电子有大小吗？如果有，它的半径是多少？
这是现代理论物理学中的一个难题，本文试图从经典电磁学到量子力学，给出一点科普解读。
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经典半径的计算
如果你没学过量子场论，但好好学过经典电磁学和狭义相对论，那这个问题应该难不倒你，具体计算过程如下。
假定它是一个半径为
根据高斯定理，它的电场为
根据电场能量
则上述结果为
这里的
2
违反相对论？
这个值，曾导致历史上一个著名的“矛盾事件”，荷兰物理学家洛伦兹认为这违反了狭义相对论，具体是怎么回事呢？
根据量子力学，电子自旋量子数为1/2，它的自旋角动量为
而根据球体的假设，电子的转动惯量为
如果认为
据此，洛伦兹最初认为电子自旋的想法是错误的，或者，电子的自旋不可能有
但随后，狄拉克通过相对论和量子力学的结合，从理论上得到电子的自旋的确是
于是，人们又反过来认为，电子是球体的假设是不对的，电子既然不可能是一个球体，当然也就没有所谓的半径了。
但是，上面这种推理本身的出发点是错误的，自旋并不是真实的转动，实际上，自旋是粒子的一种内禀的性质，并非是一种转动。当然也就无法说明电子不是球体了。
3
量子场论的观点
然而，若你学过量子场论，你会觉得，讨论电子大小这件事有点莫名其妙。
因为按照量子场论，电子是狄拉克场的量子化激发，电子的所谓“尺寸”可认为是波函数的弥散或膨胀，显然，讨论它的大小是没有意义的。
根据现代粒子物理学，电子是12种轻子之一（考虑电性），属于基本粒子，所有基本粒子都被认为是点粒子，也就是说，它们都是没有大小的。
但对绝大多数人来说，他们不能理解这种观点，既然电子是一个物体，怎么会没有大小呢？没有大小的话，那还算存在吗？所以它必须有大小。
对于学过普通物理学的大学生来说，电子若是一个没有大小的点，那会导致一系列无法解释的问题。
一方面，如果它没有小，那它怎么会有质量？
因为这样会导致电子的密度无限大，这不成了奇点嘛！奇点让人不禁想起黑洞，难道电子是一个黑洞不成？
实际上，的确有人提出，基本粒子可能是一个个的小黑洞，并且还会导致许多有趣的物理问题，当然涉及引力的量子化问题，此处不表。
另一方面，如果电子没有大小，那电荷怎么存在？
因为同种电荷被完全集中在一个点上，会产生无限大的排斥力，从而导致无限大的能量，这是不可能的！
当然，学过量子力学的你可能会说：库仑力是建立在点电荷模型上的，在电子那么小的尺寸范围，经典的电磁学规律不再适用了，需要考虑量子力学，或许就不会导致那么大的力了吧？
没错，电磁场的的量子化理论——量子电动力学，通过重整化的方法，解决了这个问题，带来的后果是：电子还是一个点，不用再担心能量无限大的问题了。
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电子的半径到底是多少？
但是，仍然有很多人相信，点粒子只是一种理想化模型，实际的电子不可能只是一个点，它应该有大小。
显然，对这种观点，简单地用量子场论来反驳是无济于事的。
物理最终是靠实验说话的，所以，物理学家试图通过实验来获得电子的大小。
人们利用一种叫Penning阱的设备，精确地测量了电子的磁矩，得到电子的半径上限是10-22米，也就是说，电子的半径就算真的存在，也不会超过这个值。
柱状的Penning阱
而这个值，比电子的经典半径小太多太多了，说明经典物理对电子半径问题的处理是错误的，更不能说明电子有大小。
那么，电子真的是一个点吗？还是有复杂的内部结构？
按照狄拉克方程的结果，电子的自旋和磁矩之间的关系为
但是，实验研究表明，朗德因子并不严格等于2。
这个问题源于电子自能作用和真空极化，量子电动力学完美地解决了这个问题，得到电子的磁矩的理论值与实验值符合得非常好——精度达到小数点后10位。
然而，这件事更重要的意义是，它同时也说明，电子不可能是一个点电荷，因为理论上，点电荷的朗德因子必然是整数。
那你可能想，那电子是由点电荷组成的吗？
也不是！因为每个点电荷的朗德因子是整数，合在一起得到的还是整数。但现在不是整数，说明电子不仅不是点电荷，也不是简单的点电荷体系。
所以，正如很多人想的那样，电子不是一个点，它有内部结构。
然而，电子内部到底是什么样子？目前还是一无所知。
https://en.wikipedia.org/wiki/Penning_trap王正行，《近代物理学》第二版，北京大学出版社，2010年5月
END
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