基于物理信息的图神经网络PGNN的氢喷射和扩散建模

Hydrogen jet and diffusion modeling by physics-informed graph neural network

摘要

可再生能源制氢（P2H2）系统是一种新兴的脱碳策略，旨在实现全球碳中和。然而，氢气易于从P2H2设施中泄漏和扩散，这对规模化和安全应用构成了巨大挑战。准确且高效地预测氢气喷射和扩散对于确保P2H2系统的安全性和有效性至关重要。深度学习方法在预测气体喷射和扩散方面显示出潜力，但由于模拟数据不足以及训练过程中未包含物理规律，其泛化能力有限。本研究开发了一种物理信息图神经网络（Physics_GNN），用于利用稀疏传感器数据预测氢气喷射和扩散。该图网络用于建模传感器数据和控制方程之间的空间依赖性，因此氢气喷射和扩散在每个图节点上立即得以解决。计算得到的残差用于约束图网络的训练过程。我们应用了亚音速和欠膨胀氢气喷射和扩散的实验数据来验证该模型。结果表明，Physics_GNN的预测精度比最先进的物理信息神经网络高1000倍，且速度比CFD模拟快100倍。该方法能够准确快速地预测氢气喷射和扩散的浓度和速度，为未来P2H2系统的安全设计、运营管理和法规制定提供支持。

1  引言

过去几十年中，温室气体排放水平的增加导致全球气温上升，引发了人们对气候变化的担忧。全球对向更可持续和可再生能源过渡的需求日益迫切【1】。利用可再生能源（如太阳能和风能）生产绿色氢气已被公认为实现全球碳中和目标的关键脱碳策略【2,3】。可再生能源制氢（P2H2）系统是即将到来的大规模绿色氢气生产的重要组成部分之一【4,5】。P2H2系统利用来自风力涡轮机和太阳能电池板的电力，通过电解过程生产氢气【6】。然而，氢气的脆化可能导致P2H2设施（如电解槽、管道或压缩机）发生意外的氢气泄漏【7,8】。氢气喷射柱迅速扩散到空气中，形成大规模的易燃混合物【9,10】。一旦点燃，随之而来的火灾和爆炸将对关键设施和结构造成严重的超压和损坏【11-14】。

实时准确地建模氢气喷射和扩散对于预测空间浓度至关重要，这可以帮助P2H2设施在早期阶段快速消散易燃混合物，从而进行安全设计和运营管理【15,16】。

气体泄漏和扩散的建模方法主要包括三种：低保真度经验模型、高保真度计算流体力学（CFD）模型以及机器/深度学习模型。经验模型已经被开发并广泛应用于预测空间氢气喷射和扩散的浓度。例如，Shu等人【17】提出了一个简化的经验模型，能够实时预测氢气浮力喷射和扩散的浓度。Michaux等人【18】引入了一个浮力喷射和扩散模型，描述了湍流条件下氢气的扩散动态。然而，这些模型需要通过实验数据拟合精确的经验常数，以实现与传感器数据的良好一致性。由于难以进行全尺寸实验，获得这些经验常数以用于真实世界的氢气喷射和扩散预测仍然是一个挑战【19,20】。

CFD模型因其能够将计算域离散化，并以高精度数值求解物理控制方程而广受欢迎【21,22】。Rahantamialisoa等人【23】，Keenan等人【24】，以及Zhang等人【25】验证了基于OpenFOAM的数值建模在高压垂直和水平氢气喷射和扩散中的准确性。尽管具有卓越的精度，但高保真度CFD模型计算量大，无法实现氢气喷射和扩散的实时预测【26,27】。此外，CFD模拟的精度与网格划分密切相关，高质量的网格划分需要专业的“动手”经验【28】。这些限制减少了CFD工具在时间敏感场景中预测氢气喷射和扩散的性能。

机器学习模型在实时喷射和扩散建模方面展示了显著的潜力，在多个应用中展现了较高的准确性，例如可燃云体积预测【29,30】、有毒烟雾预测【23,24】以及氢气浓度预测【7】。然而，其准确性和效率取决于用于训练过程的数据集【31】。例如，Song等人【32】利用150个训练样本训练深度神经模型进行喷射和扩散浓度预测，这需要大量计算资源来构建基准数据集。同样，Jiao等人【33】创建了包含30,022个模拟样本的基准数据集，用于训练基于深度学习的烟雾预测模型。从实际角度来看，生成此类训练数据集需要巨大的计算成本【26】。此外，在现实世界的设施中，浓度传感器通常分布稀疏，能够收集的浓度数据有限。基于此类有限数据训练的深度学习模型可能会导致其预测结果与喷射和扩散的物理规律不一致【34】。这一限制使得模型在未见过的氢气喷射和扩散场景中的泛化能力面临挑战。

物理信息神经网络（PINNs）最近作为一种有前景的方法，旨在解决数据有限的挑战并确保遵循基本的物理规律。通过引入先验物理知识，PINNs可以从有限数据中学习并直接求解物理控制的常微分方程（ODE）或偏微分方程（PDE）【34,35】。这种方法将已求解的ODE/PDE残差纳入损失函数中，指导深度学习模型的超参数优化【36-38】。一些研究已经将PINNs应用于CFD建模和统计建模。Raissi等人【39】提出了一个隐藏流体力学模型，将Navier-Stokes方程编码到深度神经网络中，用于速度和压力预测。在这种情况下，已求解的ODE/PDE提供了速度和压力的先验物理知识，以约束训练过程。Jin等人【40】开发了一个PINN，其损失函数嵌入了不可压缩的Navier-Stokes方程和边界数据，用于预测空间压力、速度和涡量。此外，Ishitsuka和Lin【41】提出了一种PINN，强制执行质量和能量守恒，确保预测水热系统空间分布的物理合理性。Sun等人【42】讨论了将全球水文模型与统计数据相结合的PINN，以改善陆地总水储量预测。然而，这些PINNs应用全连接神经网络作为骨干网络，未考虑稀疏传感器的空间依赖性，这可能会影响氢气扩散空间预测的准确性【43-45】。

图神经网络（GNN）由于其在学习非欧几里得结构数据依赖关系方面的高效性，有可能克服这些限制。这种方法将数据离散化为非欧几里得图结构，并通过引入邻接矩阵捕获相邻图节点之间的空间依赖性【46,47】。Gao等人【44】提出了一个离散的PINN框架来求解正问题和反问题的PDE，其中GNN用于处理具有非结构化数据的不规则几何形状。Liu等人【48】将物理方程集成到GNN层中，以捕获空间数据依赖性，用于碳氢资源的生产预测。物理信息GNN也已用于统计建模中，从有限数据中学习一般物理规律。Sun等人【49】提出了一种用于流域尺度河网学习和流量预测的物理信息GNN。Yang等人【50】提出了一种物理信息GNN，用于优化实时交流电力流。这些模型成功地从有限数据中捕捉了物理约束和拓扑依赖性，表现出增强的性能。

尽管取得了显著进展，但目前很少有研究探讨仅使用稀疏传感器数据作为训练数据来预测氢气喷射和扩散时GNN或PINNs的应用。本研究旨在填补这一空白，提出了一种物理信息图深度学习网络（Physics_GNN），以有效且准确地利用稀疏传感器数据预测氢气喷射和扩散。其创新性和贡献总结如下：

(1) Physics_GNN通过使用图节点和边捕获传感器之间的依赖性。在每个节点上直接求解氢气喷射和扩散的控制方程，并应用计算得到的残差来约束网络训练的物理一致性。

(2) 通过应用亚音速和欠膨胀氢气喷射和扩散的公开测试数据，验证了与最先进的PINN相比显著的精度提升以及在氢气喷射和扩散浓度及速度预测中的实时能力。

(3) Physics_GNN能够为不同的喷射和扩散场景提供准确和快速的氢气浓度和速度预测，支持未来P2H2系统的安全设计、运营管理和法规制定。

本文其余部分的结构如下：第2节说明了研究的方法。第3节提供了三个验证案例，即亚音速垂直喷射和扩散、欠膨胀垂直喷射和扩散、以及欠膨胀水平喷射和扩散。第4节和第5节分别提供了讨论和结论。

2  方法论

图1展示了所提出的物理信息图神经网络（Physics_GNN）的建模框架，用于预测氢气喷射和扩散。来自稀疏传感器的氢气喷射和扩散场景的浓度数据首先输入到输入层。随后，GNN层用于表示空间传感器及其间的依赖关系。从这些图层获得的潜在特征然后输入到输出层进行最终预测。在每个图节点上使用自动微分，因此可以求解氢气喷射和扩散的控制方程。随后，计算得到的物理残差（）与回归损失（）结合起来，用于优化深度学习模型的超参数，包括权重和偏差。该深度学习模型在给定未知的喷射和扩散场景时，可以预测实时氢气浓度和速度。实时预测可用于风力涡轮机、太阳能板、电解槽、压缩机和储氢罐等P2H2系统的安全设计。

对于k个稀疏传感器位置下观察到的稀疏浓度，相应的密度可以表示为。输入层由一个全连接网络组成，将位置处的密度转换为嵌入向量：

其中，表示输入层的参数。

接下来，应用GNN层来捕捉空间传感器数据之间的依赖关系。GNN中的关联图结构是基于节点位置构建的。表示对应于所有感兴趣位置的节点（），表示节点之间的边。节点与节点之间是否存在连接由邻接矩阵决定。通过将与邻接矩阵结合，节点的潜在特征可以通过图网络获得：

其中，Softplus表示激活函数，是权重矩阵，表示节点的相邻节点集。

然后，应用全连接网络作为输出层，将潜在特征解码为最终的预测值，即速度、宽度、密度、偏转角度：

其中表示输出层的参数。

此外，四个微分算子和可以通过自动微分以逐点的方式近似。

深度神经模型的损失函数是一个多目标损失函数，柔性地满足氢气喷射和扩散的物理控制方程以及稀疏传感器数据。损失函数可以表示为：

其中，表示由氢气泄漏和扩散的物理控制方程得到的残差，对应于常用的回归损失，旨在实现对传感器数据的良好拟合。

物理损失可以表示为：

其中是节点数，函数包含控制氢气喷射和扩散的物理过程，包括连续性方程（方程(6)）、动量方程（方程(7)）和氢气守恒方程（方程(8)）。

其中，是一个时空张量。

其中是粘性力，是压力。

其中是分子扩散系数。

回归损失可以表示为：

其中是初始速度，表示边界速度。

结合这些损失项使得深度学习模型能够捕捉氢气喷射和扩散的底层物理规律，不仅仅是拟合训练数据。这也使得该模型可以在相对较小的数据集上进行训练，提高其在未见场景下的准确预测能力。最终，该模型可用于实时预测氢气喷射的浓度和速度，这对于P2H2系统中设施如风力涡轮机、太阳能板、电解槽等的安全设计和运行具有重要意义。

3  实验结果

为了验证所提出的Physics_GNN的性能，进行了三个验证案例研究：（1）低压亚音速垂直喷射和扩散，（2）高压欠膨胀垂直喷射和扩散，以及（3）高压欠膨胀水平喷射和扩散。这些案例研究涵盖了压力变化（从低压喷射到基于泄漏压力与环境压力之比的高压喷射）和喷射方向（垂直喷射和水平喷射）的差异。这对于验证Physics_GNN在各种氢气喷射和扩散场景中的表现具有重要意义。

我们采用了公开的可靠实验数据【20,51】作为基准，将Physics_GNN的中心线氢气浓度预测结果与最先进的PINN进行了比较。这些实验数据已经在文献【52-54】中得到验证，确保了其可靠性和准确性。有关实验数据的详细信息，包括数据收集方法、实验条件和测量设备的精度如下所示。在亚音速垂直喷射和扩散实验中，氢气通过一根垂直管释放，浓度数据通过平面激光瑞利散射系统获得。通过减去背景对强度图像进行处理，以确定摩尔分数场。通过2帧/秒的798次测量的瞬时物种场进行平均，获得平均浓度【20】。在欠膨胀垂直喷射和扩散实验中，使用定制的高压滞止腔来产生氢气喷射。浓度同样通过瑞利散射系统测量和处理【20】。在欠膨胀水平喷射和扩散实验中，喷射从距离地面1.5米处释放。氢气浓度通过氧气浓度的测量推导而来。测量设备为具有0-100%体积范围的CiTicel AO2氧气传感器【51】。表1总结了文献【20,51】中的氢气喷射和扩散场景的实验配置。

3.1 低压垂直氢气喷射和扩散

3.1.1 低压亚音速垂直氢气喷射和扩散的控制方程

亚音速喷射和扩散的物理规律用于描述氢气泄漏和扩散。采用无量纲参数——出口密度弗劳德数来表示泄漏过程中动量和浮力之间的关系【28】。出口密度弗劳德数可以表示为：

其中，是喷嘴处的出口速度，是重力加速度，是喷嘴直径，是环境空气的密度，是喷嘴处气体的密度。根据不同的值，氢气喷射可以分为三种类型，即羽流（小于10）、浮力主导喷射（在10到1000之间）和动量主导喷射（大于1000）【55】。

从低压容器泄漏到大气中的氢气通常受初始速度和浮力的主导，称为浮力主导喷射或浮力羽流。典型的亚音速垂直氢气喷射如图2所示。图中，是初始喷射速度，是中心轴上的喷射速度，是初始浓度，是喷射的浓度，是中心轴上的喷射浓度，表示沿喷射中心线的坐标，重力方向平行于S轴方向并向下。

喷射模型中的假设如下：

1. 压力和温度相等：泄漏喷嘴处的压力和温度被认为与环境空气相等。该假设意味着可以忽略氢气与空气之间的热交换。
2. 准一维流动：假设喷射的径向速度分量相对于轴向速度（沿喷射中心线）较小。因此，流动被近似为准一维。
3. 准稳态流动：假设喷射流动表现为准稳态行为。这意味着流动特性的时间平均量，如速度、密度和浓度值，不随时间变化。
4. 高斯分布剖面：假设喷射的局部轴向速度、密度和质量分数遵循高斯分布剖面。这一假设简化了沿喷射中心线这些属性的空间分布【56】。

这些假设可以表示为：

其中，是径向距离，是中心轴上的喷射密度，是浮力扩散系数，表示速度和密度亏损剖面之间的扩展速率差异【57】。

中心轴上喷射的质量分数可以表示为：

其中，是氢气的分子质量，是空气的分子质量。

因此，连续性方程（方程(6)）的积分形式可以表示为：

其中是喷射对空气的卷吸率。对于亚音速喷射，卷吸率可以表示为【52】：

其中，表示由动量引起的卷吸率，表示由浮力引起的卷吸率。

动量卷吸可以通过文献【58】计算如下：

其中，表示动量卷吸系数。

浮力卷吸可以表示为：

其中，，是由喷射出口处密度弗劳德数确定的浮力卷吸系数：

此外，卷吸率也可以表示为：

其中，是卷吸常数。随着浮力效应变得更加显著，大量实验结果表明卷吸常数的极限值为0.082【59】。因此，卷吸率首先通过方程(16)计算，然后通过方程(20)计算经验常数。如果计算值大于0.082，则将值设定为0.082，并通过方程(20)重新计算卷吸率。

动量方程的积分形式，即方程(7)，可以表示为：

氢气守恒方程的积分形式，即方程(8)，可以表示为：

其中，是环境空气中的氢气质量分数。

将方程(16)–(20)代入方程(15)、(21)和(22)，并对从0到正无穷积分，得到以下三个以为自变量的常微分方程：

其中，，。

3.1.2 低压亚音速垂直氢气喷射和扩散的模型

在本节中，我们基于文献【20】中的实验数据，开发了适用于低压亚音速垂直氢气喷射和扩散建模的Physics_GNN。分析了关键模型参数（样本数量、神经元数量和训练周期）对模型准确性和计算速度的影响。需要注意的是，Physics_GNN是在Python 3.6和TensorFlow 1.14.0平台上实现的，系统配置为Intel(R) Xeon(R) Silver 4214R CPU @ 2.40 GHz，以及4个NVIDIA GeForce RTX 2080Ti GPU。该模型用于预测20个实验位置的中心线浓度。通过计算预测浓度与实验浓度之间的均方误差（MSE）来量化预测准确性。

1. 样本数量

   表2显示了不同训练样本数量（2、3、4、5和6）下，Physics_GNN在低压亚音速垂直氢气喷射和扩散中的预测MSE和推理时间。结果表明，随着训练样本的增加，MSE先减小然后增大，这意味着在5个训练样本下模型的预测准确性达到最佳，而超过5个样本后可能由于过拟合导致预测性能下降。同时，推理时间在不同样本数量下变化不大，表明计算开销没有显著增加。图3展示了不同训练样本下的中心线浓度曲线，结果表明随着样本数量的增加，预测曲线与实验数据更好地吻合。由于在5个样本下MSE达到最小值，即，我们选择5个样本作为最佳值，以确保Physics_GNN模型在低压亚音速垂直氢气喷射场景中的准确性和实时性。

2. 神经元数量

   表3展示了不同神经元数量（10、20、30、40和50）下，Physics_GNN的预测MSE和推理时间。随着神经元数量的增加，MSE先减小后增大，这表明神经元数量增加初期提高了模型的学习能力，但进一步增加神经元可能导致过拟合，从而损害预测准确性。此外，随着神经元数量的增加，推理时间略有增加，可能是由于更多神经元增加了模型复杂性。图4展示了不同神经元数量下的中心线浓度曲线，结果表明30个神经元的模型预测曲线与实验数据最为接近。因此，我们选择30个神经元作为最佳值，以确保模型的准确性和实时预测能力。

3. 训练周期

   表4显示了不同训练周期（1000、5000、10000、15000和20000）下的预测MSE和推理时间。随着训练周期的增加，模型的预测MSE逐渐减小，表明更多的训练周期提高了预测氢气喷射和扩散行为的准确性。然而，推理时间也随训练周期的增加而增加，表明在计算效率上存在权衡。图5展示了不同训练周期下的中心线浓度曲线，随着训练周期的增加，预测值逐渐接近实验值。考虑到预测准确性和计算效率，我们选择10,000个训练周期作为最佳折衷点，平衡预测性能的提升与合理的推理时间。

3.1.3 低压亚音速垂直氢气喷射和扩散的预测

分析了Physics_GNN和PINN在低压亚音速垂直氢气喷射和扩散场景下的浓度和速度预测的对比。为了公平比较，Physics_GNN和PINN都采用相同的训练策略，将求解的物理方程残差纳入损失函数中，以优化深度学习的超参数。相同的配置（如5个训练样本、30个神经元和10,000个训练周期）被应用。主要区别在于Physics_GNN采用图网络来捕捉传感器之间的依赖关系，而PINN的全连接神经网络架构无法有效捕捉这种依赖关系。

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表5总结了预测浓度值与实验值之间的MSE对比。可以看出，Physics_GNN模型的MSE低于PINN模型。图6展示了Physics_GNN和PINN模型预测的中心线浓度曲线与无量纲轴向距离的关系。无量纲轴向距离定义为目标点与泄漏喷嘴之间的距离S与喷嘴直径之比。结果显示，Physics_GNN模型预测的氢气浓度曲线沿扩散中心线呈现双曲线衰减趋势，与实验测量结果非常吻合。而PINN模型预测的浓度值则与实验测量结果有较大偏差，表明其在捕捉氢气喷射和扩散的物理行为方面表现较差。

图7展示了Physics_GNN、PINN和OpenFOAM基准模型预测的中心线速度曲线与无量纲轴向距离的关系。OpenFOAM模拟已通过实验浓度数据验证（如图6所示），并作为速度预测的基准。OpenFOAM模拟是在不带GPU的Intel(R) Xeon(R) Silver 4214R CPU @ 2.40 GHz计算服务器上运行的。从结果可以看出，Physics_GNN模型预测的速度曲线与OpenFOAM基准非常接近，而PINN模型的中心线速度预测值存在较大偏差。表6展示了Physics_GNN、PINN和OpenFOAM的计算效率对比。可以看到，Physics_GNN和PINN模型的中心线氢气浓度预测时间都在2分钟以内，而OpenFOAM模拟则需要近4个小时。这表明，Physics_GNN模型不仅能够更准确地捕捉中心线速度分布，并且OpenFOAM模拟快数个数量级，具备实时预测能力。

3.2. 高压垂直氢气喷射和扩散

3.2.1. 高压欠膨胀垂直氢气喷射和扩散的控制方程

高压储氢会导致当氢气从小孔口泄漏时形成欠膨胀喷射。这种喷射在孔口外短距离内快速膨胀，形成一种复杂的激波结构，称为马赫盘【60】。在经过马赫盘后，中心线的压力恢复到环境压力，速度下降到亚音速水平。由于流动结构复杂，亚音速喷射的控制方程不能直接应用于高压欠膨胀的场景。为了将亚音速喷射和扩散的控制方程推广到高压场景，采用了Birch提出的“虚拟喷嘴模型”【61,62】。该模型计算出虚拟喷嘴的“伪直径”，并将其作为亚音速喷射和扩散方程的入口条件。图8展示了虚拟喷嘴模型的示意图，其中表示计算出的伪直径，Level 0、Level 1和Level 2分别表示高压容器中的滞止状态、泄漏孔口处的声速流动状态和虚拟喷嘴出口处的状态。

假设膨胀表面上的粘性力可以忽略，且没有环境流体的卷吸，质量守恒和动量守恒方程可以写为：

其中，代表实际喷嘴的横截面积，代表虚拟喷嘴的横截面积。

泄漏（Level 1）到虚拟喷嘴（Level 2）的动量守恒方程为：

假设等于环境压力，则虚拟喷嘴的速度和面积可以表示为：

相比于气流焓，忽略墙面和气流之间的热传导和摩擦损失。这意味着滞止状态（Level 0）和泄漏孔口（Level 1）之间的流动可以假设为绝热流动，因此泄漏处的气流参数可以根据熵关系公式计算：

其中，是泄漏气体的比热比。

然后，根据理想气体状态方程，泄漏出口处的气流密度可以计算为：

因此，伪直径可以通过以下公式计算：

高压喷射的流动参数可以通过将虚拟喷嘴输入到亚音速喷射和扩散方程中计算。

3.2.2. 高压垂直氢气喷射和扩散的模型

本节开发了Physics_GNN模型，用于使用文献【20】中的实验数据预测高压场景下20个不同位置的中心线浓度。分析了不同模型参数（样本数量、神经元数量和训练周期）对模型准确性和计算速度的影响。需要注意的是，Physics_GNN模型是在与3.1.2节相同的计算机配置上编译的。

1. 样本数量
   表7展示了Physics_GNN模型在预测高压欠膨胀垂直氢气喷射和扩散时，训练样本数量为2、3、4、5和6时的预测MSE和推理时间。结果表明，随着训练样本的增加，MSE逐渐减小，表明模型的准确性随着训练数据的增加而提高。此外，推理时间在不同样本数量下保持相对稳定，表明样本数量在此范围内对实时能力的影响较小。图9展示了不同训练样本数量下的中心线浓度预测曲线，结果显示，在喷嘴出口附近（较小的无量纲距离处），随着训练样本的增加，预测浓度的准确性有所下降，但在较大的无量纲距离处，预测准确性随着样本的增加而提高。综合考虑整个域内的准确性，选择了具有最小MSE值的5个训练样本作为最优配置。

2. 神经元数量
   表8展示了Physics_GNN模型在高压欠膨胀垂直氢气喷射和扩散中，神经元数量为10、20、30、40和50时的预测MSE和推理时间。随着训练神经元数量的增加，MSE先减小后增加，这表明适度增加神经元数量可以提高预测准确性。然而，过多的神经元可能导致过拟合，从而降低模型的总体预测性能。此外，随着神经元数量的增加，推理时间略有增加，这是由于更多神经元增加了模型的复杂性，从而在推理过程中需要更高的计算要求。图10展示了不同神经元数量下的中心线浓度预测曲线。可以看到，随着神经元数量的增加，预测曲线与基准（实验）数据在喷嘴出口处的差异增大，但在距离喷嘴较远的无量纲距离处，模型的预测与实验数据非常吻合。考虑到30个神经元的最小MSE值，我们选择30个神经元作为Physics_GNN模型的最佳配置。

3. 训练周期
   表9总结了Physics_GNN模型在高压欠膨胀垂直氢气喷射和扩散中，训练周期为1000、5000、10000、15000和20000时的预测MSE和推理时间。随着训练周期的增加，MSE先减小后略有增加，表明增加训练周期可以提高模型的预测准确性，但超过最佳点后会导致过拟合，进而略微降低模型的整体预测性能。此外，随着训练周期的增加，Physics_GNN模型的推理时间也有所增加。这是因为更多的训练周期需要更长的整体训练时间，从而在推理过程中增加了计算负担。图11展示了不同训练周期下的中心线浓度预测曲线。可以看到，随着训练周期从1000增加到15000，预测曲线越来越接近基准浓度值。当训练周期超过15000时，预测与实验浓度之间的差异变大。这与表9中MSE值在15000到20000之间的增加相对应。综合考虑预测准确性（即较低的MSE值）和较少的推理时间，我们选择1000个训练周期作为Physics_GNN模型的最佳配置。

3.2.3. 高压欠膨胀垂直氢气喷射和扩散的预测

本节展示了Physics_GNN与PINN在高压欠膨胀垂直氢气喷射和扩散场景下的浓度和速度预测对比。为了公平比较，Physics_GNN和PINN模型均采用相同的配置，即5个训练样本、30个神经元和10000个训练周期。表10总结

了高压欠膨胀垂直氢气喷射和扩散的浓度预测值与实验值之间的MSE对比。可以看出，Physics_GNN模型的MSE值比PINN模型更小，表明Physics_GNN模型在中心线浓度预测方面表现更优。

图12展示了PINN和Physics_GNN模型预测的中心线浓度曲线与无量纲轴向距离的关系。在高压欠膨胀垂直氢气喷射和扩散场景下，Physics_GNN模型预测的浓度曲线与实验测量结果在无量纲距离增加时逐渐更为接近。而PINN模型预测的浓度值则随着无量纲距离的增加而逐渐偏离，这与喷射和扩散的物理规律相违背，凸显了Physics_GNN模型在捕捉喷射和扩散物理行为方面的优越性。

图13展示了Physics_GNN和PINN模型预测的中心线氢气速度曲线，同时采用与实验喷射和扩散场景相同配置的OpenFOAM数值模型作为基准。可以看到，Physics_GNN和PINN模型预测的速度值都呈现出双曲线衰减趋势。然而，PINN模型预测的速度值明显高于OpenFOAM的基准结果。相比之下，Physics_GNN模型预测的速度曲线与OpenFOAM结果更加接近。

表11展示了Physics_GNN、PINN和OpenFOAM在高压欠膨胀垂直喷射和扩散预测中的计算效率对比。可以看到，与亚音速喷射和扩散场景相比，三种方法在欠膨胀场景下的推理时间有所增加，因为高压欠膨胀喷射和扩散问题的计算需求更高。然而，Physics_GNN和PINN模型仍能在2分钟以内生成结果，而OpenFOAM模拟则需要大约10小时。总体而言，在高压欠膨胀垂直喷射和扩散的预测中，Physics_GNN模型展示了96.42秒的计算速度，比传统的OpenFOAM CFD模拟快得多。此外，Physics_GNN模型的预测精度比PINN模型高出1000倍。

3.3. 高压水平氢气喷射和扩散

3.3.1. 高压欠膨胀水平氢气喷射和扩散的控制方程

对于高压欠膨胀水平氢气喷射和扩散，首先使用方程(30)–(32)计算出口处的虚拟喷嘴，以考虑膨胀效应。然后，将计算的参数用作亚音速水平喷射和扩散方程的入口条件。图14显示了水平氢气喷射的示意图，其中S轴与水平方向的夹角为，喷射横截面上的方位角为。

质量守恒方程为：

方向的动量方程为：

方向的动量方程为：

氢气守恒方程为：

此外，喷射中心线的坐标方程为：

将方程(11)–(14)代入方程(35)–(40)，并对从0到正无穷、对从0到进行积分，得到四个以中心线距离为自变量的微分方程：

3.3.2. 高压水平氢气喷射和扩散的模型

本节开发了Physics_GNN模型，用于在高压欠膨胀水平氢气喷射和扩散场景下，预测20个位置的中心线浓度。需要注意的是，该场景的基准数据集来自OpenFOAM模拟。这是因为在Shell和英国健康与安全实验室【51】进行的高压水平氢气喷射和扩散实验中，可用的传感器位置较少。Keenan等人【24】的工作表明，与实验值相比，OpenFOAM可以很好地模拟高压水平氢气喷射和扩散场景。OpenFOAM在20个位置预测的中心线浓度被用作开发Physics_GNN模型的基准数据集。此外，分析了关键参数（样本数量、神经元数量和训练周期）对模型准确性和计算速度的影响。注意，Physics_GNN在与3.1.2节相同的计算机系统上编译。

1. 样本数量
   表12展示了在高压欠膨胀水平氢气喷射和扩散场景下，Physics_GNN模型在不同训练样本数量（2、3、4、5和6）下的预测MSE和推理时间。可以看出，增加训练样本数量首先会减少预测的MSE值。然而，当训练样本数量增加到6时，MSE值变得大于5个样本的情况，表明进一步增加样本可能会导致该场景中的过拟合问题。另一方面，增加训练样本数量缩短了Physics_GNN模型的推理时间，表明更多样本提高了计算效率。图15展示了不同训练样本数量下，Physics_GNN模型的中心线浓度预测曲线。可以看到，随着训练样本从2个增加到6个，Physics_GNN模型的预测曲线逐渐接近基准数据。此外，5个训练样本的预测曲线几乎与6个样本的重叠，因此两者在预测中心线浓度方面的准确性非常相似。然而，考虑到5个样本的相对较小的MSE值和理想的推理时间，选择5个训练样本作为最佳配置。

2. 神经元数量
   表13展示了在高压欠膨胀水平氢气喷射和扩散场景下，Physics_GNN模型在不同神经元数量（10、20、30、40和50）下的预测MSE和推理时间。可以明显看到，随着神经元数量的增加，预测的MSE值下降，表明预测准确性提高。然而，当神经元数量增加到40时，MSE值明显偏离，增加到，表明40个神经元的模型可能存在过拟合问题。研究结果表明，增加神经元数量提高了Physics_GNN模型的学习能力，但过多的神经元会导致过拟合，降低预测准确性。此外，随着神经元数量的增加，模型的推理时间也略有增加，这是由于更多的神经元增加了模型的复杂性，从而延长了推理时间。图16阐明了Physics_GNN模型在不同神经元数量下预测的高压欠膨胀水平氢气喷射和扩散的中心线浓度曲线。30和50神经元模型预测的曲线与基准数据更为接近，表明其预测性能优于10、20或40神经元的模型。尽管50神经元模型在匹配基准数据方面的准确性稍好，但它也需要更多的计算时间和资源。考虑到模型准确性和计算效率之间的平衡，选择30神经元作为该场景下Physics_GNN模型的最佳配置。

3. 训练周期
   表14展示了在高压欠膨胀水平氢气喷射和扩散场景下，Physics_GNN模型在不同训练周期（1000、5000、10000、15000和20000）下的预测MSE和推理时间。随着训练周期从1000增加到20000，预测的MSE值下降，表明预测准确性提高。这是因为增加训练周期提高了Physics_GNN的学习能力。然而，训练周期的增加也延长了模型训练的计算时间，导致推理时间增加。图17显示了不同训练周期下Physics_GNN模型预测的高压欠膨胀水平氢气喷射和扩散的中心线浓度曲线。可以看到，随着训练周期的增加，Physics_GNN模型的预测逐渐收敛到基准数据，表明更多的训练周期带来了更准确的预测。此外，15000和20000训练周期下的中心线浓度预测曲线几乎重叠，表明模型预测在这些训练周期下已经收敛。考虑到MSE值较小以及10000训练周期的推理时间较少，我们选择10000训练周期作为最佳配置。

3.3.3. 高压欠膨胀水平氢气喷射和扩散的预测

本节展示了Physics_GNN与PINN模型在高压欠膨胀水平氢气喷射和扩散场景下预测浓度和速度的对比。需要注意的是，两者均采用相同的配置，即5个训练样本、30个神经元和10000个训练周期。表15给出了Physics_GNN和PINN模型预测中心线浓度的MSE值。可以看出，Physics_GNN模型的MSE值比PINN模型更低。

图18展示了Physics_GNN、PINN和OpenFOAM模型在高压水平氢气喷射和扩散场景下预测的浓度值与无量纲距离的关系，以及实验测量结果。可以看出，Physics_GNN模型预测的浓度值与OpenFOAM基准结果更为一致。尽管在区域内，Physics_GNN的浓度略高于OpenFOAM值，但整体衰减趋势与实验数据和氢气喷射扩散的物理规律一致。相比之下，PINN模型的预测值随着无量纲距离的增加而上升，这与预期的衰减行为相悖。

图19比较了Physics_GNN和PINN模型预测的中心线氢气速度曲线与无量纲轴向距离的关系，并将OpenFOAM基准结果作为对比。可以看到，PINN模型预测的速度值和变化趋势与OpenFOAM结果有较大差异。而Physics_GNN模型预测的速度值与OpenFOAM预测结果更为接近，并表现出预期的随无量纲距离增加的衰减趋势，与喷射扩散速度的物理规律一致。

表16展示了Physics_GNN、PINN和OpenFOAM模型的计算效率对比。与OpenFOAM模拟相比，Physics_GNN和PINN模型的预测时间更短。特别是，Physics_GNN模型能够在不到2分钟内生成结果，而OpenFOAM模拟大约需要一天的时间。

在高压欠膨胀水平喷射和扩散的预测中，Physics_GNN模型实现了与PINN相当的计算速度，同时保持了OpenFOAM的精度。Physics_GNN与PINN相当的计算速度得益于两种方法均利用了深度学习，如Que等人【63,64】的研究所证实。此外，Physics_GNN在捕捉空间传感器数据之间的关系方面表现出色，从而提高了物理控制方程求解的精度，这类似于OpenFOAM使用的空间离散化方法。Jia等人【65】的研究也证实，GNN在捕捉拓扑依赖性和更准确地求解微分方程方面具有优势。

4  讨论

本研究介绍了Physics_GNN，用于预测P2H2系统中的氢气喷射和扩散。公开的测试验证表明，Physics_GNN在氢气浓度和速度预测方面比PINN更准确，同时在计算效率上优于CFD模拟。这种更高的性能有助于政策制定者制定相关的设计和运营管理P2H2系统的法规、标准和规范，使其更安全、更高效。这将鼓励P2H2系统在全球范围内的广泛应用。此外，当发生真实的氢气泄漏事故时，Physics_GNN可以快速预测氢气的喷射和扩散，为事故应急规划提供实时支持，从而在早期阶段减轻事故后果，最终提高P2H2系统的韧性。提高的系统韧性还将增强氢能的经济和环境可持续性。通过积极应对这些安全问题，长期来看，Physics_GNN有助于全球范围内扩大P2H2系统的应用，从而为实现碳中和目标做出贡献。

Physics_GNN有潜力推广应用于涉及氢能全生命周期的全球设施，涵盖生产、储存、运输和利用。然而，仍然存在一些限制。Physics_GNN没有考虑周围拥堵对氢气喷射和扩散的影响，因此在氢气设施周围有拥堵建筑的情况下，其准确性可能会受到影响。此外，由于控制方程中的简化假设，Physics_GNN无法预测氢气喷射和扩散的动态过程。例如，由于使用了虚拟喷嘴假设来表示欠膨胀喷射的激波结构并相应地限制GNN训练，Physics_GNN在为[0,500]时对的预测以及为[0,500]时对的预测仍存在不足。然而，值得注意的是，Physics_GNN具有通用框架，可以轻松集成更复杂的控制方程（例如纳维尔-斯托克斯方程）和表示拥堵效应的边界条件，从而在拥堵环境中提高氢气喷射和扩散的准确性。

此外，Physics_GNN还可以与现有的能源管理系统集成，以提高这些系统的效率并支持可持续能源实践。例如，它可以应用于生态受损地区的地下水修复项目【66–68】。在这一方面，Physics_GNN有潜力集成系统动力学建模方程，基于这些地区的调查数据预测地下水开采和压力，从而进行除砷设备的成本效益分析。通过进行这些分析，Physics_GNN将提高水资源管理的有效性，并有助于制定地下水修复政策，从而支持除砷工作的经济和环境可持续性。

5  结论

本研究引入了Physics_GNN，一种基于物理信息的图神经网络，用于利用稀疏传感器数据预测氢气喷射和扩散。主要结论如下：

1. 准确性和效率验证
   通过验证亚音速和欠膨胀氢气喷射与扩散的公共实验数据，证明了Physics_GNN的优越性。在使用5个传感器数据、30个神经元和10000次训练周期的配置下，Physics_GNN在预测准确性方面比PINN提高了1000倍，并且比OpenFOAM模拟快了100倍。

2. 实时预测与P2H2系统应用
   Physics_GNN能够对氢气喷射和扩散的浓度和速度进行准确的实时预测，从而有助于P2H2系统的更安全的设计、运营管理和法规制定。此外，它通过主动解决这些安全问题，有助于全球范围内长期扩大P2H2系统的应用，从而支持碳中和目标。

3. 模型局限性
   提出的Physics_GNN存在一些局限性。它没有考虑周围拥堵对氢气喷射和扩散的影响，因此在拥堵建筑场景中会影响预测准确性。此外，由于控制方程中的假设，它无法对氢气喷射和扩散的动态过程进行建模。未来的工作将集成纳维尔-斯托克斯方程和边界条件，以便在拥堵环境中进行动态预测。