基于物理驱动的神经网络通过Boltzmann-BGK格式求解正向和逆向流动问题Physics-informed neural networks for solving forward and inverse flow problems via the Boltzmann-BGK formulation

摘要

带有Bhatnagar-Gross-Krook碰撞模型（BGK碰撞模型）的Boltzmann方程（Boltzmann-BGK方程）已广泛应用于描述多尺度流动，例如从流体力学极限到自由分子流。在本研究中，我们使用物理信息神经网络（PINNs）通过Boltzmann-BGK形式（PINN-BGK）来求解正向和逆向问题，使PINNs能够在连续和稀薄流体的不同流动模式下建模。特别地，PINN-BGK由三个子网络组成，即第一个子网络用于近似平衡分布函数，第二个用于近似非平衡分布函数，第三个用于编码Boltzmann-BGK方程以及相应的边界/初始条件。通过最小化控制方程的残差以及预测和给定边界/初始条件之间的差异，我们可以近似求解连续流动和稀薄流体的Boltzmann-BGK方程。在正向问题中，PINN-BGK用于在给定边界/初始条件下求解各种基准流动，例如Kovasznay流、Taylor-Green涡流、腔体流动以及Knudsen数高达5的微Couette流。在逆向问题中，我们关注于难以获得精确边界条件的稀薄流体。我们利用PINN-BGK在不使用（未知）边界条件的情况下，通过给定的速度场内部散布的有限测量数据来推断整个计算域内的流场。针对Knudsen数在0.1到10范围内的二维微Couette流动和微腔体流动的结果表明，PINN-BGK能够在整个域内以良好的精度推断出速度场。最后，我们还展示了使用迁移学习来加速训练过程的结果。具体而言，对于所研究的二维流动问题，与标准训练过程（如Adam优化器加L-BFGS-B算法）相比，我们可以获得三倍的加速效果。

1. 引言

从稀薄到连续介质的多尺度流动广泛存在于多种应用中，如多孔介质中的页岩气流动【1,2】、真空技术【3,4】和微流体【5-7】等。带有Bhatnagar-Gross-Krook碰撞模型的Boltzmann方程（Boltzmann-BGK方程）【8】是一种广泛用于描述稀薄和连续流动的模型【9,10】。近年来，由于解析解难以获得，已开发出多种数值方法来求解Boltzmann-BGK方程，例如基于有限差分的方法（如在低速连续介质下的格子Boltzmann方法【11-20】）、基于有限体积的方法【21】（如均匀气体动力学格式【22-24】）、离散坐标方法（DOM）【25】和离散均匀气体动力学格式（DUGKS）【26,27】等。上述方法的成功应用包括多尺度热传递【28】、多孔介质中的反应输运【29】以及非平衡流动【24】等。

除了传统的数值方法，深度学习算法近年来作为求解偏微分方程（PDEs）的一种替代方法迅速发展，尤其是在稀疏数据条件下【30-33】。在本研究中，我们特别关注物理信息神经网络（PINNs）【33】，因为它们在求解正向和逆向PDE问题上有效且易于实现。不同于经典数值方法中通过离散网格近似微分算子，PINNs使用反向传播中的自动微分技术【34】来计算PDE的所有微分算子【33】。因此，PINN不需要传统数值方法中的结构化或非结构化网格，从而节省了大量网格生成的工作【35,36】。另一个吸引人的特性是，PINNs能够有效地求解逆向PDE问题【33,37】，且可以使用同样的代码来解决正向问题。具体来说，PINNs可以根据PDE解的部分观测数据推断未知参数并重建解。PINNs在正向和逆向流动问题上的成功应用实例包括：（1）模拟层流和湍流通道流动【38】；（2）基于高速度流中的密度梯度部分观测数据学习密度、速度和压力场【39】；以及（3）根据对被动标量（如温度或溶质浓度）的时空可视化测量推断速度和压力场【40】。

尽管PINNs在解决此类流动问题上取得了巨大进展，但迄今为止，据我们所知，仅考虑了由Navier-Stokes或Euler方程描述的连续介质流动。然而，对于如页岩纳米孔中的气体流动【41,42】等稀薄或过渡流动问题，目前没有任何PINNs或其变体能够直接应用。除了PINNs，Han等人提出使用深度卷积神经网络求解Boltzmann-BGK方程【43】，该方法在Knudsen数范围为10(^\text{-3})到10的多尺度流动中表现良好。然而，文献【43】中仅考虑了正向问题，即在给定边界/初始条件下求解Boltzmann-BGK方程。在实际应用中，精确的边界条件可能非常难以获得，尤其是在（1）跨越不同流动模式的多尺度流动【44-48】和（2）复杂几何结构中的稀薄流动，如多孔介质【49-52】中。由此产生的一个有趣问题是：当我们仅能获得有限数量的内部速度散点测量数据而非边界条件时，是否可以预测速度场？在本研究中，我们将该问题称为“逆向问题”。为了利用PINNs在正向和逆向问题上的优势，我们提出采用PINNs通过Boltzmann-BGK形式（PINN-BGK）求解正向和逆向问题，从而开发出一种新的PINN能力，以无缝地模拟连续和稀薄流动模式。

本文的其余部分安排如下：第二节中，我们详细描述了PINNs在求解Boltzmann-BGK方程中的方法。第三节中，我们展示了在连续和稀薄流动模式下模拟一些二维基准流动的结果。第四节中，我们应用PINN-BGK于逆向问题，即在给定有限数量的内部速度散点测量数据的情况下，推断整个计算域内的流场。第五节则给出简要总结。最后，在附录A和附录B中，分别对PINN-BGK的更多细节和参数的系统研究进行了介绍。

2. 方法论

2.1 从Boltzmann-BGK方程到离散速度Boltzmann-BGK模型

在此我们考虑带有简化碰撞模型的Boltzmann方程，即Bhatnagar-Gross-Krook（BGK）模型【8】，其表达式为：

其中， 是在位置 和时间 处以速度 移动的粒子分布函数； 为弛豫时间，与流体的动力粘度 和压力 相关，定义为 ； 为Maxwellian平衡分布函数：

其中， 为气体常数， 为温度， 为空间维数， 为密度（与流体压力的关系为 ）， 为流体速度； 表示分布函数的非平衡部分。守恒流变量（即 和 ）是分布函数的矩，可以通过下式计算【53,54】：

其中，

请注意，上述粒子速度 是连续的，这使得求解方程 (1) 的计算效率较低。为了降低计算成本，通常采用离散速度模型，同时保持质量和动量守恒【21,53】。具体而言，可以通过在速度空间 中用Hermite正交多项式展开 并将其截断到 阶，将方程 (1) 投影到Hermite基上，得到离散速度Boltzmann-BGK模型（DVB）（详见【54】）：

其中 为第 个离散速度， 为离散速度的数量。同时，方程 (5) 将作为本研究中的控制方程进行求解。

对于本文中考虑的低速等温流动（即马赫数 ）， 是Maxwellian平衡分布函数（即方程 (2)）的二阶Ma展开式【26,54】：

其中 是不同 对应的一组常数权重。此外，守恒流变量 和 计算如下：

这是基于碰撞算子的特性，即碰撞算子保持质量和动量守恒【54】。在第3节和第4节中将为每个具体案例介绍所采用的离散速度模型。

2.2 物理信息神经网络用于求解DVB模型

在本节中，我们首先讨论如何通过Boltzmann-BGK形式（即PINN-BGK）扩展PINNs以求解正向和逆向问题。接着，我们介绍本研究中使用的边界条件。

2.2.1 PINN-BGK

如图1所示，PINN-BGK由三个子网络组成，即一个用于近似平衡分布函数（），一个用于非平衡分布函数（），以及一个用于编码Boltzmann-BGK方程及相应边界/初始条件的网络。特别地， 以作为输入，并输出宏观变量，即和。然后可以根据方程(6)获得。同时，以为输入，输出每个的（即非平衡部分）。更多关于PINN-BGK的细节请参见附录A。

在PINN-BGK中，分布函数被分解为平衡部分（即）和非平衡部分（即），即

通常，和的量级差别较大。对于连续流动，我们可以对方程(5)进行多尺度分析，因为弛豫时间是一个小参数（如）【15,55】。具体来说，我们可以将按展开为【56】：

将方程(8)代入方程(5)中，我们得到以下方程【56】：

截断到项后，可以得到以下方程：

借助方程(10)，我们可以将方程(11)重写为：

进一步可重写为：

其中如图1所示。在连续流动中，可以看出可能比大100倍以上【57,58】。若直接用一个深度神经网络（DNN）近似，可能无法准确解析，因为在中占主导地位。然而，由于也是一个小参数（如在第3.1节中），对控制方程（方程(5)）的收敛有很强的影响。因此，我们分别使用两个DNN来近似和。

在正向问题中，假设已知初始/边界条件和控制方程，因此我们可以通过最小化以下损失函数求解Boltzmann-BGK方程：

其中为控制方程的残差，定义为：

此外，，和分别表示DVB方程残差、初始条件以及边界条件的损失函数。特别地，表示宏观变量，即，和分别是的输出和给定的初始条件。和分别是控制方程和初始条件的训练数据量。这里使用的初始条件与格子Boltzmann方法中常用的类似【15,26】。关于的详细介绍将在第2.2.2节中给出。

对于逆向问题，假设已知方程以及少量内部的速度测量数据，但初始/边界条件未知。此时可以通过最小化以下损失函数来推断速度场：

其中与方程(14)相同，表示预测与测量的误差，为测量位置，为测量数量。

2.2.2 PINN-BGK中的边界条件

一般情况下，在流动问题中，边界条件以压力或速度形式给出。为求解离散速度Boltzmann-BGK方程，我们需要根据给定的压力/速度指定离散分布函数的适当边界条件，即动理学边界条件。在本研究中，针对连续流和稀薄流分别采用方程(13)和扩散Maxwell边界条件。

对于连续流，本研究仅考虑带有速度边界条件的情况。一般来说，每个边界的密度未知。文献【59】中指出，在不可压缩极限下，密度波动的量级为，其中。在我们的计算中密度场初始化为1，因此可以近似认为边界密度为【26】。因此，边界条件下的未知和可以分别通过方程(6)和方程(13)计算。PINN-BGK中速度边界条件的损失函数表示为：

其中为边界条件损失函数的采样点数量，和分别是的输出和给定的边界条件；是的输出，是根据方程(13)计算得到的；是边界处指向内壁的单位法向量。和可以分别视为平衡部分（）和非平衡部分（）的边界条件，因为。

对于稀薄流，气-壁相互作用通过扩散Maxwell边界条件实现【26】：

其中为壁面速度，为壁面密度，根据不可渗透壁面的条件确定【26】：

需要注意的是，方程(18)和(19)用于确定指向流体的未知分布函数。对于离开壁面的粒子，我们要求满足与连续流相同的方程(5)。我们将边界条件在损失函数中表示为：

其中为DNN的预测分布函数，根据方程(18)和(19)得到，为方程(15)的残差。值得一提的是，仅需要和来确定边界处的未知分布函数。然而，为了的分解符合上述连续流的形式，我们根据方程(7)为添加了一个额外的约束，即。

3. 正向问题

在本节中，我们将应用PINN-BGK在给定边界/初始条件下模拟各种二维流动问题，即：（1）包括时间独立/依赖情形的连续流，如Kovasznay流和Taylor-Green涡流；（2）稀薄流，如Knudsen数范围为0.01到5的微Couette流。

3.1 Kovasznay流

首先，我们利用PINN-BGK在二维矩形域内模拟二维稳态不可压Kovasznay流，区域长度为，高度为。该流动的精确解为【60】：

其中和为参考速度和参考压力，为常数，为计算域的半高，表示流体速度，为流体压力，且

其中为运动粘度。此外，所有边界均施加由方程(21)导出的Dirichlet边界条件。

这里我们采用二维九速（D2Q9）模型【61】，广泛用于连续流动。具体来说，D2Q9定义为，其中

在所有连续流动情况中（即3.1、3.2和3.3节）均使用D2Q9模型。在模拟中，，，，，，。运动粘度和弛豫时间计算为，。此外，我们随机采样17,000个点用于残差评估，每个边界使用300个点提供Dirichlet边界条件。在优化过程中，我们首先使用Adam优化器【62】训练PINN-BGK直至损失小于，然后切换到L-BFGS-B【63】直至收敛。

在本例中，根据方程(13)，得到。基于经验，优化算法在神经网络输出为量级时效果较好。如此小的值可能会使DNN难以准确近似。因此，我们将的输出缩放为，使其达到量级，其中为的输出，为用于方程(5)的非平衡分布函数预测值。

为了研究缩放对预测精度的影响，我们比较了缩放和未缩放两种情况下的结果，如图2所示。两种情况下，和均使用5层隐藏层，每层40个神经元。可以看到，缩放的情况（案例A）的训练损失比未缩放（案例B）低约三个数量级。此外，在图2(b)和2(c)中展示了和的均匀网格残差分布（），未缩放的残差比缩放的情况大约高两个数量级，这表明的缩放显著提升了预测精度。

进一步比较、和的相对误差（）：

其中为精确解。特别地，和的精确解在方程(21)中，的参考解由方程(13)计算。由于其他的结果与和相似，仅呈现这两个的相对误差。表1显示了案例A的预测与精确解的一致性良好，远优于案例B。这些结果进一步表明的缩放可以大幅提高预测精度。

我们注意到的误差比的误差大约高一个数量级，这可能归因于中的舍入误差。因此，进行一个新的测试（案例C），将替换为精确的解，仅训练以满足控制方程。其他参数（如的大小、的缩放等）和优化方法均与案例A相同。结果显示，案例A中的误差与案例C相当，验证了目前的假设。

为了加速训练过程，我们采用迁移学习策略，该方法广泛用于提高多种深度学习问题的训练收敛速度【64,65】。特别地，我们利用PINN-BGK来模拟三个不同Re数的流动，即。每个案例的权重/偏置初始化均来自Re = 10训练完成时的结果。值得注意的是，迁移学习案例仅使用L-BFGS-B算法优化损失函数。对比可见，迁移学习中的L-BFGS-B和本研究所用的标准训练过程（即先Adam再L-BFGS-B）在精度上相当。然而，与后者相比，迁移学习可实现高达三倍的训练速度提升。

值得一提的是，L-BFGS-B算法基于牛顿法，因此计算精度高度依赖于初始猜测。换言之，在缺乏良好初始权重/偏置的情况下，L-BFGS-B容易收敛到局部最优。为验证这一点，我们展示了L-BFGS-B在随机初始化DNN下的结果（表2中的“仅L-BFGS-B”）。可见，所有三个测试案例中，L-BFGS-B（TL）和“仅L-BFGS-B”的计算时间相似。然而，迁移学习的L-BFGS-B在精度上显著优于随机初始化的L-BFGS-B。尤其是在最后两个案例中（和60），L-BFGS-B（TL）在

垂直速度上的预测精度比仅L-BFGS-B好约两个数量级。

最后，（1）我们在附录B中系统研究了DNN架构及残差/边界点数对预测精度的影响；（2）注意2.2节的多尺度分析仅适用于为小参数的连续流动。本文假设所有测试案例中的量级均为，并基于相应案例中的将缩放至以提高预测精度；（3）所有测试案例中整个计算域内的缩放因子均相同。对于不同域中量级不同的情况，一种获得合适缩放因子的有效方法是为设置一个空间依赖权重，该权重的值可通过类似于DNN超参数优化的方法来优化。有关更多细节，读者可参考自适应PINNs【66】。

3.2 Taylor-Green流

我们继续使用PINN-BGK对一个时间相关的流动问题，即Taylor-Green流进行建模。计算域定义为。其精确解如下：

其中和分别为水平和垂直方向上的速度分量，表示流体压力。所有初始和边界条件均来自方程(25)。

在模拟中，我们设定，，，并采用D2Q9速度模型。训练数据中，每个边界上随机选择300个点，而在时空域中随机选择160,000个点用于计算方程(5)的残差。和均包含6层隐藏层，每层80个神经元。与第一个测试案例相似，使用Adam和L-BFGS-B两种优化算法。具体而言，首先使用Adam优化器训练DNN，初始学习率为，直至损失小于，然后切换到L-BFGS-B进行优化直至收敛。

在代表性时间点和的预测速度分布如图3所示。可以看到，预测速度与精确解吻合良好。此外，表3中展示了预测的的相对误差，显示出PINN-BGK在模拟非稳态流动中的高精度。

3.3 正则化腔体流

接下来，我们使用PINN-BGK对腔体流进行建模。计算域设置为。上边界以速度从左向右移动，其定义为：

其中为常数，为上壁面的最大速度，为腔体的特征长度。注意，该速度在上边界的两个角点是连续的，这虽然在物理上不太合理，但可以减轻奇异性对计算精度的影响。类似的策略也被用于文献【67,68】。

在模拟中，，其中为运动粘度。采用4层隐藏层，每层50个神经元，而采用8层隐藏层，每层60个神经元。训练数据中，在每个边界上均匀分布257个点以提供Dirichlet边界条件，在方程残差计算中使用45,000个随机点。为精确预测边界层，将整个计算域划分为九个子区域（sd0到sd8），如图4(a)所示，这类似于传统数值方法中的非均匀网格【69,70】。在每个子区域中，使用5,000个随机点评估控制方程的残差。优化过程中，首先使用Adam优化器，初始学习率为，迭代50,000次；然后使用较小的学习率再次训练50,000次；最后切换到L-BFGS-B直至收敛。

沿中心线（和）的预测速度分布如图4(b)所示。此外，图4中也展示了采用256 × 256均匀网格的格子Boltzmann方法（LBM）【55】的结果作为参考。可以看到，使用PINN-BGK的预测结果与LBM结果吻合良好。

3.4 微Couette流

我们应用PINN-BGK来模拟在两块平行板之间的微Couette流动。计算域设置为，。顶部（）和底部（）墙壁分别以速度向相反方向移动。对于稀薄流动，Knudsen数定义为，其中为平均自由程，为系统的特征长度。注意，与Boltzmann-BGK方程中的弛豫时间相关，关系为【26】。根据的不同，气体流动可分为四种流动模式：流体力学模式（），滑移模式（），过渡模式（），以及自由分子流动模式（）【10】。在本研究中，我们使用PINN-BGK对滑移模式（）和过渡模式（）下的流动进行建模。此外，滑移模式采用二维十六速（D2Q16）模型，过渡模式采用二维速度模型（28×28-DVB）。有关这两种离散速度模型的更多细节请参见【54,71】。

首先，我们在滑移模式下模拟Couette流动，考虑了三种不同情况，即。所有测试案例中设定，。和均包含6层隐藏层，每层30个神经元。在模拟中，每个边界上使用10个均匀分布的点提供Dirichlet边界条件，方程残差计算中使用10,000个随机点。类似于之前的案例，首先使用Adam优化器，初始学习率为，训练至损失小于，然后切换到L-BFGS-B直至收敛。

图5展示了PINN-BGK预测的水平速度分布。此外，作为参考，还给出了线性化Boltzmann方程的解【72】。可以观察到在所有测试案例的上边界存在速度滑移，且被PINN-BGK良好捕捉。特别地，PINN-BGK与参考解的相对误差为0.55%（），0.59%（）和0.85%（），表明PINN-BGK能够为滑移模式流动提供准确预测。

接着，我们在过渡模式下模拟Couette流动，考虑了两种情况，即和。两种情况下，包含2层隐藏层，每层30个神经元，包含2层隐藏层，每层40个神经元。这里使用28×28离散速度模型，设定。由于该模型比之前的情况计算量更大，因此在两种情况下均采用批量大小为800的小批量方法加速训练。此外，在每个边界上使用10个均匀分布的点施加边界条件。为了准确捕捉靠近上下墙壁的滑移边界层，将计算域划分为3个子区域，如图6(a)所示。在sd0和sd2中使用800个均匀分布的残差点，而在sd1中使用1,600个点计算方程的残差。Adam优化器初始学习率为。图6(b)展示了PINN-BGK在两种情况下预测的水平速度分布，与参考解的结果吻合良好【72】。

4. 逆向问题

本节中，我们测试了PINN-BGK在逆向问题中的性能，特别是针对边界条件未知的稀薄流体。假设仅在计算域内部的速度场有部分观测数据，其目标是基于这些稀疏的速度观测和Boltzmann-BGK方程推断出整个流场。

4.1 微Couette流

首先，我们使用PINN-BGK根据计算域内少量速度观测推断微Couette流的速度场。计算域设置为，。顶部和底部墙壁以常速向相反方向移动，与3.4节中的设置相同。我们考虑三种不同情况，即和10，采用28×28离散速度模型【54,71】，设定。假设有10个随机分布在计算域内的速度传感器，如图7(a)所示。和均使用4层隐藏层，每层30个神经元，随机选择5,000个点计算残差。Adam优化器初始学习率为，训练至损失小于，然后切换到L-BFGS-B优化。

图7(b)中展示了PINN-BGK的预测速度分布，线性化Boltzmann方程的解作为参考。结果显示，PINN-BGK的预测在所有情况下与参考解吻合良好。对于，相对误差分别为2.04%，2.04%和1.44%，表明PINN-BGK能够在未知边界条件下基于部分内部观测数据准确推断出速度场。

此外，PINN-BGK还可以用于在不同Kn数下预测边界处的滑移速度。我们使用PINN-BGK在到10范围内推断上边界的流体速度。如图8所示，预测的上边界流体速度与参考解吻合良好【72】，清楚地表明了PINN-BGK在多尺度流动建模中的能力。值得注意的是，预测的边界速度可以作为其他数值方法（如离散统一气体动力学格式【26】和统一气体动力学格式【75】）的Dirichlet边界条件，从而解决Boltzmann-BGK方程，数值求解器获得的结果可以用来验证PINN预测的流场。这种情况在实验中可能发生，当仅有少量内部速度传感器且无法获得壁面速度或温度信息时。

4.2 微腔体流

我们使用PINN-BGK在基于部分内部速度观测的情况下推断微腔体流的速度场。计算域设置为。腔体的顶部沿方向移动，其速度定义为方程(26)，其中且，而其他墙面保持静止。假设域内仅有少量流体速度传感器且边界条件未知。

我们测试了三种不同情况，即。此外，使用Boltzmann-BGK方程的有限体积求解器——离散统一气体动力学格式（DUGKS）【26】来生成训练数据和提供参考解。在DUGKS模拟中，计算域被离散为60×60的均匀网格，速度空间离散使用Newton-Cotes求积法，采用个均匀分布的速度点【26,75】。在PINN-BGK中，我们采用与DUGKS相同的离散速度模型，设定100个随机分布在计算域内的速度传感器（如图9(a)所示）。包含2层隐藏层，每层30个神经元，而包含6层隐藏层，每层30个神经元。此外，使用12,000个随机点计算方程残差，并采用批量大小为128的小批量方法加速训练。

图9(b)至9(d)展示了不同Kn数下沿腔体中心的速度分布，并将DUGKS的结果作为参考。可以看出，PINN-BGK的预测在这三种Kn数下与DUGKS结果吻合良好，展示了PINN-BGK在无速度边界条件下模拟多尺度过渡流的能力。

为进一步展示PINN-BGK的有效性，我们还提供了回归（图9(b)-9(d)中的DNNs表示）结果，即在无控制方程约束的情况下，使用基于相同的速度测量数据预测速度分布。观察到，PINN-BGK的预测优于DNN回归，特别是在靠近边界的区域。我们进一步计算了PINN-BGK和回归的相对误差，DUGKS的结果作为参考解。表4显示，PINN-BGK的误差在所有情况下均小于5%，表明即使在没有边界条件的情况下，PINN-BGK也能准确重构速度场。此外，回归的误差在所有情况下均大于15%，这表明在损失函数中施加控制方程的约束极大地提升了预测精度。

考虑到实际应用中难以在任意位置获得测量数据，我们首先测试了假设50个速度的测量点均匀分布在5条直线上的情况（图10(a)，案例I）。本案例的模拟中，所有参数（如DNN架构、优化器等）均与先前相同。图10展示了和10时腔体中心的预测速度分布。可以观察到，这里的PINN-BGK预测结果不如图9中的准确，尤其是在靠近边界的区域。特别地，案例I中速度的相对误差（表5）远高于表4中的PINN-BGK结果。随后，我们将训练样本数量增加到100，这些样本均匀分布在10条直线上（图11(a)，案例II）。具体来说，在该案例中在涡旋区域附近增加了更多的测量点。类似地，所有参数与先前案例相同。图11显示了更高的预测精度，表5中的数据也反映了这一点。

基于图9-11的结果，我们进一步得出以下结论：（1）增加训练数据量可以提高预测精度，比较图9和图11与图10的结果可见；（2）PINN-BGK的预测精度优于回归结果，再次表明物理约束可以改善预测精度；（3）在涡旋区及边界附近增加测量点时，预测精度进一步提升，比较图11与图10的结果可见。

请注意，DUGKS模拟中也采用了方程(26)中的上壁边界条件，旨在减小上角点奇异性的影响。该边界条件可能比恒定速度的物理意义稍差。然而，这里的重点在于测试PINNs在未知边界条件下基于部分内部观测重构速度场的性能。因此，我们在此采用简化的边界条件，未来将研究不同边界条件对计算精度的影响。

5. 总结

带有Bhatnagar-Gross-Krook碰撞模型的Boltzmann方程（Boltzmann-BGK方程）是描述从流体力学极限到自由分子流的多尺度流动的著名模型。最近提出的物理信息神经网络（PINNs）在求解流体力学及其他领域的正向和逆向PDE问题上展现了很强的表达能力。通过结合Boltzmann-BGK方程和PINNs的优点，我们使用PINNs（PINN-BGK）通过Boltzmann-BGK形式求解多尺度流动中的正向和逆向问题。特别地，所提出的PINN-BGK包含三个子网络：一个用于平衡分布函数，另一个用于近似非平衡分布函数，第三个则用于编码Boltzmann-BGK方程及相应的边界/初始条件。通过最小化所有控制方程的残差及预测和提供的边界/初始条件之间的差异，我们能够在多尺度流动中使用相同的公式和代码解决正向和逆向问题。

我们注意到，对于正向问题，PINN-BGK可能没有其他基于动理学的方法（如LBM）高效，尤其是在低Knudsen数的流动中。PINN-BGK的吸引人之处在于：（1）在求解逆向问题，甚至是病态逆向问题时非常高效；（2）实现简便，因此可以作为课堂中的教育工具以及计算科学和工程问题的研究工具【33,35】；（3）它是一种统一的方法，可以用于各种流动模式下的正向和逆向问题，如本研究所示。

我们首先测试了PINN-BGK在多尺度流动正向问题中的性能。具体而言，PINN-BGK用于模拟包括连续流动（如Taylor-Green流和腔体流）以及Knudsen数从0.01到5的稀薄流。结果表明，PINN-BGK能够准确近似给定边界/初始条件下的Boltzmann-BGK方程解。接着，我们将PINN-BGK应用于逆向问题，即在不使用边界条件信息的情况下，根据有限的内部散点速度观测数据推断速度场。特别地，我们测试了PINN-BGK在Knudsen数从0.01到10的微Couette流和腔体流中的性能。结果显示，PINN-BGK能够基于少量内部速度观测数据准确重构速度场。这对于复杂几何结构下难以获得精确边界条件的多尺度流动（如从纳米到毫米尺度的孔隙中页岩气流动）非常有前景。

最后，在特定的Kovasznay流案例中，我们展示了使用迁移学习可将训练速度提高三倍，相较于标准训练过程（Adam优化器加L-BFGS-B）；通常，对于高维问题应采用更大的神经网络和更多的训练点，这意味着更多超参数需要优化，且损失函数中需计算的项也增多。因此，我们预计在三维时间依赖流动中将获得更高的加速效果。