怎样优雅地画驻波模型图和惠更斯原理图？

文摘 2024-09-28 17:42 广东

在讲本文主题之前，诸君先思考一个稍微简单点的问题：若将函数图像的横轴弯曲，例如变成圆，则函数图像将如何变化？

例如，函数 $y=\sin (3x)$ 的图像：

若把它的横轴替换成半径为10的圆，则是下面这个样子。

是不是很无聊？为什么要做这种无用的事？

不不不，这件事在物理学中很重要。

1913年，丹麦物理学家玻尔（Niels Bohr，1885-1962）在卢瑟福模型和巴耳末公式的启发下，提出了一种新的氢原子结构模型。

Niels Bohr (1885-1962)

该模型后被称作“波尔模型”，它包含三条假设，即定态假设，频率假设和量子化假设。玻尔模型几乎与所有的实验结果一致，波尔大获成功。

量子化条件即 $L=n\hbar$ ，其中 $L$ 为角动量， $n$ 为从1开始的整数， $\hbar=h/(2\pi)$ ，考虑圆轨道运动，则

$L=|r\times p|=rmv$ 故得 $rmv=nh/(2\pi)$ ，即 $\frac{2\pi r}{n}=\frac{h}{mv}$

1924年，法国物理学家德布罗意（Louis de Broglie，1892-1987）提出的物质波假设，即 $\lambda=\frac{h}{p},\quad \nu=\frac{E}{h}$ 其中 $\lambda$ 是电子的波长，不考虑相对论时 $p=mv$ ，故得 $2\pi r=n\lambda$ 所以，氢原子的电子轨道的周长是其波长的整数倍，这就是氢原子的驻波模型。

若要把驻波模型的样子给画出来，该怎么画呢？

没错！就按照上述思路，将正弦函数移植到圆上就行了。

假设圆轨道周长是波长的9倍，波的几率幅为1，则在半径为10的圆上画出来是这样的：

那么，具体是怎么个移植法呢？

很简单，只要在圆的半径上叠加函数值 $y$ ，作为径向距离就行了。

例如上面这个，叠加后在直角坐标系中的径向距离是 $\sqrt{x^2+y^2}=10+\sin(9\arctan(\frac{y}{x}))$ 其中 $\arctan$ 是为了得到 $\theta$ 。不过，因为 $\arctan$ 的定义域的问题，画出来的图有断点。

换成极坐标就可以完美解决问题，径向距离用 $r$ 表示，即 $r=10+\sin(9\theta)$ 在网上找一个绘图程序，直接输入上式，就得到上面的图形了。

在此推荐一个很好用的绘图工具，地址为：

https://www.transum.org/Maths/Activity/Graph/Desmos.asp

如果将圆轨道以虚线画出来，加上驻波曲线，得到 $n=9$ 时的驻波模型图如下。

下面到本文的第二个问题——画惠更斯原理图。

Christiaan Huygens (1629-1695)

1678年，荷兰物理学家惠更斯(Christiaan Huygens，1629-1695)为了解释波的传播，提出：

介质中波动传播到的各点都可以看作是发射子波的子波源，而在其后的任意时刻，这些子波的包络面就是新的波前‌。

此即惠更斯原理。据此原理，平面波在均匀介质中保持为平面波，而球面波也保持为球面波，如下图所示。

怎样优雅地画出上面这样的图呢？

当然，你可以用任何高级语言编个程序来完成，但总感觉那样太大动干戈了。能否像上面画驻波模型那样简单呢？

当然可以！只要先把半圆排成一列，再像上面那样，移植到一个大圆上就行了。

但问题来了，半圆的方程为 $y=\sqrt{100-x^2}$

其图像如下：

它不是周期函数啊！怎么才能排成一列呢？

有人可能会说，很简单啊，只要这样就行了：

$y=\sqrt{100-\left(x-20n\right)^2}\quad n=0,\pm1,\pm2,\dots$

x∈[20n-10,20n+10)。但由于借助了整数

n

，这个周期函数无法被网上的函数绘图程序识别。

怎样才能借助通用的算符构造一个周期函数呢？

读到这里，在看本人给出的方法之前，诸君可先独立思考一下，说不定你可以有更简单的方法。

本人原创的方法很简单，借助神奇的算符mod，它是用来取余的，例如：

{\rm mod}(11,10)=1

由于它是一个通用的函数符号，就像sin和cos那样，几乎所有的程序都认识它，所以可以放心使用。

借助它，基于半圆，构造周期函数为：

y=\sqrt{100-\left(10-\operatorname{mod}\left(x,20\right)\right)^{2}}

画出来是下面这样的

若想往左移动一个半径的距离，可改为如下形式：

$y=\sqrt{100-\left(10-\left|10-\operatorname{mod}\left(x,20\right)\right|\right)^{2}}$ 这样画出来就是

我想诸君应该看出规律了吧！

是的！任何函数，只要用mod函数，把自变量 $x$ 变成 $\frac{T}{2}-{\rm mod}(x,T)$ 就得到一个周期为 $T$ 的函数了！

例如函数 $y=|x|$ ，它的图像为

按上述规则，得到周期为20的函数为

$y=|10-{\rm mod}(x,20)|$ 其图像为

再例如，对抛物线 $y=x^2$ ，对应周期为20的函数为 $y=\left(10-{\rm mod}(x,20)\right)^2$ 其图像为

好了，构造周期函数的的问题解决了，现在可以画惠更斯原理图了！

根据上面所讲，有了基于半圆构造的周期函数，只需将它移植到一个波阵面上就行了。

例如半径为 $10\pi$ 的半圆，构造周期为 $20\pi$ 函数为 $y=\sqrt{100\pi^2-\left(10\pi-\operatorname{mod}\left(x,20\pi\right)\right)^{2}}$ 将它移植到半径为100的球面波上，显然，此时自变量 $x$ 相当于大圆上走过的路径长，即 $x=100\theta$ 故得绘图函数为

$r=100+\sqrt{100\pi^{2}-\left(10\pi-\operatorname{mod}\left(100\theta,\ 20\pi\right)\right)^{2}}$

画出的图为

若同时画上内外两个大圆，则得到球面波的惠更斯原理图如下。

至于平面波，基于半圆的周期函数图就是惠更斯原理图，不再赘述。

作为全文总结，把两个驻波和一组球面波组合，得到一朵奇妙的花——源自物理世界的理性之花。

凡是看到这朵美丽之花的人，都会有好运。

END

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物含妙理

境自远尘皆入咏，物含妙理总堪寻。

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