百万美元的问题是什么？
克雷数学研究所曾经在2000年提出七个千禧年问题，若有人解决任意一个，在2000年就可以获得100万美元奖金。这在当年，甚至是现在，都是一笔巨款。
千禧年NS问题令人着迷。在2017年甚至有一部电影叫“天才少女”，电影虚构了一个小女孩，其母亲在自杀之前，就致力于解决千禧年问题。小女孩出生后也继承了母亲的数学天分，在7岁的时候就证明了千禧年问题，但其数学天分一直被扼杀的故事。
既然这个问题这么复杂，那么这个问题到底是什么？其原始问题可以简述如下
证明或反证无体积力的三维N-S方程，给定任意的光滑的散度为0的初始速度场，在无穷大或周期的计算域内，在所有的时间周期内，存在一个光滑的、有界的解；
克雷研究所还定义了一个“爆掉了”Blow up。也即解的速度的平方（能量）在全场加和后无穷大。
历史上，其他学者在2000年之前也提出过类似的问题。普林斯顿大学在1998年曾抛出一个问题：
在周期边界条件下给定一个光滑的初始条件，在所有的时间周期内，证明或反证三维N-S方程的解的唯一性以及存在性；
更详细的关于这部分的讨论，可以阅读原文跳转dyfluid，参考《无痛笔记》第一章，9月2号新加的内容。
历史的进展
历史上也存在了一些阶段性的进展。如：
如果初始的速度比较小的时候，也可以证明三维N-S方程在有限的时间内，解的存在性以及光滑性。这个有限的时间点，也即“爆掉”时间；
一些文献发现，一些特定的【稳态】流动，解存在不唯一性。在这里要注意，仅限于一些特殊的流动状态，如顶盖驱动流、Rayleigh-Benard对流；
2016年陶哲轩发表文章，其并没有直接回答N-S方程的千禧年问题，而是构建了一套自己的理论，陶哲轩认为可通过该方法构建出一个N-S方程的“爆掉”的解；
2024年的重大推进
上述发现都比较老了。在2024年刊发的一篇JFM（流体力学顶级期刊）的文章中，几位大佬通过将NS方程更改为正则哈密顿的形式，将千禧年问题进一步简化，使得证明更加的简单。
正则哈密顿的形式下的NS方程，如果能证明存在一个简单的标量泛函的存在，那么NS方程的千禧年问题即可解决。
岳子功力有限，JFM的这一篇文章，泛函都搞出来了，属实也嚼不动。又不屑于用AI一顿翻译发过来。
简单发个文章，抛砖引玉，感兴趣的大家看看吧：
A canonical Hamiltonian formulation of the Navier–Stokes problem自家硬广
今年我把dyfluid.com标语从【CFD全业态领先者】更改为“DYFLUID 算法无止境”。
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