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修改一道一模压轴题
大罕
前文讲到，《“单位圆”是专门术语，不容曲解》http://t.cn/A6uvsPiV，如果要保留原题（指2024年上海浦东新区高三一模第12题）的原意，即半径为1的圆不一定在原点，那么题目需要作修改．顺便将文字作一点调整，使之更有条理，如下：
【题目】在关于x的等式x⁴+a₃x³+a₂x²+a₁x+a₀=
(x-z₁)(x-z₂)(x-z₃)(x-z₄)中，a₀,a₁,a₂,a₃∈R，复数z₁,z₂,z₃,z₄对应的4个点是内接于半径为1的正方形的顶点，若{a₀,a₁,a₂,a₃}⊂{n|1≤n≤2024,n∈Z}，则集合{a₀,a₁,a₂,a₃}的个数为_____．
【注】此题较难，解答过程另文详述．待续．
浦东新区2024年高三一模压轴题详解
大罕
为保留原题的原意，这里对原题作了如下修改：
【题目】在关于x的等式x⁴+a₃x³+a₂x²+a₁x+a₀=
(x-z₁)(x-z₂)(x-z₃)(x-z₄)中，a₀,a₁,a₂,a₃∈R，复数z₁,z₂,z₃,z₄对应的4个点是内接于半径为1的正方形的顶点，若{a₀,a₁,a₂,a₃}⊂{n|1≤n≤2024,n∈Z}，则集合{a₀,a₁,a₂,a₃}的个数为_____．
【解】依题意，实系数方程
x⁴+a₃x³+a₂x²+a₁x+a₀=0有个四个复数根z₁、z₂、z₃、z₄，
由韦达定理,知
a₃=z₁+z₂+z₃+z₄，
a₂=z₁z₂+z₁z₃+z₁z₄+z₂z₃+z₂z₄+z₃z₄，
a₁=z₁z₂z₃+z₁z₂z₃+z₁z₂z₄+z₂z₃z₄,
a₀=z₁z₂z₃z₄，
注意到在复数范围内实系数方程的虚根是成对的，因此分为两种情况:
情况①：z₁、z₂、z₃、z₄四个根是两对共轭的虚数，设圆心为(a,0),
不妨设 z₁=a+1/√2+(1/√2)i ，z₂=a-1/√2+(1/√2)i ，z₃=a-1/√2/(1/√2)i，z₄=a+1/√2-(1/√2)i ，
经过计算(这里的计算是繁冗的)，得
a₃=-4a ,
a₂=6a²-1，
a₁=-4a³，
a₀=a⁴+1，
以上取值中，显然a₀是最大的，于是由{a₀,a₁,a₂,a₃}⊂{n|1≤n≤2024,n∈Z}，得
1≤a⁴+1≤2024，
∴ 0≤a⁴+1≤36，且a<0，
∴ -6≤a<0，
其中，当a=-1时a₃=a₁=4，这与集合元素互异性不符，故舍去．故a=-2,-3,-4,-5,-6，共有5个值．
情况②：, z₁、z₂、z₃、z₄四个根有一对是共轭的虚数，另一对是实数，设圆心为(a,0),
不妨设 z₁=a+1，z₂=a+i ，z₃=a-1，z₄=a-i ，
经过计算，得 a₃=-4a ,a₂=6a²-1，a₁=-4a³，
a₀=a⁴+1，同理可得a=-2,-3,-4,-5,-6，共有5个值．
综上，a的值共有1.0个．
【简评】
本题修改前的文字会产生歧义，影响解题．计算量过大，让考生折戰沉沙．高次方程韦达定理是超纲内容．
本文叙述逻辑性更强，条理清晰．
为方便阅卷，将大罕老师的前文链接如下，
关于一道一模压轴题标答的商榷（一）
大罕
浦东新区2024高三一模，官方提供的答案中，第12题是值得商榷的。
一是“单位圆”概念．
答案[解析]说：注意，沪教版单位圆指的是半径为1的圆,这点很容易搞错(圆心不要求在原点)．
笔者试问：沪教版教材在何处明文规定，单位圆的圆心不要求在原点？
比照向量．单位向量是长度为1的向量，向量是只管方向和长度的量，不管起点，所以单位向量的起点不一定在原点．
但是，所谓“单位圆的圆心不在原点”就有点匪夷所思了．
退一步讲，就算单位圆的圆心可以不在原点，既然“这点很容易搞错”，拟题时为什么偏偏要用“单位圆”而不用“半径为1的圆”呢？
如此惜字如金，是不是故设陷阱让别人落下去呢？
“单位圆”是专门术语，不容曲解
大罕
浦东新区2024高三一模第12题中出现了“复平面上对应的4个点为某个单位圆内接正方形的4个顶点”的字眼，并且，在官方提供的答案中明白无误地指出：“[解析]说：注意，沪教版单位圆指的是半径为1的圆，这点很容易搞错(圆心不要求在原点) ”．
也就是说：单位圆是以1为半径的圆,圆心可以不在原点．
可是，翻开任何资料，给出的定义一致都是：单位圆是指圆心在原点, 半径为 1 的圆．
这里试问：沪教版教材在何处有明文规定：单位圆的圆心可以不在原点？
比照向量．向量是只管方向和长度、不管起点的量，所以，单位向量是长度为1的向量，它的起点可以在原点，也可以不在原点．
所谓“单位圆的圆心不在原点”就有点匪夷所思了．
尽管该题在“单位圆”三字前加了“某个”二字，意思是单位圆是有许多的，圆心可以不在原点，试图避免大家的误解．可是，这种解释是软弱无力的.
退一步讲，就算单位圆的圆心可以不在原点，既然出题时已经料到“这点很容易搞错”，为什么偏偏要用“单位圆”而不用“半径为1的圆”这样表达呢？
如此惜字如金，难道是故设陷阱，让别人陷落下去？
2024-12-17
【附】原题：
已知在复数集中,等式 x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0=(x-z_1)(x-z_2)(x-z_3)(x-z_4)对任意复数恒成立，复数z_1,z_2,z_3,z_4在复平面上对应的4个点为某个单位圆内接正方形的4个顶点，(a_0,a_1,a_2,a_3)⊂(n|1≤n≤2024,n∈Z) ,则满足条件的不同集合 (a_0,a_1,a_2,a_3) 个数为_____．
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