就像爱情来临时的心动一样，两个频率相近的谐振腔耦合的时候也会发生“心动”：耦合之后谐振腔原有的谐振频率会发生变化。
引言
单个谐振腔具有特定的谐振频率，如果没有外界的“打扰”，谐振腔的谐振频率不会发生变化。然而，当两个有着相近谐振频率的谐振腔互相靠近时，谐振腔之间会发生耦合，耦合之后谐振腔原有的谐振频率会发生变化。
这个变化有点像爱情来临时的心动。“心动”一词在汉语语境里传达了心被移动的感觉，有趣的是，英文中也用“moved”形容心动，而“moved”的本义就是“被移动的”，可见两种语言不约而同地捕捉了“移动”这个过程。和前几期的内容出发点相似，我们依旧把每个人都看成是特定的谐振腔，那么“心动”的感觉就很容易理解了，并且由于人类发展出了自我意识，使得谐振腔耦合产生的频率移动在语言中得到了普遍地反映。本期试图从另一个有趣的角度聊聊谐振腔的耦合，即心动的本质就是谐振腔之间耦合的结果。
心动的来源
为了理解谐振频率的变化，我们需要一个简化的物理模型，还需要借助一点数学推导。
微波炉是微波的谐振腔，天坛回音壁是声波的谐振腔，激光器是光波的谐振腔。谐振腔纵然在形式上千变万化，但一定程度上都可以用简谐振子模型来描述。对于一个固有谐振频率为ω0的谐振子，其振幅在谐振时随时间变化的数学形式可写为。因此满足如下微分方程
如果两个谐振腔耦合（下称谐振腔1和谐振腔2），只需要引入另一个微分方程并稍作修改。为了简单起见，我们首先假设另外一个谐振腔的谐振频率也为ω0，且系统无损耗
其中a1和a2是两个谐振子的振幅。耦合系数κ12描述了谐振腔2耦合到谐振腔1的耦合强度，耦合系数κ12描述了谐振腔1耦合到谐振腔2的耦合强度，如图2所示。
图2 谐振腔耦合
根据能量守恒，κ12和κ21并不是相互独立的，而是必须满足κ12=κ*21，即互为复共轭。令κ12为κ，上述耦合微分方程可写为
其中耦合矩阵为。我们可以通过将耦合矩阵对角化（本征值问题），得到系统的本征态，也就是两个相互不耦合的谐振态及其谐振频率
这样，我们就求出了两个谐振腔耦合之后的谐振频率。
上式清楚地表明，当两个初始谐振频率一样的谐振腔耦合之后，谐振腔的频率发生了移动，产生了两个新频率，一个是ω0-κ，一个是ω0+κ，而原有的谐振频率ω0不再谐振。换言之，谐振腔的频率发生了劈裂，劈裂的大小正好等于两个谐振腔之间的耦合强弱大小。
如果我们要追问新频率产生的物理根源的话，那么应该说是能量守恒。由于系统必须满足能量守恒，所以在数学上可以推出两个谐振腔的耦合系数必须满足复共轭的关系，故而根号里面的数必定是大于零的实数，进而导致开根号之后得到的也是实数，从而贡献了频率劈裂（或频率移动）。
同理，如果两个谐振腔初始的频率不一致，耦合谐振腔的谐振频率可写为
可见，两个谐振腔初始频率相等只是上式的一个特例。将上式绘制成图，可以更清楚地看到谐振腔频率的演化情况。保持一个谐振腔的初始谐振频率不变，扫描另一个谐振腔的初始频率，使其从小到大扫过第一个谐振腔的初始谐振频率，得到下图
图3 耦合谐振腔的频率变化
从图3我们可以看出，当两个谐振腔原始频率相等时，耦合带来的频率移动最为明显。随着两个谐振腔初始频率的远离，频率移动逐渐变小。这一点由新频率的式子也可以看出。当ω1-ω2差别很大的时候，耦合的影响（κ）可以忽略不计，对应的现象就是两个谐振腔基本保持原有的频率不变。
我看见了你
形象地讲，谐振腔耦合产生频移也可以理解为两个谐振腔看见彼此了。上半年电视剧《我的阿勒泰》火了。原著的作者李娟说，在哈萨克族文化里，人与人之间产生友情或者爱情，是由于被看见。所以，哈萨克语的“我喜欢你”，意思是“我清楚地看见你”。这段话引起了很多人的共鸣。的确，对于相知、相恋的人来说，彼此看见，才能消除和抵御孤独。刘若英的歌曲《原来你也在这里》的歌词里写道，“若不是你渴望眼睛，若不是我救赎心情，在千山万水人海相遇，喔原来你也在这里”。现在看来，“我”看见了“你”，其实并不是因为“渴望眼睛”，亦不是“救赎心情”，“千山万水人海相遇”，终于发现“原来你也在这里”的原因，只是因为谐振腔的频率靠得足够近，才能互相“看见”，发生频率的改变，故而“心动”了。
相反，如果两个谐振腔相隔距离太远，或者频率相差太大，则“看见”的可能性大大降低。这就能解释，异地恋为什么总是十分艰难，而创造更多交集在维持这样的感情上简直不能更重要了，好在现在通讯发达，大概也是科技的一大好处。另外，如果恋人之间各自发展，兴趣爱好逐渐变化，其实就是谐振频率越来越远，不在一个频道上了，谐振腔就越来越难以发生耦合了，心动的感觉越来越少，于是渐行渐远。所以如果我们从物理的角度来看待爱情，那么爱人之间保持在相同的爱好，有共同话题，真的是非常重要的一件事情。其实只要是感情，不论是爱情，还是友情、亲情，保持同频都很重要，这是相互看见、相互理解的基础。
结语
看完了这一篇，你是不是对“心动”有了一点从未想过的理解呢？或许在以后怦然心动的时候，会摸着心跳说，“哦，我感到频率移动了！原来是我看见了你！”
最后，作为下一篇的预告，我要再多说两句。本篇我讨论的谐振腔的耦合，有一个重要的假设是，谐振腔是没有损耗的，就是说谐振腔内的能量不衰减，或者说谐振的振幅不衰减。但这是不实际的，物理系统都逃不过衰减。衰减会极大地影响谐振腔的耦合行为，更明确地说，如果谐振腔靠的足够近而且也保持在相同或者接近的频率是不是就一定能保证频率移动（爱情长久）呢？且听下回分解。
作者简介
徐竞，华中科技大学教授、博士生导师、光谷产业教授。主要从事光子集成芯片研究，尤其是非线性光子集成芯片及其在非线性光信号处理、光频梳、光计算中的应用。先后主持或参与多项国家重点研发计划、国家自然科学基金项目，在Physical Review Letters 等物理与光电领域权威期刊发表论文80余篇，在光电领域知名国际会议发表后截稿论文，相关成果被经典英文教材引用，授权国家发明专利二十项。获全国百篇优秀博士学位论文提名、湖北省自然科学一等奖、湖北省梁亮胜科技奖励基金二等奖等荣誉。
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