特征值和特征向量在控制系统过程建模中非常重要。在设计过程控制时，需要创建一个程序来完成这些控制，这些程序中使用的是基于系统变量的微分方程，这些方程可以通过手工或计算机程序求解。这些微分方程的解将决定系统的稳定性。确定稳定性后，可以展示系统是稳定且阻尼的、不稳定且未阻尼（导致系统中存在持续波动），还是作为不稳定系统，其中波动的幅度不断增加。对于第一种稳定且阻尼的系统，如果系统受到扰动，系统将适当自我调整以返回稳态。对于另外两种情况，系统将无法返回稳态。对于未阻尼的情况，持续波动会对系统造成压力，可能导致设备故障。最终情况是波动幅度不断增加，将导致灾难性故障。
确定系统稳定性的方法主要包括：第一种方法是根据机理创建一个描述系统的微分方程，其中变量是系统中传感器的读数。第二种方法是一种数据驱动方法，即利用系统运行过程中的实际数据，将微分方程拟合到这些数据上，并使用该方程来确定稳定性。
利用特征值求解ODEs
特征值和特征向量可以作为求解线性系统常微分方程（ODEs）的方法。对于规模比较小的系统，该方法相当直接且不太繁琐。
在手动求解线性系统常微分方程时，忘记的小伙伴可参考如下理论与案例
假设我们有一个一阶线性常微分方程组：
其中， 是状态向量， 是系统矩阵。
首先，我们需要求解系统矩阵 的特征值和特征向量。特征值 和特征向量满足以下方程：
求解特征值和特征向量后，我们可以将系统的解表示为特征向量的线性组合。解的形式为：
其中，是待定常数，是特征值，是对应的特征向量。
现在，让我们通过一个简单的例子来说明如何求解线性系统常微分方程的特征值和特征向量：
假设我们有一个二阶线性常微分方程：
将其转换为矩阵形式：
系统矩阵为：
现在，我们求解系统矩阵 的特征值和特征向量。
特征值满足以下方程：
其中，是单位矩阵。
解特征值方程得到特征值 和。
现在，我们分别求解对应于每个特征值的特征向量。
对于，解方程 ，得到特征向量 。
对于，解方程 ，得到特征向量 。
因此，系统的解可以表示为：
在尝试求解大型ODEs系统时，一般使用计算机程序辅助求解。
稳定性
特征值可以用来确定平衡点是稳定还是不稳定。稳定的平衡点是指系统在初始扰动后最终能够返回其原始位置并保持在那里。如果平衡点不稳定，则是系统不稳定的。为了说明这个概念，想象一个圆球位于两座山之间。如果无人干扰，球不会动，因此其位置被认为是一个平衡点。如果我们稍微推动球上山，球会滚回两座山之间的原始位置。这是一个稳定的平衡点。现在想象球位于山顶。如果无人干扰，球仍然会保持在山顶，所以这也被认为是一个平衡点。然而，任何方向的扰动都会导致球从山顶滚开。山顶被认为是一个不稳定的平衡点。
根据上述线性微分方程理论，系统的解表示为特征向量的线性组合：
不难发现，特征值位于的指数位置，根据指数函数的特性，便可得出随时间的变化规律。
围绕平衡点线性化的系统的特征值可以确定系统在平衡点附近的稳定性行为。特定的稳定性行为取决于特征值的实部和虚部的存在，以及实部的符号和它们的值的不同。我们将在下面检查每种可能的情况。
虚数（或复数）特征值
正实部
当实部为正时，系统不稳定，表现为不稳定振荡器。这可以想象为一个向量从平衡点向外螺旋。这种情况的响应随时间的变化为具有不断增加振幅的正弦波，如下图所示。这种情况在尝试控制过程时通常是不受欢迎的，因为如果过程中发生变化，无论是来自过程本身还是外部干扰，系统本身不会回到稳态。
零实部
当实部为零时，系统表现为临界阻尼振荡器，可以在二维中想象为一个向量绕点画圈，下面的图可帮助理解。临界阻尼依然是不受欢迎的，并且被认为是不稳定的过程，因为系统在受到干扰后不会回到稳态。
负实部
当实部为负时，系统是稳定的，表现为阻尼振荡器。这可以想象为一个向量向固定点螺旋。这种情况的响应随时间的图表看起来像振幅不断减小的正弦波，如下图所示。这种情况通常是在尝试控制过程时所期望的。这个系统是稳定的，因为即使在受到干扰后也能到达稳态。振荡将迅速将系统带回设定点，但如果超调是一个大问题，那么就需要增加阻尼。在讨论具有负实部的复数特征值时，重要的是要指出，所有特征值的实部都为负是系统稳定的必要充分条件。
特征值的复数部分
如前所述，振荡系统（即具有复数特征值的系统）的稳定性可以完全通过检查实部来确定。尽管特征值的复数部分的符号可能会导致振荡的相位偏移，但稳定性不受影响。
实数特征值
我们已经看到了如何分析形式为复数的特征值，现在我们将看看只有实部的特征值。
零特征值
如果一个特征值没有虚数部分且等于零，系统将是不稳定的，因为如前所述，如果系统的特征值有任何非负实部，系统就不会稳定。
正特征值
当所有特征值都是实数、正数且不同的时候，系统是不稳定的。在梯度场上，一个点周围有多个向量环绕并从同一点向外指向（一个节点）表示所有正特征值，这被称为源节点，并且实数和正特征值将在时间上呈现出典型的指数图。
负特征值
当所有特征值都是实数、负数且不同的时候，系统是不稳定的。在梯度场上，将有一个节点，向量指向固定点。这被称为交汇节点，实数和负特征值将输出一个逆指数图。
正和负特征值
如果系统的一组特征值既有正特征值又有负特征值，那么固定点是一个不稳定的鞍点。鞍点是一个点，在梯度场上最小值和最大值的一系列点汇聚在一个区域，但不触及该点。它被称为鞍点，因为在曲面图上，函数看起来像一个马鞍。
特征值图总结
下面的表格总结了特征值所代表的稳定性的描述
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