Elias M. Stein Prize for New Perspectives in Analysis）。参阅小乐数学科普：2024年首届斯坦恩（Elias M. Stein）分析新视野奖授予Filoche和Mayboroda

斯维特拉娜在IAS普林斯顿高等研究院数学学院成为冯·诺依曼研究员，她的工作位于偏微分方程、调和分析和几何测度论的交叉点，阐明了出现在自然世界中或有一天可能应用于自然世界的几何模式。

以下是她在IAS期间接受采访所谈内容：

“我的工作主要涉及偏微分方程、调和分析和几何测度理论的交叉领域。 ”

即几何规律（例如无序性）如何影响偏微分方程的解。

反之亦然，几何在自然物理现象下形成什么模式。

我来自乌克兰。我在一所普通的社区学校上学，没什么特别的，没有特别注重学业成绩或类似的事情。我设法进入了一所非常好的高中。 

那时我必须选择专业。我喜欢这一切，你知道。 我喜欢数学。

我喜欢生物学、地理、语言、文学、写作。

我一直都在做空中运动。

即空中飞人、绳索、天琴、丝绸，

就像马戏团的空中体操。

我跳芭蕾舞，古典芭蕾。

然后我进入了大学，我仍然不知道该做什么。

我去了数学系，同时又去了商学院，并且我都毕业了。所以我拥有数学和金融学位。

我认为，数学是扎实的教育，是一件好事，而商业是我一生中真正想做的事情。 我只是决定在研究生院将数学作为我的职业。

其中一位教授提到了去美国读研究生的机会。这听起来像是一次奇妙的冒险。

我的意思是，新的国家、新的人民、新的文化、新的世界、新的宇宙、新的一切。你可以在地球上的任何地方做数学。 

斯维特拉娜的数学之路

 我利用数学的优势。 

我经常旅行。

我与人们合作，与各地的人们交流。

我喜欢它。在我谦虚且非常有偏见的观点中，数学是一个人能做的最好的事情。

这是对知识的惊人追求。

你每天醒来，都由你自己决定今天想什么，今天要解决什么问题。

这项工作每天都充满激情、灵感和幸福，同时也充满挫折。

所以你必须热爱这个过程。

你必须热爱学习你正在学的东西，就像真正能够找到一些东西一样。

只要你这样做，你就会感到快乐和满足。所以我的灵感、我的兴趣主要在于推动纯粹的知识。

只发现那些尚未真正存在、尚未有人思考过的事物。但有时，数学会被应用于一些非常真实的现象，希望一百年后有更多。保持好奇心！

采访视频上传日期：2022-3-8

https://youtu.be/Hp20Z0QyKJE

它涉及像卫星这样的小质量物体在行星和月球这样的两个大质量物体的影响下的运动。

这是某种哈密尔顿系统

是你希望试图理解的某种动力系统。

我来自乌拉圭蒙得维的亚，在一个破碎的家庭中长大，这总是影响着我。

幸运的是，我们受到了母亲的影响，她是一个具有非常坚强性格的女性。

她不仅生下我，还养育了她的两个弟弟。她是我的导师。

数学是在我身上慢慢成长的东西。

我在高中时的最后一年有一位很棒的数学老师叫安娜·索尼娅（Ana Sonia）。

她有时扮演着我的第二个母亲的角色。然后我开始学习工程学，因为我不知道在乌拉圭哪天可以在数学方面做得很好，直到我知道可以，然后我有点爱上了它。

我甚至放弃了工程学，同时我也在学习音乐。

因此在剑桥硕士课程结束时我继续做数学和音乐。

我意识到我想学习一些特定风格的几何——

综合几何（synthetic geometry）

为了追随我的兴趣，我在伦敦开始攻读博士学位。我的博士生导师克里斯·温德尔（Chris Wendell）当时在伦敦，但后来他搬到了柏林。因此我在伦敦读了两年，然后在柏林读了两年，然后我开始了我的研究。

在德国奥格斯堡，我跟着Kai Cieliebak开始了第一个博士后。他是我一直以来最喜欢的人之一。我从他那里不仅学到了很多关于 H 原理以及弦拓扑的知识，而且我还学会了如何成为一个更好的人。

奥古斯丁的数学之路

之后，我在瑞典的乌普萨拉找到了另一个职位，然后我最终来到了这里。

我现在的导师是赫尔穆特·霍弗（Helmut Hofer），他是一个白发聪明的德国人。他是我的学术祖父，正如我喜欢这么称呼他，我的意思是我从他那里学到了很多东西，从处理学术政治和申请工作，

以及作为一名音乐家怎样烤排骨和喝啤酒，我认为这肯定影响了我研究数学的方式。

人们有不同的方式观察和做数学。

但对我来说，数学仍然是一种艺术形式，也是一种科学形式，它从来都不是一条线性的道路。

一路上总是有很多障碍。

一个数学家需要的最基本的美德，当然是韧性和建设这种对失败的抵抗力。

保持好奇心！

采访视频上传日期：2022-1-28

https://youtu.be/U8jKqKN95uk

Jinyoung Park（朴珍英，박진영，1982 -） 是家里第一代大学生（即父母没有大学学历），在韩国担任七年中学教师后，她在罗格斯大学继续深造获得数学博士学位。

Jinyoung的故事表明，各个教育阶段榜样的重要性，以及重新开始永远不会太晚的事实。

朴珍英研究随机离散结构的阈值现象。她致力于识别这种随机网络中的模式和典型结构。

2023年，朴珍英因在解决有关阈值和选择器过程的几个主要猜想方面做出的贡献而获得玛丽亚姆·米尔扎哈尼新前沿奖（Maryam Mirzakhani New Frontiers）。2024年，她与合著者Huy Tuan Pham一起获得了德奈什·柯尼希奖（Dénes König Prize）。

以下是她在IAS期间接受采访所谈内容：

我现在主要考虑的主题是随机离散结构的阈值现象。

这里的随机意味着每次你做这个实验时，都会构建一个不同的网络。

我研究的一个问题是这个随机网络的典型结构是什么。

当我在中学时，我对他们来说不是一个很好的数学学生，我想也许我可以改变我学习数学的方式。

于是我买了一本练习册。令人惊讶的是它效果很好，因此当我在高中时，我喜欢上数学。

我只是模糊地认为，如果我能做一些与数学相关的事情作为我的工作，我会很好。

但我是第一代大学生（父母没有大学学历），所以我周围没有人真正知道数学家做什么，甚至人们用数学做什么。

因此我在中学教数学。

七年来，我丈夫在美国找到了一份工作，因此我跟随他来到美国，我有足够的时间。我想找到一种方法，以有意义的方式使用它们。

        因此我认为以更严肃的方式学习数学也许是个好主意。

        幸运的是，我得到了录取。

朴珍英的数学之路

这就是我进入数学博士课程的方式。在学习数学或追求我的数学职业生涯中存在很大的障碍，这就是我自己，因为你知道我就是无法停止。

我想，哎，我太老了，起步太晚了，或者我在大学里没有学到足够多的数学知识。我想是谁让我来到这里的，是我的学术导师杰夫·卡恩（Jeff Kahn）。

我经常感到非常沮丧，因为我觉得我太慢了，我向他表达了我的担忧。

他告诉我，学得快固然很好，但学得深更重要。

不知怎的，这句话震动了我的心。

有那么一刻，我想：哦，我真的想要成为一名深刻的数学家。之后，我对数学变得越来越认真。是的，我认为榜样对人们来说非常重要。

当我在高中时，我真的不知道有任何成功的女性数学家，我希望我有一个榜样。

我当时年轻得多，希望或许可以激励一些女学生加入数学之路。

采访视频上传日期：2021-9-30

https://youtu.be/7H2YvxefFro

在量子力学中，粒子的行为与经典力学完全不同。

例如在经典力学中，粒子可以被困在盒子里。

而在量子力学中，粒子具有量子隧穿（quantum tunneling）这种特殊性质。

它们可以穿过盒子。

描述这种神奇隧穿的一种方式是通过在虚时间（imaginary time）中旅行的粒子。

这种虚粒子被称为瞬子（instanton）

我的长期项目之一就是研究它。

小时候我有很多不同的兴趣，但我不确定什么会更吸引我。数学在学校相当无聊，因为它涉及到在相同的公式中插入数字。

对我来说最大的发现是，我和班上的其他几个人被我们的数学老师一起送到当地的数学奥林匹克竞赛。

对我来说，这是一个启示，数学问题可以如此简单地表达出来，这与我在学校看到的任何问题都不一样，需要我们想出一些技巧来解决它们，之后我就着迷了。我要去参加奥林匹克竞赛，不是为了充分与其他孩子竞争，而是只图享受数学。

当我宣布我想去数学学校时，我父亲强烈反对，因为需要很长的通勤时间，而且靠近我们房子的学校足够好。这需要我相当多的说服力，我很高兴我成功了。

在高中期间，我还受到了另一个非常强烈的影响，我开始参加莫斯科大学的研究研讨会。

谢尔盖的数学之路

我的另一个爱好是物理，两者之间的艰难选择几乎是为我量身而作。在很多方面我的种族身份不太贴合莫斯科大学偏爱的类型。

而数学是克服挑战的工具。即使不能成为正式学生，莫斯科大学也举办了所有这些研讨会，每个人都受欢迎参加，这是非常民主的。

最重要的是我认为发展你自己的品味。

对数学或物理的品味。

然后根据你的而不是其他人的品味选择问题。

数学正如象棋，允许任何人进入并证明自己。你的背景、你的年龄，这些都不重要，它是一种我们都认可的共同语言。证明就是证明，对此没有任何争议。

因此数学不仅是任何背景的任何人都可以展示自己并克服各种偏见证明自己的地方，而且它也是我们所有人都可以认同并沟通的语言。

此外，它本身就是一种美丽的语言。

采访视频上传日期：2021-8-31

https://youtu.be/ipXKvMuqiu

Domath 数学实验室

Domath数学实验室是一个数学可视化作品的创造工场，是一个“看见”数学系列课程的研发中心，是一个帮助数学教师成长的支持中心。

Domath数学实验室本身就应该是一个数学可视化的建筑作品，而且学生和老师可以一起参与到数学实验室的设计、建造中。这样的作品是学生们每天可以见到的数学之美，“哦，数学还可以这样？！”

Domath，为数学辩白，为工程勤勉。