控制系统的校正方法系列(1)：PI控制与PID控制
在控制系统的设计与优化过程中，如何补偿系统的动态性能是一个关键问题。不同的控制方法可以有效地提高系统的稳态精度、响应速度和稳定性。本文将深入探讨比例积分（PI）控制和比例积分微分（PID）控制的原理与应用，分析这两种常见控制方法在改善系统动态特性方面的优缺点，以及在实际工程中的应用场景。通过具体的示例和频率响应曲线，我们将展示这些控制策略如何在不同频率下对系统行为产生影响，并探讨在实际应用中如何进行合理的选择与配置。
本系列文章将讨论了五种常用的闭环控制系统动态性能改进补偿技术，具体包括：
1.控制系统的校正方法(1)：前言、PI与PID控制
2.控制系统的校正方法(2)：超前滞后补偿、滞后超前补偿
3.控制系统的校正方法(3)：案例分析（PI控制、超前滞后补偿、Ⅱ型系统）
4.控制系统的校正方法(4)：案例分析（Ⅱ型系统）
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控制系统需求(校正的目标)
控制系统性能补偿的需求通常由系统的具体要求决定，常见需求包括：
稳态精度要求
为了满足稳态精度要求，控制器中可能需要引入一个或两个积分器。这是因为积分器能够消除系统的稳态误差。然而，每个积分器会引入90度的相位滞后，这常常导致闭环系统稳定性差。例如，具有两个积分器的二类系统在没有动态补偿的情况下，本质上是不稳定的，因为其开环响应轨迹难以绕过不稳定点（−1∠180°）。
稳定性要求
稳定性要求可以通过增益和/或相位裕度，或设定点阶跃变化后的最大输出超调来表达。控制系统还可能需要满足特定的频率响应性能要求，这些要求通常以一个或多个频率下的闭环相位滞后和/或增益边界来表示。
多层系统的需求冲突
这些要求的合理性往往与控制系统作为更大、更复杂系统的一个组成部分有关。在某些情况下，一个控制系统的需求可能与另一个需求发生冲突。例如，在液压驱动系统中，稳定性和刚度要求常常互相竞争。刚度及其动态对应的阻抗是最具挑战性的要求之一，因为实际系统往往表现出“软”的特性。液压油吸收空气会降低有效体积弹性模量，使其远低于教材和材料规范中标示的值。此外，连接点的轴承具有“软中心”，进一步降低了测试测得的关键频率。
动态补偿的必要性
讽刺的是，高惯性负载的驱动系统的稳定性可以通过“软化”系统来缓解，从而使系统在外部负载作用下产生更多的偏转。这可以通过某种压力反馈来实现，这种补偿方法可以方便地提供伪加速度反馈。然而，在最简单的形式中，压力（或力）反馈在对抗高气动力时可能导致控制效果的下降。
补偿方法
控制系统补偿是设计者通过添加动态元素来改善系统动态性能的策略，旨在缓解系统中控制元件的一些不良特性。这些不良特性可能包括：
积分器的90度滞后， 一些传感器和变送器的响应缓慢， 过程延迟、非线性和其他不良特性。
控制系统补偿通常涉及在控制回路中引入“预测”功能。这是通过对控制信号的微分（测量变化率）来实现的。例如，在位置控制回路中，可以对位置反馈信号进行微分以获得输出的速度。然后，这个速度信号可以用于预测输出在未来某个时间点的位置。通过组合传递函数来实现所需的控制动作，可以“构建”出预测装置。
PI控制 (Proportional Plus Integral Control)
在之前的研究中，我们注意到积分作用在闭环系统中具有优势，因为它能够通过在低频时（在零频时为无穷大）的固有高增益来确保稳态误差减小至零。然而，这种装置伴随的90度相位滞后在开环增益跨越0 dB线并建立稳定性裕度的过渡频率范围内可能会引发问题。解决此问题的一种方法是将比例路径引入到误差信号线中，使得比例和积分成分并行生成，并将它们的各自输出相加，如下图所示。
这种比例加积分控制装置的输出简单地等于误差乘以
这是积分和比例路径贡献的总和。从直观上看，在高频时，积分器的输出将被大大衰减（因为 (s) 项变大），因此比例路径将在控制输出中占主导地位。同样，在非常低频时，积分器将具有高增益，因此其输出将在控制输出中占主导地位。
上述表达式可以如下推导：
或
其中 是时间常数 。
现在我们在分子中引入了一个一阶项，称为“一阶超前”（相对于滞后）。一阶超前项的频率响应与滞后相反，即随着频率增加，相位角和增益增加。
另一种形成此传递函数的方法如下图所示。
注意，图中的反馈是正反馈，因此为了将此系统合理化为单个传递函数，我们必须使用规则：前向路径除以一减去回路。根据图可以得到：
这种方式的特别之处在于，我们可以在不使用实际积分器的情况下实现积分作用，这种技术在控制工程领域应用广泛。在电子领域，通常很容易实现任何理想的控制功能，但在液压、气动和机械等领域，情况却往往更加复杂。在这些领域中，通过使用限制器和合规容积来模拟一阶滞后，从而构建延迟，往往比直接实现纯积分作用更加容易。
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为了加强P + I控制特性的理解，我们使用具体数值来绘制频率响应曲线：设 和 。这些数值得到的控制传递函数为 ，其中分子中的2秒时间常数是由 得到的。
下图显示了该函数的增益随频率变化的曲线：
而下图显示了相位角的变化：
从这些图可以看出，在低频段，积分项占主导地位，控制作用类似于增益为（即弧度每秒）的简单积分器。然而，在频率高于约弧度每秒时，控制作用几乎完全等同于比例增益为（即+6 dB），并且基本上没有相位滞后。
因此，P + I控制在低频段提供积分控制，确保稳态误差为零，而在高频段提供比例控制，避免了-90度的相位滞后。通过合理选择积分和比例增益，工程师可以将超前时间常数定位在控制回路中主要的滞后项上。
比例-积分-微分控制（PID控制）
在P + I控制的基础上，扩展出P + I + D控制，即比例、积分和微分控制，其中第三项为微分控制。下图展示了这一控制概念的示意图：
这种方法为控制系统增加了更强的功能，同时也增加了复杂性。通过对控制器传递函数进行合理化处理，得到如下公式：
现在，分子中出现了一个二阶项，这个项可以表示为两个串联的一阶项，或根据、 和 的值表示为具有虚根的二阶项。
对于实根情况，我们得到两个一阶超前项，可以用来像P + I控制示例中那样抵消控制回路中的主要滞后项。对于虚根情况，我们可以像处理振荡的弹簧-质量系统那样，定义自然频率和阻尼比 。由于这个项位于分子中，因此它的增益和相位随着频率的增加而增加。下图展示了阻尼比 时，分子二阶系统的增益曲线。
从图中可以看出，反转的共振效应可以通过调整自然频率的位置来抵消开环传递函数分母中由工艺或其他控制环节引起的共振。如果要消除的环节具有很低的阻尼比，这种补偿（称为“陷波滤波”）需要非常精确地将补偿器的自然频率与需要消除的分母项的自然频率对齐。设计陷波滤波器时，即使是微小的误差也可能导致系统整体性能和稳定性的显著下降。
对于大多数控制系统来说，使用PID控制可能显得“过度”，因为微分项带来的问题可能超过其带来的好处。微分项容易引入噪声，特别是在高频时，噪声会被大幅放大，严重影响系统性能。因此，在使用带微分作用的PID控制时，最好加入一个高频滤波器，以防止系统受到不必要的高频噪声的干扰。PID控制更常用于例如典型的过程控制这种响应速度较慢的系统。
