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江霁翔，男,2004年毕业于福建师范大学数学与应用数学专业,本科学士学位。2004年通过招考分配至亭江中学,工作至今。20年间均任教高中,担任集备组长十多年,中学二级教师。
2024年8月获得"第一届教师中考考命题能力展示活动"高中数学组二等奖。
01
原题及解答
曾经在高三复习课时讲过一道数列题,题目如下:
我国古代数学著作《九章算术》有如下问题:“今有金箠,长五尺,斩本一尺,重四斤,斩末一尺,重二斤.问次一尺各重几何?”意思是“现有一根金箠,长五尺,一头粗,一头细.在粗的一端截下一尺,重四斤;在细的一端截下一尺,重二斤.问依次每一尺各重几斤?”根据已知条件,若金箠由粗到细是均匀变化的,则中间三尺的重量为__________。
以“长五尺+一头粗+一头细”为关键词搜索,可以搜到不少该题的变形,有的题目求“中间一尺的重量”,有的题目求“总重量”,有的题目将“金箠”改为“金杖”.题目来自于九章算术卷六(上图),书中解答:"答曰末一尺重二斤,次一尺重二斤八两(古代一斤为十六两),次一尺重三斤,次一尺重三斤八两,次一尺重四斤",意思是金箠每一尺的重量构成等差数列:最后一尺重2斤,倒数第二尺重2.5斤,第三尺重3斤,第二尺重3.5斤,第一尺重4斤。
02
以圆锥和三角形分析
箠即(竹)马鞭,问题是:前细后粗的马鞭,每一尺截下来,重量会构成一个等差数列吗?
问题出在哪里？如果本题计算的是一个二维平面图形的面积,以三角形为例：
因此如果要将这道题作为等差数列的基础练习,需要加入文字明确说明“金箠每一尺的重量构成一个等差数列”,不能用“金箠由粗到细是均匀变化的”这样的文字表述来造成歧义。
03
以圆台解题
回到原题,题目相当于"已知一个几何体下粗上细,将其切为等高的5段,最上方的第1节体积为2,最下方的第5节体积为4,求中间三段体积各为多少".由上面计算可知,如果该几何体为圆锥,顶端部分的高为1,体积为2,则下方每一节高为1的圆台的体积都已确定,原题不需要再给出"第5节圆台的体积为4"这个条件,并且计算得到的结果也会和这个条件矛盾。
要同时满足题目中的两个条件(最上方的第1节体积为2,最下方的第5节体积为4),"金箠"的形状不能是圆锥,现假设它在现实里是一头粗一头细的圆竹条,对应的几何体为圆锥切掉顶端的部分剩下的圆台。
图1
图2
04
结合题目解答构造"金箠"的形状
《九章算术》中的解答认为"金箠"每一节的重量(体积)依次构成等差数列,如果要满足这个条件,并且第一节重量为2,第五节重量为4,这样的几何体形状可以是什么样的?
图3
图4
图5
05
总结
笔者认为,由于"金箠"的形状未知,《九章算术》中的这道题可以看成一道结构不良题,在增加不同的条件后有不同的问法及解答:加入条件"五节重量依次成等差",求中间三节的重量,是一道等差数列基础练习题;加入条件"形状为圆锥",去掉条件"第五节重量为4",求中间三节的重量,是一道求相似体体积的基础练习题;加入条件"形状为圆台",求中间三节的重量,是一道求相似体体积的中等偏难练习题,可以考列式但不能要求学生通过笔算得到答案;加入条件"五节重量依次成等差",要求构造出一个符合条件的简单几何体,则成为一道开放式的结合等差数列通项公式特征与立体几何表面积与体积的练习题。
近几年神经网络与AI深度学习是热门话题,对于用大数据训练过的AI,给它原题,它能看出这道题中条件的缺失或者原书解答的不合理之处吗?笔者的同事尝试询问了豆包AI,它看不出这些问题,给的就是原书的解答.因此笔者觉得目前的AI还没有具备利用公理与定理,结合条件来思考分析问题的能力,在数学思维这方面,人类还走在AI的前头.但如果只是通过机械刷题来"提高"学生的数学成绩,将数学解题变成一种条件反射,脱离了分析与思维的过程的话,这样的学生将来可能被AI所超越,因为论刷题和条件反射,神经网络与深度学习比人类有效得多。
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