控制系统的校正方法(2):补偿方法
在控制系统的设计与优化过程中,如何补偿系统的动态性能是一个关键问题。不同的控制方法可以有效地提高系统的稳态精度、响应速度和稳定性。本文将深入探讨比例积分(PI)控制和比例积分微分(PID)控制的原理与应用,分析这两种常见控制方法在改善系统动态特性方面的优缺点,以及在实际工程中的应用场景。通过具体的示例和频率响应曲线,我们将展示这些控制策略如何在不同频率下对系统行为产生影响,并探讨在实际应用中如何进行合理的选择与配置。
本系列文章将讨论了五种常用的闭环控制系统动态性能改进补偿技术,具体包括:
1.控制系统的校正方法(1):PI与PID控制
2.控制系统的校正方法(2):超前滞后补偿、滞后超前补偿等补偿方法
3.控制系统的校正方法(3):案例分析(PI控制、超前滞后补偿、Ⅱ型系统)
4.控制系统的校正方法(4):案例分析(Ⅱ型系统)
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超前-滞后补偿
超前-滞后补偿实际上是在引入高频滞后项的基础上实现超前补偿,以滤除高频噪声。换句话说,我们通过在系统中引入超前项来抵消控制回路中滞后元件的影响,尤其是在那些决定稳定性裕度的关键频率范围内。然而,在加入这种补偿时,我们需要小心不要因分子中的微分器而引入不必要的高频噪声。因此,超前-滞后补偿是一种折衷方案。其传递函数形式如下:
其中,分子中的时间常数 用于补偿控制回路中的滞后,而分母中的断点频率应远超出关注的频率范围。通常,分母的时间常数至少比分子中的时间常数小一个数量级。我们可以通过下图所示的排列来“构造”超前-滞后函数。
从上图中可以得到传递函数:
如果选择, , 和, 代入上述传递函数可得:
此时,我们得到一个时间常数为10秒的分子超前项,以及一个时间常数为1秒的分母滞后项。可以通过调整和的值来调整分子和分母时间常数之间的比率。
下图展示了该函数的增益和相角的频率响应图。
从这些频率响应图中,我们可以得出以下结论:
超前-滞后函数在稳态下具有单位传输,即0 dB增益和0度相移。 在两个断点频率之间,相角变为正值,即产生了“超前相角”或“相位提前”响应。这个超前相角会在两个断点频率之间达到最大值,然后随着频率继续增加而逐渐回到零相角。 两个断点频率之间的差距至少要有10倍以上,才能使超前补偿有效;如果差距太小,超前相角的变化幅度会很小,对系统整体行为的影响也相对较弱。
超前-滞后补偿策略通常用于抵消响应缓慢的传感器的影响。
滞后-超前补偿
滞后-超前补偿实际上是一种“简化版”的比例积分(P+I)控制,因为它在动态性能上与P+I补偿基本相同。滞后-超前补偿通过引入一个具有较大时间常数的一阶滞后环节,同时配以高增益来实现。在关注的频率范围内,这种配置的行为与积分器相似,带有接近90度的相位滞后,并且增益斜率为每倍频程下降6dB。随着频率接近关键点,超前环节会抵消滞后效应,就像纯比例积分控制中的情况一样。
滞后-超前补偿的传递函数形式为:
其中,通常增益较大,也较大,因此在感兴趣的频率范围内看起来像是积分作用。则用于抵消系统中的一个主要滞后环节,这与前面讨论的P+I补偿方法类似。滞后-超前网络的构造与前面提到的超前-滞后方法类似,只是、和的取值有较大不同。此外,这两条路径是通过求和而不是求差得到输出的。
其结果的传递函数为:
为了演示这种滞后-超前功能,设,,并且。将这些值代入上述传递函数得到:
这一传递函数可以通过一个一阶滞后的正反馈来实现,类似于之前P+I补偿的例子。
应用“前向路径除以(1-反馈回路)”的规则,可以将其合理化为单个传递函数,结果为:
这与之前推导出的传递函数一致。
下图展示了上述滞后-超前补偿的增益和相位频率响应曲线,显示出其与纯P+I补偿动作的明显相似性。
对滞后-超前补偿可以得出以下几点结论:
滞后-超前补偿提供了类似P+I的控制作用。 在稳态下,滞后-超前补偿的增益非常大但不是无限,这与P+I控制的主要功能区别在于,滞后-超前补偿可能会导致一个小但可测量的稳态误差。 滞后-超前补偿在滞后断点频率以上的频率响应与纯P+I补偿几乎相同。
反馈补偿
在反馈控制系统中,如果前向路径的传递函数高度非线性、变化不可预测或具有其他不利特性,传统的前向路径补偿可能效果不佳。此时,反馈补偿法可以非常有效。其成功的关键在于我们可以引入固定且已知数值的反馈传递函数元件。
反馈补偿的原理如下图所示:
该图展示了一个典型的闭环系统,包含前向路径和反馈元件。我们可以将该系统的闭环传递函数(CLTF)表达为:
与以下形式相同:
现在,如果在考虑的特定信号范围内,基于上面表达式的第一种形式,我们可以说:
这种假设通常适用于输入信号的低频范围。
对于的情况,这通常对应于在高频时,由于显著衰减的存在,闭环传递函数近似为前向路径传递函数。因此,使用这种技术时,低频响应可以由反馈传递函数的倒数近似,而在高频时则过渡为前向路径响应。
为了说明这种补偿技术,假设一个闭环控制系统如上图所示,该系统的过程具有一个不理想的传递函数形式,即一个轻微阻尼的二阶系统。这个二阶项在共振频率下引入了几乎即时的180度相位滞后,严重限制了可以使用的积分器增益,导致系统响应要么过于迟缓,要么由于过程特性而出现较大振荡。如果过程共振频率的可预测性不高或在控制系统的工作范围内有所变化,这个问题可能会大大加剧。
使用反馈补偿技术,这个系统可以进行如上图所示的修改,加入一个包含时间常数为0.02秒的一阶超前项的附加反馈环路。仅对内环进行合理化处理,闭环传递函数为:
这进一步简化为一个阻尼显著改善的二阶系统,如最终方程所示,表明了未阻尼自然频率和阻尼比:
添加的反馈环路的效果是将过程的未阻尼自然频率从10提高到33.16弧度每秒,同时将阻尼比从0.05提高到0.45。还应注意,过程增益降低了约10倍。可以通过增加来补偿,以达到最佳的稳定裕度。
根据反馈补偿方法,当前向路径和反馈元件的乘积远大于1时,内环响应可以近似为反馈元件的倒数。而当该乘积远小于1时,过程近似为前向路径传递函数。
下图验证了上述分析:
显示了低频增益响应确实类似于时间常数为0.02秒的一阶滞后,即反馈元件的倒数。随着频率增高,前向路径和反馈元件的乘积显著小于1时,该响应过渡到前向路径响应。
在这个简单的例子中,我们可以通过数学计算验证上述结论,因为使用了简单的线性例子来演示反馈控制原理。目的是通过示例验证这一概念,以便在处理复杂非线性过程时,控制工程师能够自信地应用反馈控制方法。在上述例子中,通过选择控制器增益,可以将整个系统优化,以提供更好的带宽和良好的稳定裕度。下图将原始未补偿系统与最佳控制器增益下的补偿系统进行了对比。未补偿系统只能容忍0.1的积分增益,增益裕度只有6.0 dB,响应迟缓。相比之下,补偿方案的积分增益为10.0,响应更快且稳定裕度更好。
到目前为止,通过两篇文章我们已经讨论了五种常用的闭环控制系统动态性能改进补偿技术。除此之外,还有许多未涉及的补偿方法,鼓励读者通过模块化方法构建补偿传递函数。此外,本文仅简要讨论了二阶传递函数补偿,在处理中等共振但可预测的元件或过程时特别有价值,因为这些元件或过程由于在关键频率范围内引入了相位偏移,可能会影响稳定裕度。