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一个错误的解法
大罕
已知x>0，y>0，且x^2+y^2=1 ,求x+2y最小值．
有一种错误解法是：
因为x+2y≥2√(2xy) ，且当x=2y时取等号，
所以，联立x^2+y^2=1与x=2y，解出x,y的值，代入x+2y，遂得出答案．
错在哪里呢？
如果x+2y≥2√(2xy)=m，且m是常数，那么求出x,y的值再代入x+2y中，得到的才是真正的最小值．
可惜，x+2y≥2√(2xy)中，右边的值不是常数，如此这般，求出的xy的值只能使左右两边相等，远非左边的最小值．
故有人嘲笑这个解法“太搞笑了”．
那么，就本题而言，正确解法是什么呢？一言难尽，且听下文分解。
2024-12-15
有错必纠，一种正确的做法
大罕
前文“一个错误的解法”剖析了错解的症结，作为问题的完善，本文给出一种正确的做法.
【题目】已知x^2+y^2=1，x,y>0，求x+2y的最小值.
【解】先求x+2y的取值范围.
由已知，可设x=cosθ，y=sinθ，θ∈(0,π/2)，
则x+2y=cosθ+2sinθ=√5sin[θ+arctan(1/2)]，
由0<θ<π/2知，arctan(1/2)<θ+arctan(1/2)< π/2+arctan(1/2)，
⇒sin[arctan(1/2)]<sin[θ+arctan(1/2)]<sin(π/2)，
⇒1/√5<sin[θ+arctan(1/2)]≤1，(参见附图)
⇒1<√5sin[θ+arctan(1/2)]≤√5，
⇒1<x+2y≤√5，
可见，x+2y的取值范围是(1, √5]，
因此x+2y无最小值（但有最大值）.
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