数学，逻辑与艺术完美结合的学科。
数学公式，作为数学结论的高度概括，无不体现着优雅的自然哲理，闪耀着人类智慧和思想的光芒。
无数文章描绘和赞美了各种奇异的数学公式。典型的例子如欧拉公式：
再比如看似平凡的不等式
而本文要讲的是一个更加奇异的不等式，它的诡异之处让人简直无法相信，因为它的图像与它自身竟然长得一样！
它的真容是下面这样的。
一堆复杂的计算，看起来没什么美感。
当给定
960939379918958884971672962127852754715004339660129306651505519271702802395266424689642842174350718121267153782770623355993237280874144307891325963941337723487857735749823926629715517173716995165232890538221612403238855866184013235585136048828693337902491454229288667081096184496091705183454067827731551705405381627380967602565625016981482083418783163849115590225610003652351370343874461848378737238198224849863465033159410054974700593138339226497249461751545728366702369745461014655997933798537483143786841806593422227898388722980000748404719各位仔细看，蓝色的图像部分与上面不等式长得差不多吧？
有人惊呼，这式子的内在和外表一模一样，用“表里如一”形容差不多，简直就是数学世界的“耿直哥”！
没错，它的名字叫做自引公式（self-referential formula），意即它自身就呈现了图形的样子。
然而，深入了解这个公式的来由，你会发现，它的功能并非只是“自引”。
这个不等式由加拿大多伦多大学计算机科学系的Jeff Tupper在2001年提出，其目的是为绘制二维像素图提供一种通用的算法。
如果把k值当作密钥，该算法针对106×17个像素的任意位图，提供了一种加密算法，将图形储存在k值中。反过来，给定合乎要求的k值，该算法能将其对应的位图解码呈现。
针对该算法，有网友做了一个在线工具（以下简称keelyhill），网址为：
https://keelyhill.github.io/tuppers-formula/
该网页提供了一个手动绘图区，随便你画个什么图，网页自动同步实时更新对应的k值。
我就是在这里以“点鼠标”的笨办法，绘制了一副像素为106×17的“physics”的图形（为了看清已放大）。
绘完后，网页自动加密图形得到k值：
120401836680646659455509389646023899515705854231963556041160524191114866288029520682884224620219395105639626717497512919432620009513234075338266327025415934700600983682893043453188898768182476382464582411154444434372693115229418739650991359706460160665110459999255798829023608683322251788245903097150734552156077686651923371287193708247211723456855071032994435095877499869830270139101542049407235599036201088283821293420150784用photoshop之类的软件制作一个106×17的任意格式的图片。
将其转换为PBM格式。
将PBM文件上传传到keelyhill，加密k值就自动得到了。
https://imageconvert.org/png-to-pbm
和
https://tomseditor.com/convert
都能做这件事。
例如，我就用photoshop制作了“物含妙理”四个字的图片，存为PNG格式，再转换为PBM格式，然后上传keelyhill后，显示效果如下。
同步得到k值为：
7139654967278260629651290941008326958518470850910682761861525384140132302406091190862857098875453536850769175069352661071140120835934109218333156555590177755512019202666847997066015271590522004417332285741160486011404467360847622071770573518452745296570570192941705361446829591201588521916751968318711219998890940396121250716360098089210736839517482430753189219093462774268100743034071968922095929987193134184395836209412649784776538024555120949969287835366994967166573190410924720847460152936513845329920那么，在哪里可以解码呢？
有两种方法——
按照自引公式的算法，自己写一个解码程序。
找个在线工具来完成。
from functools import reduceimport matplotlib.pyplot as pltimport mathxs = []ys = []k = 960939379918958884971672962127852754715004339660129306651505519271702802395266424689642842174350718121267153782770623355993237280874144307891325963941337723487857735749823926629715517173716995165232890538221612403238855866184013235585136048828693337902491454229288667081096184496091705183454067827731551705405381627380967602565625016981482083418783163849115590225610003652351370343874461848378737238198224849863465033159410054974700593138339226497249461751545728366702369745461014655997933798537483143786841806593422227898388722980000748404719for x in range(106):for y in range(k, k+17):d = ((-17 * x) - (y % 17))e = reduce(lambda x, y: x * y, [2 for x in range(-d)]) if d else 1if 0.5 < math.floor((math.floor(y//17)//e) % 2):xs.append(x)ys.append(y-k)plt.figure(figsize=(20,3))plt.xlim(106, -1)plt.ylim(17, -1)plt.scatter(xs, ys, marker='s')
将代码里面的k值换成你的k值，即可得到解码后的图形。
第二种方法就简单多了，网上工具很多，例如
https://tuppers-formula.ovh/
你只要把k值贴入，点击“Number to Graph”按钮即可得到图形。
好了，关于自引公式的功能和用法，基本讲完了。
然而，看到这里，读者是不是对这个公式没有之前那种奇异的感觉了？
没错，你也许明白了，这个公式并非只为了彰显它自己的样子，它实际上是提供了一种加密和解码图形的通用方法。
既然任何106×17像素的图形都可以被加密，那同样，只要把自引公式存为这么大的一个图片，例如：
然后经历上述流程，就会被加密为一个k值。而用这个k值自然就能反过来重新得到这副图片——它与公式自身长得一样。
所以，自引公式的图像显示为它自己的样子，并不是什么巧合的事！它只是无数个加密图形中的一个而已。
正是这个原因，Jeff Tupper本人对“self-referential formula”这个名头根本不感冒！
没错，它根本不是什么自引公式，它就是一个普通的图形算法公式而已。
假设你能搞出一个图形算法，你也可以让你的算法公式画出与它自己长得一模一样的图形来，这是多么显然的道理！
行文至此，所谓“最神奇的公式的说法”被粉碎了，这也算本文的目的之一。
参考文献
https://en.wikipedia.org/wiki/Tupper%27s_self-referential_formulahttps://blog.csdn.net/weixin_44143678/article/details/119869423https://campus.lakeforest.edu/trevino/Tupper_Paper.pdf
END
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