引言
自动控制技术在过去几十年中一直是发展最快、最具影响力的技术之一。自动化控制的普遍目标是稳定闭环系统，同时通过基于状态/输出反馈方法开发的控制协议，保证控制误差满足给定的性能指标，如稳定性、准确性和快速性。基于李雅普诺夫合成的设计方法得出的结果是控制误差最终收敛到一个任意小的区域，从而保证了包括稳定性和准确性在内的稳态性能。对于瞬态性能，即快速性能指标，2008年Bechlioulis首次提出了一种新的控制方法论——预设性能控制（PPC），旨在满足预设性能。预设性能意味着跟踪误差应收敛到一个任意预定义的小残差集合内，同时收敛速率不低于预先指定的值，最大超调量小于一个足够小的预先指定的常数，结果是实现了所需的瞬态性能，如收敛时间和超调量。
性能函数
性能函数被定义为具有以下特性的一种特殊函数：
P1：对于所有，是平滑的、正的并且递减的。 P2：，，且。
性能函数被选择为
其中，、和是恰当选择的常数，在和之间变化，影响了的收敛速率。
期望的跟踪误差应该满足下述约束边界，如图1所示：
当时，； 当时，，其中适用于所有的。
如图1所示，只要在所有的时刻都位于边界内，那么通过适当选择、和，的瞬态性能，如超调量和收敛时间就可以得到保证。此外，由于的稳态性能也能够实现，因为或。
尽管提供了保证具有预设性能的有用工具，但直接使用受约束系统来开发控制器甚至是不可能的。常用的方法是误差转换，它能够将约束转换为以下的“无约束”公式：
其中，是一个转换后的误差，函数满足：
T1：是平滑的、有界的并且严格递增的； T2：如果，则；如果，则； T3：如果，则，并且；如果，则，并且。
由于的特性，将式(3)转换为式(2)是足够的。选取了一个满
足上述特性T1–T3的备选函数
于是我们得到转换后的误差为
其中是的逆函数。
基于PPC的控制器设计
基于上述内容，本节介绍了基于PPC的控制器设计过程。受约束的系统被等效地转换为无约束形式，这为控制设计提供了方便。考虑一个单输入单输出（SISO）的动态系统，可以表示为
其中，是系统状态，是控制输入，和是连续函数。定义跟踪误差为
其中，是的参考指令。假设受到约束，然后我们基于转换后的误差。进一步利用，可以推导出如下所示：
因此，为了方便使用反馈控制器设计，使用而不是。李雅普诺夫方法可以保证的收敛。此外，由于的特性，的预设性能可以像所展示的那样被实现。更一般地，如果跟踪误差的初始值是精确已知的，那么约束边界可以简化为如下形式：
其中，和是选择的常数，并且它们的值应该被适当地选定以确保
基于公式，转换函数应该相应地被修改。
T1': 是平滑的、有界的且严格递增的； T2': ； T3': 当时，，当时，。
同时，也应相应地变为
将结合起来，公式不会改变，但变为
案例分析
PID控制器是工业界最广泛使用的控制算法。然而，特别是对于像倒立摆这样的非线性系统，调整PID增益以获得良好的设定点跟踪、瞬态性能和扰动抑制可能是一项挑战。预设性能控制（PPC）为确保不确定非线性系统的瞬态和稳态性能提供了一种系统性的方法。这是通过将误差转换为在衰减的性能函数p(t)内界定来实现的。本案例能够视觉化对比PPC-PID和PID控制下的倒立摆，帮助您理解PPC对倒立摆响应的影响。
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