基于物理信息的神经网络在具有薄膜厚度不连续性的流体动力润滑中的应用

Physics-informed neural network for hydrodynamic lubrication with film thickness discontinuity

摘要：

近年来，基于物理信息的神经网络（Physics-informed Neural Network, PINN）在求解偏微分方程（PDEs）方面展现出巨大潜力，包括在流体动力润滑问题中的应用。然而，由于PINN要求解的函数具有连续可微性，在处理薄膜厚度不连续性时存在困难。本文提出了两种新的PINN模型以应对此挑战。模型Ⅰ采用双曲正切函数来近似不连续的薄膜厚度，从而确保可微性和连续性。该模型仅通过调整雷诺方程中的薄膜厚度定义，保持了传统PINN的结构。模型Ⅱ将润滑问题重新表述为界面问题，引入跳跃方程（jump equation）和增强变量（augmented variable）来处理不连续性。该模型将雷诺方程扩展为三维形式，并增加了界面损失函数以提高计算精度。数值实验表明，这两种模型在处理薄膜厚度不连续性问题上均具有良好的效果，其中模型Ⅱ表现出更高的计算精度。此外，模型的参数（包括采样点数和损失函数权重）经过优化以进一步提升精度。这些模型还在多种槽型几何形状中进行了测试，验证了它们在解决不连续性问题方面的适应性。

关键词：物理信息神经网络，雷诺方程，薄膜厚度不连续性，流体动力润滑

1 引言

摩擦是由两个表面相互作用引起的，它会阻碍相对运动或移动，导致能量损失和机械磨损。因此，降低机械系统中的摩擦对于提高能源系统的成本效益至关重要。为了减小因摩擦和磨损引起的损失，广泛采用了一种在固体表面之间形成薄润滑膜的方法，以实现正常的承载能力和较低的剪切强度，这一方法在流体动力润滑技术中被广泛应用[1]。基于Reynolds的工作[2]，发展出了一种描述薄粘性流体膜压力分布的椭圆偏微分方程，即雷诺方程。作为经典润滑理论的基本方程之一，雷诺方程被广泛应用于各种润滑问题，并取得了显著成功[3,4]。

近年来，激光表面纹理化（Laser Surface Texturing, LST）[5,6]因其加工简单和成本效益而成为提高摩擦学性能的热门方法。通过制造表面纹理（如人工微槽或微凹坑）已成为提升滑动件摩擦学性能的有效策略[7,8]。在分析LST机械密封时，密封区域内的压力分布通常通过求解雷诺方程获得[9]。然而，LST产生的阶梯槽或凹坑会导致薄膜厚度的不连续性，从而给雷诺方程的求解带来了挑战。

为了解决薄膜厚度不连续性的问题，有限差分法（FDM）[13]和有限体积法（FVM）[14,15]需要非常精细的网格和复杂的数值技术来精确捕捉不连续性[37]，因此限制了其广泛适用性。另一方面，有限元法（FEM）[10-12]虽然在处理薄膜厚度不连续性方面非常有效，但其学习成本高且网格生成复杂，阻碍了其广泛应用。为克服这些局限性，物理信息神经网络（Physics-informed Neural Network, PINN）[16]作为一种创新方法，将深度学习与物理模型相结合。通过将物理定律直接嵌入神经网络的损失函数中，PINN确保网络在学习数据的同时满足物理定律。因此，PINN在处理复杂边界和不连续性问题上展现出独特优势，克服了传统方法的一些局限性。PINN的出现为解决复杂的不连续性问题提供了一种新颖且有效的解决方案。

近年来，PINN开始在摩擦学领域中得到应用，并取得了显著成效。Almqvist[17]应用PINN方法解决了线性滑动件中的雷诺边值问题，其网络预测的压力值与解析解非常接近，总体误差达到了的量级。根据Zubov等人[18]和Almqvist[17]的研究，尽管PINN在准确性和效率方面不及传统的FDM和FEM，但PINN采用了一种非网格化而非数据驱动的方式，从而克服了FDM等方法中遇到的“维数灾难”[19]。Zhao等人[20]提出了一个使用Julia语言构建的PINN模型，以解决二维雷诺方程。他们通过滑盘实验装置中的光学干涉法测量实验结果，并将其与FEM计算结果进行对比，进一步验证了PINN方法的适用性。Li等人[21]利用PINN求解雷诺方程，预测气体润滑滑动轴承的压力场和薄膜厚度，从而计算在不同偏心率条件下的气体特性。研究发现，在解的边界处存在显著的精度误差。Xi等人[22]研究了PINN在有限滑动轴承压力分布预测中的应用。通过在边界上使用不同的约束条件，他们发现硬约束能够数学上满足压力边界条件，并加快收敛速度。

尽管PINN的需求持续增加，但现有研究主要集中于求解连续雷诺方程，尚未解决不连续性问题。由于PINN在训练过程中依赖于梯度下降等优化算法调整参数，其损失函数需要是可微的。因此，如果所求解的偏微分方程存在不连续性，会导致梯度不可用或不稳定，从而影响神经网络的训练和性能[23-25]。目前的研究尚不能解决领域内此类不连续的偏微分方程问题。Hu等人[26]研究了这类问题，并推导出了满足连续流动条件的界面跳跃条件，自然满足流动连续性条件，并明确这一问题是包含跳跃条件的Poisson方程问题。

本研究提出了两种PINN模型，用于解决薄膜厚度不连续性的压力分布问题，同时满足流动和压力的连续性。本文研究了具有阶梯状不连续性的纹理化表面问题，并将所提出的模型与FEM进行比较，讨论了模型结构的有效性、边界约束方法、域内采样点的分布，以及神经网络在不同域中对应的不同惩罚系数对预测精度的影响。

本文后续部分的结构安排如下：第二节介绍了扩展PINN框架的两种建模方法，包括雷诺方程、尖锐强制水平集函数和相场函数的概述；第三节解决了阶梯-凹坑纹理化密封面问题，以验证两种模型在问题解决中的有效性。此外，还探讨了两个网络模型中某些参数设置的优化。第四节提供了总结与简要讨论。

2 方法

2.1 雷诺方程

1. 物理背景

图1展示了具有阶梯型凹槽纹理的密封表面。为简化计算，忽略了密封环的曲率影响，并选取方形控制单元作为基本计算单元。如图所示，圆形凹槽的存在导致膜厚的不连续性。在区域 和 中，薄膜厚度分别记为 和 ，界面 表示膜厚的突变位置。

2. 雷诺方程表达式

对于薄润滑膜的流体动压流动，其压力分布可通过雷诺方程描述：

其中， 是待求解的压力函数， 是流体的动力黏度， 是密封面的运动速度。

3. 界面跳跃条件

基于界面处压力连续性和流量连续性，可得到以下跳跃边界条件：

其中， 是从 指向 的单位法向量， 表示流体穿过界面 时的跳跃量，定义为从 到 的差值：

类似地， 表示压力在界面 上的法向导数，即 。

因此，跳跃条件可进一步写为：

4. 函数性质分析

根据上述条件可知，当薄膜厚度存在不连续性时，由于 且 ，待求解的压力函数 在整个区域 内是连续的，但其导数在界面 上存在不连续性。

数据归一化

由于物理信息神经网络（PINN）训练过程中，不同变量的量纲和单位可能对网络迭代和数据分析结果产生影响，因此需要对雷诺方程及其跳跃条件进行无量纲化和归一化处理：

归一化后的雷诺方程为：

界面跳跃条件为：

其中，

和 分别表示密封环外部和内部的压力， 为润滑膜厚度的特征量， 为密封区域的宽度。

研究目标

本文旨在利用基于物理信息神经网络（PINN）的机器学习方法，求解归一化的跳跃型雷诺方程，预测膜厚不连续情况下的压力分布。接下来的章节将详细介绍两种PINN模型的具体构建方法及其在此类问题中的应用场景。

2.2 锐化增强型物理信息神经网络 (Sharp-enforced-type Physics-Informed Neural Network)

2.2.1 锐化增强的水平集函数扩展

如前文所述，雷诺方程(5)-(6)在区域内连续，但其导数在跳跃界面上存在不连续性。根据通用逼近定理的定义[28]，具有足够隐藏神经元数量的多层前馈网络可以以任意精度逼近任意连续函数，从而保证物理信息神经网络（PINN）能够用于求解此类连续函数问题。然而，由于神经网络通常要求其激活函数可微，因此在处理具有不连续导数的雷诺方程时，其预测精度可能会降低。

借鉴文献[29]的启发，通过升维技术将不连续界面函数作为特征输入融入神经网络。具体而言，我们使用形式为的神经网络来逼近问题的解，其中表示跳跃界面函数。这种方法实际上将问题从二维连续方程升维为三维连续方程。在此定义中，和分别被定义为：

且表示跳跃界面。

然而，对于复杂的凹槽结构，单一的水平集函数难以描述其形状。因此，借鉴Sukumar等人的方法[25]，在处理包含多个几何组件的复杂形状时，我们使用归一化公式将多个水平集函数整合为：

由于是平滑的，归一化函数也是平滑的，加之神经网络的激活函数具有平滑性，因此所得神经网络解仍然是平滑的。换句话说，函数的梯度是连续的：

在跨越不连续界面时满足：

接下来，我们对进行修改，使其在界面上具有不连续的梯度，并保持在界面上的值不变，同时确保和在界面上具有不连续性。简单地对取绝对值，即设置，可以得到该函数的梯度在界面上的不连续性：

利用该修改后的函数，我们定义神经网络的新解为。由于神经网络函数是连续的，因此通过神经网络计算的偏导数不存在问题。因此，可以利用以下公式直接计算目标函数在不连续界面上的梯度：

随后，将上述公式乘以界面上的法向量，可得到的法向导数跳跃：

结合区域内的公式，经过推导得到以下方程：

接下来，我们使用重新表述雷诺方程(5)-(6)。为简化方程，引入符号表示公式(11)。因此，公式(5)可重写为：

利用公式，可将公式(6)重写为：

2.2.2 锐性强制类型PINN架构

剩下的任务是训练神经网络以求解方程(11)-(12)，并获得预测的解。图2展示了一个前馈全连接神经网络的结构。我们将输入层标记为层0，并将特征输入表示为，这也是前面提到的跳跃接口函数。具有个神经元的隐藏层的输出表示为，然后输出结果通过激活函数进行处理：

在神经网络的训练过程中，我们分别使用、和作为区域中的点、跳跃界面上的点和边界上的点。因此，总选取的点数为。在物理信息神经网络（PINN）的框架下，我们定义损失函数为微分方程(11)、跳跃边界条件(12)和边界条件(13)的均方误差：

其中，权重、和分别分配给不同物理量对应的损失项。由于与不同物理量相关的损失项的大小和尺度不同，可能导致某一项主导了整个损失函数。这种主导作用可能导致模型过分重视某一项，而忽略了其他关键的物理方面。通过引入权重系数，可以调整每个损失项的相对重要性，从而使得模型在训练过程中更加公平地优化每个物理量。表示雷诺方程的损失(16)，而表示跳跃边界条件的损失(17)。

同时，在本论文的其余部分，我们使用自适应动量估计（Adam）算法作为优化器，并用符号表示网络的预测解。下一步任务是在边界上优化训练。由于我们模拟的是密封环内部区域的一部分，因此需要对密封环的两个相对边界应用周期性边界条件，以确保上下边界的压力分布值相等。因此，我们选择y方向上的上下边界进行周期性边界处理：

其中、和是神经网络的训练参数，确保压力值在y轴上沿周期变化。然而，实验发现对这两个侧边界施加Neumann边界约束可以提高网络训练结果的准确性：

实验结果将在第三部分展示。

在其余两个边界上，表示密封环内外直径处的压力值。然而，软约束存在两个主要缺点：一是难以确保网络输出满足输入和输出条件，导致预测精度下降；二是设计损失的加权不能精确确定，需要反复实验，导致建模效率降低。因此，我们采用硬约束方法，引入特定解和平滑函数，以避免上述问题，确保PINN的预测结果能够强制满足密封环内外直径处的压力值。

其中表示外直径位置，表示内直径位置。经过处理后，我们可以观察到训练后的内外直径处的压力值符合预期结果。

2.3 连续类型物理信息神经网络（PINN）

图3：PINN网络架构

受文献[32]启发，我们引入相场函数来描述不混溶流体成分之间的界面。在本研究中，我们将这一概念引入PINN框架，并在传统PINN结构的基础上进行改进。网络架构如图3所示。与锐性强制类型PINN类似，在x轴边界上应用了Dirichlet硬边界条件，而在y轴边界上则应用了周期性边界条件。然而，与锐性强制类型PINN通过升维方法来区分槽口界面不同厚度的区域不同，我们并未采用这种方法。相反，我们利用PINN解函数的性质和双曲正切函数的无限可微特性，使用双曲正切相场函数来近似不连续的界面。具体来说，我们使用相场函数表示高度变换为：

其中，表示界面的位置，是界面的宽度。接下来的任务是训练神经网络以求解方程(5)-(6)，并获得预测解。图3展示了该模型的结构框架。

损失函数定义为微分方程(5)和边界条件(6)之间的均方误差：

其中，表示雷诺方程的损失(19)，而表示边界条件的损失(15)。

此外，PINN模型中的边界条件与2.2.2节中描述的相一致，因此我们在此不再详细阐述该模型所采用的边界约束方法。

3 结果与讨论

为了方便起见，基于相场函数方法模拟不同薄膜厚度的PINN方法被指定为模型I，而锐性跳跃型PINN则指定为模型II。通过将模型I和模型II与有限元（FEM）结果进行比较，验证了模型的准确性。此外，本研究进一步评估了模型II在解决与复杂界面相关的薄膜厚度不连续问题的能力，并对该模型的性能进行了优化。

为了减小模型参数的影响并确保模型的一致性，除非另有说明，我们使用拉丁超立方体采样算法[33]来选择训练和测试点。该算法生成的样本能准确反映真实的潜在分布，通常比简单的随机采样所需样本数更少，且能有效防止数据点在域内的某些位置聚集。为了保持一致的采样，我们将最大迭代次数设置为150,000步，使用1作为选择训练点的随机种子，777作为选择测试点的随机种子。这确保了测试点（记为）与训练点的不同。域内和边界上的采样点数量对两个模型是相同的，唯一不同的是模型II中需要的界面不连续点。我们使用PyTorch框架实现了这一网络架构，所有可训练参数都采用了PyTorch提供的默认设置。除非另有说明，网络中的参数统一设置，采样点数为，混合边界约束，以及对、、的权重均为1。

3.1 验证

广泛认为，曲边界是传统方法的挑战。因此，我们选择了一个圆形阶梯凹坑作为测试案例。仿真设置如图4所示，计算域的宽度和长度为，中央为直径的圆形阶梯凹坑。右侧设定压力入口为，左侧设定压力出口为。假设流体为牛顿流体，黏度为。域的上下边界采用周期性边界条件，左右边界采用Dirichlet硬边界条件。

模型I中的相场分布使用以下方程初始化：

其中，表示圆的半径，，表示高度差异。由于该模型选择的激活函数仅依赖于每个子域内的-光滑性，我们选择了Sigmoid激活函数。这一区别使我们能够计算和误差，分别定义为和，其中表示由PINN迭代得到的预测解，表示通过有限元（FEM）计算得到的解。

在此情况下，我们设置，其中表示训练点的总数。当达到最大训练步数时，训练停止。

为了评估改进模型在解决这一问题中的有效性，我们首先使用传统PINN模型进行比较。如图5所示，传统PINN模型未能捕捉到界面位置处的导数。因此，模型无法捕捉到薄膜厚度的变化，从而将问题当作均匀薄膜厚度的问题来求解，导致得到的压力分布呈现均匀减小的特征。

3.1.1 案例1：零速度情况下的比较

接下来，我们将分别比较模型I和模型II在零速度条件下获得的预测解与有限元（FEM）得到的解。如图6所示，图示了零速度条件下模型的压力分布：(a) 为模型I的压力云图；(b) 为y=0.02和y=0.03位置的压力变化曲线。通过比较FEM在零速度条件下得到的压力值与模型I和模型II预测的压力值，实验结果表明，两种模型都能有效解决此问题。由于压力云图没有明显差异，因此仅呈现了模型I的压力分布云图。

为了便于进行更定量的比较，图6（b）展示了在y=0.02m和y=0.03m处，沿x轴方向的压力变化。分析该图可以看出，模型II完美符合压力变化，并在界面处保持了锐利的界面特征，且具有非零的偏导数，而模型I在界面位置存在一定的偏差。因此，在零速度条件下，两个模型都能够解决薄膜厚度不连续的问题，但模型II在性能上优于模型I。

图7展示了相对压力误差的分布：(a) 为模型I的相对压力误差分布，(b) 为模型II的相对压力误差分布。图中为模型I和模型II的压力场相对误差的轮廓图，相对误差定义为：

其中，表示FEM解，表示数值解。图中可以看出，模型I的最大误差约为1.16%，而模型II的最大相对误差约为0.04%。尽管模型II在准确性上优于模型I，但与传统PINN模型相比，两个模型都改善了薄膜厚度不连续问题的解算性能。从图像中可以明显看出两种模型误差分布的差异。在模型I中，主要集中在界面附近，而在模型II中，误差则显著分布在整个域内，且其精度明显低于模型I的误差。

接下来，我们将分析导致这种差异的因素。在模型I中，使用相场函数模拟薄膜厚度变化会引入一个具有一定变化趋势的函数，这未能完全重现LST加工后界面处薄膜厚度的急剧变化。与此不同，模型II采用了针对这一情况的特殊处理，利用维度扩展标记界面位置，为界面内外的区域赋予不同的厚度，并使用跳跃函数对界面进行惩罚，从而显著降低了与此相关的误差。因此，整体误差也随之减少。

随后，表1中展示了在零速度条件下，两种模型的相对和范数的综合比较。从表中可以看出，模型II结构下得到的和范数明显小于模型I，误差精度提高了一个数量级。因此，尽管两种模型在零速度条件下都能够解决薄膜厚度不连续问题，但模型II的网络结构在解决此问题时展现了更优的性能。

3.1.2 案例2：考虑速度条件下的比较

在上一节中，我们验证了模型在零速度条件下的有效性。接下来，我们将在速度条件下验证模型的有效性。分别比较了在速度条件 m/s和 m/s下，两种模型的模拟结果。图8展示了在速度条件 m/s下的模型压力分布：(a) 为模型I的压力云图；(b) 为y=0.02m和y=0.03m位置的压力变化曲线。图9展示了在速度条件 m/s下的模型压力分布：(a) 为模型I的压力云图；(b) 为y=0.02m和y=0.03m位置的压力变化曲线。这些图表展示了在速度条件下，FEM得到的压力值与模型I和模型II的预测值之间的比较。可以观察到，在不同速度条件下，模型II的预测结果始终优于模型I。

图6：在零速条件下的模型压力图：(a) 模型I的压力云图；(b) y=0.02和y=0.03处的压力变化曲线图。

进一步发现，随着速度的增加，模型I在薄膜厚度不连续处的预测精度急剧下降，而在相同位置，模型II的结果仍与FEM结果良好匹配。然而，也可以观察到，在任何场景中，两个模型在中心线区域的匹配性能接近。

图10展示了在速度条件下两种模型的相对压力误差分布：(a) 为在速度 m/s条件下模型I的相对压力误差分布；(b) 为模型II在速度 m/s条件下的相对压力误差分布；(c) 为在速度 m/s条件下模型I的相对压力误差分布；(d) 为模型II在速度 m/s条件下的相对压力误差分布。这些图显示了速度条件下两种模型的压力场误差轮廓图。

可以观察到，两种模型的误差分布存在差异。在模型I中，误差主要集中在界面附近，且误差较大。相比之下，在模型II中，误差并非仅仅集中在界面附近，而是均匀分布在整个域内，且误差精度远低于模型I。这一现象进一步证实了上一节中的分析结果。

4 结论

本文改进了PINN模型，以解决密封域中不连续薄膜厚度的问题，促进其在LST密封表面流体动力学润滑分析中的应用。首先，我们引入了锐性强制水平集函数作为辅助特征输入，以确保预测的网络解保持固有的连续性特征，进而得到了模型Ⅱ。随后，我们通过方向场函数近似不连续薄膜厚度，以捕捉界面处的高度差异，生成了模型Ⅰ。此外，我们通过采用硬边界和周期性边界条件来减小由边界引起的误差。训练过程中，采用基于Adam优化器的方法来最小化组合方程残差的均方误差，保持了PINN的内在特性。进行了系列数值测试，以说明网络的准确性，特别关注不同边界条件约束、训练点数量和惩罚系数对神经网络的影响。

最后，模型在具有复杂槽口界面的实际应用中的灵活性得到了验证，进一步确认了PINN在分析密封域中不连续界面的动态润滑问题中的适用性。研究表明，两个神经网络都能够解决密封域内不连续薄膜厚度的问题。然而，与实验数据和有限元结果相比，模型Ⅱ表现出更优的性能。随着PINN在应对不连续薄膜厚度挑战中的适用性和有效性的确认，PINN将能够解决更为复杂的润滑问题。