Lipschitz连续性是以德国数学家Rudolf Lipschitz命名的一种函数的强形式的均匀连续性。直观地说，Lipschitz连续函数的变化速度是有限的，表述为：存在一个实数，对于该函数图上的任意一对点，连接它们的线段的斜率的绝对值不大于该实数；这样的上界被称为该函数的Lipschitz常数（与均匀连续性模数相关）。例如，定义在区间上且具有有界一阶导数的每个函数都是Lipschitz连续的。
在微分方程理论中，Lipschitz连续性是Picard-Lindelöf定理的核心条件，该定理保证了初值问题的解的存在性和唯一性。名为收缩的一种特殊类型的Lipschitz连续性在Banach不动点定理中被使用。
对于一维函数来说,在某一点可导意味着存在定义在的某个邻域内的一个常数，使得
这个常数就是该点的导数，符合导数定义的极限。
而Lipschitz连续则是一个强的连续性条件。对于一维函数，如果存在常数，使得对于任意的和，都有
那么函数就是Lipschitz连续的。
从定义上来看，连续可导的函数一定是连续函数，而Lipschitz连续则是对连续函数施加了更强的限制。
具体地说，在一维情况下，如果一个函数在某个区间上可导，那么它也是该区间上的连续函数。但Lipschitz连续则要求函数在整个定义域上都具备一定的斜率上限。
举个简单的例子，函数在整个实数域上都是连续可导的，因为对于任意的和，导数在整个区间上是连续的。但是不是一个Lipschitz连续函数，因为它的斜率没有上界。
定义
给定两个度量空间和，这里表示集合上的度量，表示集合上的度量，如果存在一个实常数 ，使得对于X中的任意 和 ，
则称函数是Lipschitz连续的。这样的 被称为函数的Lipschitz常数，也可以称为 K-Lipschitz。最小的常数有时被称为f的（最佳的）Lipschitz常数或者f的膨胀率。如果，则该函数被称为短映射，如果且f将度量空间映射到自身，则该函数被称为收缩。
特别地，对于实值函数，如果存在正实常数 K，使得对于所有实数 x_1 和 x_2，
在这种情况下，Y是具有标准度量的实数集R，而X是R的子集。
一般来说，如果，则不等式（显然）成立。否则，可以等价地定义一个函数是Lipschitz连续的，如果且仅如果存在一个常数 ，使得对于所有，
对于多个实变量的实值函数来说，如果所有割线的斜率的绝对值都被所限制，这个条件就成立。通过通过函数图上的某一点的斜率为的所有直线形成一个圆锥体，当且仅当函数的图在这个圆锥体的外面时，该函数是Lipschitz的。
如果对于中的每个都存在一个邻域，使得上的是Lipschitz连续的，则函数称为局部Lipschitz连续的。等价地，如果是局部紧的度量空间，则f在X的每个紧子集上都是Lipschitz连续的。在不是局部紧的空间中，这是一个必要但不充分的条件。
更一般地说，如果对于在X上定义的函数，存在常数，使得对于X中的所有和，
则称函数f满足X上的Hölder连续性或满足顺序的Hölder条件。有时，顺序的Hölder条件也称为顺序的均匀Lipschitz条件。
对于实数，如果对于X中的所有，
如果存在一个常数K，那么函数就被称为K-双Lipschitz（也可写作K-bi-Lipschitz）。我们说函数是双Lipschitz的，意味着存在这样的。双Lipschitz映射是单射，并且实际上是一个同胚映射到它的图像上。双Lipschitz函数与一个反函数也是Lipschitz的一样。
举例
在所有点处可微的Lipschitz连续函数
对于定义在所有实数上的函数，它是Lipschitz连续的，Lipschitz常数，因为它在所有点都可微，且导数的绝对值被上界为1所限制。在“性质”下面列出的第一条性质中有详细说明。
同样地，正弦函数是Lipschitz连续的，因为它的导数，即余弦函数，在绝对值上被上界为1所限制。
在所有点处不可微的Lipschitz连续函数
对于定义在实数上的函数，它在实数上是Lipschitz连续的，Lipschitz常数等于1，根据反三角不等式。更一般地说，在向量空间上的范数是与相关度量的Lipschitz连续函数，Lipschitz常数等于1。
在所有点处可微但不连续可微的Lipschitz连续函数
函数，它的导数存在，但在处有本质不连续。
不是（全局）Lipschitz连续的连续函数
定义在区间上的函数不是Lipschitz连续的。当接近0时，这个函数变得无穷陡，因为它的导数变得无穷大。然而，它是一致连续的，并且在上既是α类的Hölder连续函数，也是绝对连续的（这两个条件都意味着前者）。
不是（局部）Lipschitz连续的可微函数
根据和（对于），可以给出一个在紧致集上可微但不邻域Lipschitz连续的函数的例子，因为其导数函数没有界限，可参考下述的第1条性质。
不是（全局）Lipschitz连续的解析函数
指数函数在时变得任意陡峭，因此尽管是解析函数，它并不是全局Lipschitz连续的。定义在所有实数上的函数也不是Lipschitz连续的。当趋近于无穷大时，该函数变得任意陡峭。但是，它是局部Lipschitz连续的。
性质
如果处处可微的函数是Lipschitz连续的（具有），当且仅当它的导函数有界；其中一个方向是由于中值定理可得。特别地，任何连续可微函数都是局部Lipschitz连续的，因为连续函数在局部是有界的，所以它的梯度也是局部有界的。
Lipschitz函数是绝对连续的，因此几乎处处可微，也就是在零测集外的每个点都可微。其导函数的绝对值被Lipschitz常数本质上限制，对于，差值等于导函数在区间上的积分。
反过来，如果是绝对连续的，因此在几乎所有（在中）都满足的条件，则是Lipschitz连续的，Lipschitz常数最大为。
更一般地说，Rademacher定理将可微性结果扩展到欧几里得空间的Lipschitz映射之间：Lipschitz映射，其中是中的开集，几乎处处可微。此外，如果是的最佳Lipschitz常数，则总导数存在时有。
对于一个可微的Lipschitz映射，不等式成立，其中是的最佳Lipschitz常数。如果定义域是凸的，那么实际上。假设是两个度量空间之间的Lipschitz连续映射的序列，并且所有的都有被某个限制的Lipschitz常数。如果一致收敛于一个映射，那么也是Lipschitz的，Lipschitz常数被同样的限制。特别地，这意味着在具有特定Lipschitz常数的紧致度量空间上的实值函数集是连续函数的闭凸子集。然而，对于可能具有无界Lipschitz常数的函数序列，该结果不成立。事实上，在紧致度量空间上的所有Lipschitz函数的空间是连续函数Banach空间的子代数，因此在其中是稠密的，这是Stone-Weierstrass定理的一个基本推论（也是Weierstrass逼近定理的结果，因为每个多项式都是局部Lipschitz连续的）。
每个Lipschitz连续映射都是一致连续的，因此也是连续的。更一般地，具有有界Lipschitz常数的函数集合构成一个等度连续集。Arzelà-Ascoli定理暗示了如果是一个有界一致Lipschitz常数的函数序列，那么它有一个收敛的子序列。根据前一段的结果，极限函数也是Lipschitz的，并且具有相同的Lipschitz常数上界。特别地，在具有Lipschitz常数的紧度量空间上的所有实值Lipschitz函数构成了Banach空间的一个局部紧凸子集。
对于具有相同常数的Lipschitz连续函数家族，函数（和）也是Lipschitz连续的，并且具有相同的Lipschitz常数，前提是它至少在某一点上取得有限值。
如果是度量空间的一个子集，是Lipschitz连续函数，总是存在Lipschitz连续映射将扩展并且具有与相同的Lipschitz常数（参见Kirszbraun定理）。可以通过以下方式进行扩展：
其中是上的Lipschitz常数。
Lipschitz流形
在拓扑流形上定义一个Lipschitz结构，使用一组图表的过渡映射是双Lipschitz的；这是可能的，因为双Lipschitz映射构成了一个伪群。这样的结构允许我们定义两个流形之间的局部Lipschitz映射，类似于如何定义两个光滑流形之间的光滑映射：如果和是Lipschitz流形，那么一个函数是局部Lipschitz的，当且仅当对于每一对坐标图和，其中和是相应欧氏空间中的开集，复合映射
是局部Lipschitz的。该定义不依赖于对或定义度量。
这种结构介于分段线性流形和拓扑流形之间：分段线性结构会产生唯一的Lipschitz结构。尽管Lipschitz流形与拓扑流形密切相关，但Rademacher定理使我们能够进行分析，从而获得各种应用。
单边Lipschitz
设F(x)是x的上半连续函数，并且对于所有x，F(x)是一个闭凸集。那么如果对于所有和存在某个使得
则F是单边Lipschitz的。
函数F的Lipschitz常数可能非常大，但单边Lipschitz常数可能适中，甚至为负。例如，函数
的Lipschitz常数K = 50，而单边Lipschitz常数。一个单边Lipschitz但不是Lipschitz连续的例子是，其。
