滑模观测器
滑模的概念于六十年代末在苏联出现，当时研究了在动态系统中引入不连续控制动作的效果。通过使用一种明智的切换控制律，发现可以迫使系统状态达到并随后保持在状态空间中的预定义表面上。当约束在这个表面上时，所产生的降阶运动（称为滑模运动）被证明对输入通道中隐含的任何不确定性或外部扰动信号不敏感。这种固有的鲁棒性特性引起了全世界对滑模控制领域的兴趣和研究。此后，这些思想也被应用于包括通过观测器进行状态估计的问题。
最早的利用观测器中的不连续切换组件的工作由Utkin在1992年描述。Slotine及其合作者（Slotine, Hedrick & Misawa, 1987）的工作中也出现了类似的方法，其中包括线性输出反馈项。Walcott和Zák使用基于Lyapunov的方法来制定一个观测器，在适当的假设下，该观测器在输入通道中存在有界非线性/不确定性的情况下表现出渐近状态误差衰减（Walcott & Zák, 1988）。尽管Walcott和Zák的策略在直觉上是吸引人的，但它需要使用代数操作工具来有效解决关联的约束Lyapunov问题，对于合理阶数的系统来说。Edwards和Spurgeon（1994）提出了一种观测器策略，其风格类似于Walcott和Zák的策略，但避免了使用符号操作，并提供了一个明确的设计算法。这里将采用这种方法进行故障检测。
考虑受到某些故障影响的名义线性系统，如下所述：
其中，, , , 且 ，并且矩阵 和 满秩。函数 和 被认为分别代表执行器和传感器故障，并假定它们是有界的。进一步假定系统的状态是未知的，只有信号 和 是可用的。（注意：在 的情况下，所有状态都是已知的，可以采用Sreedhar等人的方法（1993）。）
目标是综合一个观测器，以生成状态估计 和输出估计 ，使得输出误差
在有限时间内被迫为零。将考虑的特定观测器结构可以写成如下形式：
其中 是适当的增益矩阵，而 表示一个不连续的切换组件，以引发滑模运动。将证明，只要可以达到滑模运动，就可以通过近似维持滑模运动所需的所谓等效输出注入信号来计算 和 的估计值。
滑模观测器的标准形式
考虑由(1)和(2)给出的动态系统，并假设：
的所有不变零点必须位于复平面的左半部分。
首先考虑当的情况。
根据附录中的命题1，在这些假设下，存在一个线性坐标变换，使得在新的坐标系中：
其中，，，并且矩阵具有稳定的特征值。上述坐标系将作为设计滑模观测器的平台。考虑如下形式的动态系统：
其中，是一个设计用的稳定矩阵，是由下式定义的不连续向量：
其中，是的一个Lyapunov矩阵，并且标量被选择为使得：
如果定义状态估计误差为和，那么很容易得到：
因为在这种情况下，。
在Edwards和Spurgeon（1994）的研究中显示，非线性误差系统（13）和（14）是二次稳定的，并且在有限时间内滑动运动将使得。因此，形式为（8）至（10）的动态系统可以被视为（1）至（2）系统的观测器。由此，如果：
那么，给定的观测器（8）至（10）可以用原始坐标系中的形式（4）来表示。
参考文献：
Edwards, C., & Spurgeon, S. (2000). Sliding mode observers for fault detection and isolation. Automatica, 36(5), 541-553.
Utkin, V. (1992). Sliding modes in control optimization. Berlin: Springer. Walcott, B., & Z0 ak, S. (1988). Combined observer-controller synthesis for uncertain dynamical systems with applications. IEEE Transactions on Systems, Man and Cybernetics, 18, 88}104.
Slotine, J., Hedrick, J., & Misawa, E. (1987). On sliding observers for nonlinear systems. Transactions of the ASME: Journal of Dynamic Systems, Measurement and Control, 109, 245}252.
Walcott, B., & Z0 ak, S. (1988). Combined observer-controller synthesis for uncertain dynamical systems with applications. IEEE Transactions on Systems, Man and Cybernetics, 18, 88}104.
Edwards, C., & Spurgeon, S. (1994). On the development of discontinuous observers. International Journal of Control, 59, 1211}1229.
Sreedhar, R., FernaHndez, B., & Masada, G. (1993). Robust fault detection in nonlinear systems using sliding mode observers. In Proceedings of the IEEE Conference on Control Applications (pp. 715}721).
