近代物理要点(一)：狭义相对论

伽利略和牛顿都认为，时间与空间是绝对的，其测量与参考系无关，即独立于运动，时间和空间彼此也是独立的。

牛顿力学的绝对时空观是通过伽利略坐标变换具体实现的，该变换为

设直角坐标系的  轴沿速度  的方向，如上图所示，则上式的分量形式如下 

在相对运动的方向上的位置具有相对性，但其他两个方向上的位置以及时间（时刻）都是完全一致的。且在不同的参考系中的时空间隔也完全一致，体现了绝对时空观的观点。

在坐标变换的基础上，通过求时间导数，可以得到速度变换关系 求时间的二阶导数得   

在牛顿力学中，力和质量是绝对的，加速度在不同的惯性系中相同，因此牛顿方程  在不同的参考系中保持一致，这保证了一切力学规律在所有的参考系中具有完全相同的形式。

伽利略认为，一切惯性参考系中的力学规律都相同，采用任何力学的方法都无法知道所在的惯性参考系的速度，力学规律对任何惯性参考系都平权，这就是伽利略相对性原理。

相互之间有速度的惯性参考系，彼此之间地位相当。人们认为，物理规律应该对任何惯性参考系平权，这意味着任何物理规律在一切惯性参考系里面的形式都是不变的，这称之为物理规律的协变性。

麦氏方程组给出的光速是一个常数，与光源的运动无关，光速没有相对性，这不符合物理规律协变性的要求。解决这一问题的第一种方案是，否认麦氏方程组的协变性，认为光是在一种叫“以太”的媒质中传播的波，其速度自然只由媒质决定。

但波速相对在媒质中运动的观察者不是常数，既然地球不可能相对以太静止，如果以太真的存在，那么必定能在地球上观察到不同方向光速的差别。然而迈克尔逊和莫雷的实验却证实，这种差别并不存在，因此以太就无法被证实，无法解释光速为什么与光源的运动无关。

面对这种窘境，第二种方案被提出，即认为麦氏方程组满足协变性，但协变性不是用伽利略变换实现的。

爱因斯坦通过两条假设实现了上述第二种方案，即

1. 物理规律在所有的惯性系中都一样，不存在任何特殊的参考系。
   

2. 在所有的惯性系中，光在真空中的速率都相等。

这就是狭义相对论的两条基本假设。

基于爱因斯坦两条基本假设，可以推出满足相对论协变的时空变换，它早先已经被洛仑兹出于其他目的而获得。设  为参考系的相对速度，定义洛伦兹因子  为 则洛伦兹正变换为 逆变换为  洛仑兹变换是狭义相对论两条基本假设的具体化，物理规律在洛仑兹变换下具有协变性。

由于必须保证  ，故洛仑兹变换的一个直接结论是：光速是宇宙中最大的速度。

 由洛仑兹变换得到速度的变换关系，正变换为 逆变换为 

a. 同时的相对性

设在  系中两件事同时发生，即 则由洛仑兹变换得 可见，除非同时同地发生的两件事（也可看作是一件事），任何同时发生的两件事，在另一个相对运动的参考系中的人看来，都不再是同时发生的，即所谓同时的相对性。

b. 长度缩短

设在  系中一静止物体沿  轴的长度为  ，当保证  系中测量物体两端坐标是同时进行时，则两事件的空间间隔就是其长度  ，根据洛仑兹逆变换得 故  ，由于  ，故运动的物体沿着运动的方向长度缩短，也称洛仑兹收缩。速度越大，长度缩短效应越明显，当接近光速时，任何大小的距离都趋近于零。

c. 时间延缓

在静止参考系  中（即相对被观察的对象不动的参考系）同一地点先后发生两件事，分别表示为  和  ，则在  系中的时间间隔为 由于  ，故  ，即运动参考系中测量的时间比静止参考系中的要长，此即时间膨胀效应。

时间膨胀效应也称钟慢效应，  系中的观察者测量的时间变长，他发现 系中的时钟相对自己的手表变慢了，即运动的时钟变慢。速度越大，钟慢效应越明显，当趋近于光速时，时间完全停止了。

注意：时间膨胀和洛仑兹收缩都是相对的，即任何一个参考系的观察者都认为对方的时钟比自己的时钟走得慢，都认为对方手里的米尺比自己的短。

  系中两个先后发生的事件  和  之间的时间间隔为 若  ，则事件1先发生，否则事件2先发生。根据洛仑兹变换，在  系中的时间间隔为 所以 由于  ，可见

当  时，  与  同号，即先后顺序固定，具有因果关系。

当  时，  与  不一定同号，即先后顺序不确定，没有因果关系。

可将  理解为两事件之间可能的联系信号的速度，很显然，这个速度必定在光速以内，所以当  时，两事件被认为是可以联系上的，在相对论中就被认为是有因果关系，而当  时，则认为两件事之间无任何因果顺序，因此事件的顺序就没有确定性。不过，这里的因果并无实际含义，不代表现实中的真实的因果关系。

a. 质速关系

物体在静止参考系中的质量为  ，称之为静止质量或固有质量，而相对其以  的速度运动的参考系（物体的运动参考系）中测得的质量  为 

注意：在相对论动力学部分，  既是物体的速度，又是运动参考系的相对（相对物体的静止系）速度，此前一直用  表示参考系的相对速度，因此  ，故上式中洛伦兹因子写成本文后面部分都按此约定。

b.  相对论动量

动量定义（为质量与速度的乘积）具有普遍性，故相对论动量为 

c. 牛顿方程

根据  ，得到相对论的牛顿方程为 

在自然坐标系中的分量形式为 可以看到，力和加速度不同向，随着速度增大，加速度越来越小。

d.  相对论动能

根据动能是合外力对物体所作的功，故

将质速关系两边微分后代入，得 因此相对论动能表达式为  

上述动能的表达式在当  时，以  为无穷小量展开泰勒级数，可得 故低速运动时，动能与经典力学的动能表达式一致。

注意：牛顿力学中的动能的表达式  是在对合外力对质点做功的分析中推出的，实际上它并非动能的一般性定义式。但合外力做的功就是动能的增量，这可以认为是动能的严格定义。

e. 相对论静能和总能

The End

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