空间：元素组合在一起构成集合，对这些组合在一起的元素定义它们相互之间的某种“结构/关系”后就成为了“空间”。 度量空间：如果元素之间“结构/关系”是用“距离”描述的，则称度量空间。“距离”的定义满足如下要求：
非负性： 非退化性： 对称性： 三角不等式：
加法(+)封闭：对于任意的, 且唯一 乘法(×)封闭：对于任意的, 且唯一（是一个空间） 在空间中定义加法(+)运算和乘法(×)运算 加法(+)运算和乘法(×)运算如果满足加法结合律、加法交换律、加法的零元、加法的逆元、数乘的结合律、数乘的单位元、分配律则称为线性空间
非负性： 非退化性： 齐次性： 三角不等式： 范数需满足
共轭对称性： 第一变元的线性性： 第二变元共轭线性： 非负性： 内积定义为，内积满足如下四个条件： 内积空间具有基于空间本身的内积所自然定义的范数，所以内积空间一定是赋范空间，进而也属于度量空间、线性空间
柯西列：设为度量空间，取度量空间上的序列，当对任意的，存在，当时满足时，称为柯西列 收敛：设为度量空间，为中的数列，若存在使得，则在中收敛,，称为收敛列，称为的极限，记做 。 例如在空间中，数列是一个柯西列，但不收敛。由该例可知，一个完备的度量空间一定是一个闭集 完备性：距离空间中的柯西列是否都收敛
