摘要

我们开发了一种物理驱动神经网络（PINN），以显著增强现有分层流实验数据的处理能力。在盐分层倾斜管道实验中，使用时序分辨的实验数据对一个全连接深度神经网络进行训练。该实验包含了同时在三维中测量的三分量速度场和密度场，雷诺数为，普朗特数或施密特数为700。PINN通过强制约束不可压缩性、动量和浮力的控制方程以及管道壁上的边界条件，生成经过物理约束增强的数据，并输出在更高时空分辨率下的结果。这些增强后的数据展示了五个关键成果：（i）消除了测量噪声；（ii）修正了扫描测量技术引起的畸变；（iii）识别出弱但动态重要的三维Holmboe波涡旋；（iv）修订了湍流能量预算和混合效率；以及（v）预测了潜在的压力场及其在观察到的非对称Holmboe波动力学中的作用。这些结果标志着实验研究的一个重大进展，尤其是在分层湍流的背景下，准确计算三维梯度并解析小尺度问题一直是持久的挑战。

关键词：分层流，机器学习，剪切波

1  引言

自从奥斯本·雷诺兹（Reynolds 1883）的经典管道流实验以来，实验已经被广泛设计并用于研究流体流动（Tropea, Yarin & Foss 2007）。近年来，尖端测量技术的发展使得研究高时空分辨率的流场成为可能（例如，Partridge, Lefauve & Dalziel 2019）。然而，实验人员经常面临准确测量跨越多个尺度的流动结构的挑战，特别是在湍流中。此外，像压力场这样潜在的流动变量通常很难测量。为了补充实验，数值模拟被广泛使用，这些模拟通常提供更好的分辨率和完整的流动变量集。然而，模拟依然是理想化模型，受到计算限制的约束。这些限制使得模拟在适用于环境或工业应用的参数空间中，以及在具有复杂边界条件的实际几何形状中部署变得困难。

图 1. SID 设置和数据集。每个体积通过聚合  平面（紧密分布的点）构建，这些平面通过随时间  扫描管道横截面获得。

随着机器学习的最新进展，流体力学中涌现出了新的研究方向（Vinuesa, Brunton & McKeon 2023），其中一个应用就是从有限的观测中重建流场（Fukami, Fukagata & Taira 2019; Raissi, Yazdani & Karniadakis 2020; Wang et al. 2022b）。在现有工具中，物理驱动神经网络（PINNs）尤为引人注目（Raissi, Perdikaris & Karniadakis 2019）。PINN的核心思想是将物理定律强加于一个输入观测值的神经网络中。这使得模型可以在空间和时间上对流动进行超分辨率处理，去除多余噪声，并预测未测量的（潜在的）变量，如压力（Raissi et al. 2019）。因此，PINNs最近在实验流体力学界受到了越来越多的关注（Cai et al. 2021; Wang, Liu & Wang 2022a; Fan et al. 2023），但由于实验中空间和时间尺度的广泛性以及高质量数据的稀缺性，重建密度分层流中的三维数据一直是一个挑战。

本文中，我们展示了PINN在增强尖端实验数据并揭示密度分层流中新物理见解方面的潜力。为此，我们使用了经典的分层倾斜管道（SID）实验（Meyer & Linden 2014），该实验在一个长倾斜管道中维持盐分层剪切流。PINN接收包含通过扫描技术测量的时间分辨三分量速度场和密度场的三维体积数据集。我们重点研究了Holmboe波（HW）状态下的实验，因为这些界面波是环境流动中三维湍流的重要前兆，例如在海洋中强烈分层的层之间（Kaminski et al. 2021; Kawaguchi et al. 2022）。

本文的其余部分将描述数据集、PINN和验证（见第2节），并在第3节中呈现我们的结果。我们展示了信噪比的改进（见3.1节）、对弱但重要的相干结构的检测（见3.2节）、能量预算的准确性和标量混合的量化（见3.3节）。我们还在3.4节中展示了由PINN揭示的潜在压力场对于解释SID流中的不对称HW现象至关重要。最后，我们在第4节中进行了总结。

2 方法论

2.1  SID 数据集

数据采集于 SID 设施（如图 1 所示），其中两种密度为 的盐溶液通过一个倾斜角度 较小的长方形截面管道进行交换。重要的是，三分量速度场和密度场通过连续的流向（x）—垂直（z）激光片在跨向（y）方向上的来回扫描进行采集，正如 Partridge 等人（2019）所介绍的那样。图 1 展示了通过激光诱导荧光（LIF，用于密度测量）和立体粒子图像测速（sPIV，用于速度测量）在短时间 内捕获的 个连续平面测量点如何聚合成 个“近乎瞬时”的体积。典型的处理后数据集具有大约 个点，注意到 x 和 z 方向上的空间分辨率是相同的，但大约是 y 方向的两到三倍（分辨率更高）。

所有数据都通过以下尺度进行无量纲化处理。对于空间坐标，我们使用半管道高度 毫米。对于速度，我们使用“浮力速度”尺度的峰值到峰值的一半 （其中 是实验选择的有效重力），这使得速度大约被限制在 ±1 之间。这意味着时间通过输运单位 无量纲化，得出雷诺数 ，其中 是水的运动黏度。普朗特数为 ，其中 是盐的分子扩散率。对于密度场（即与中性密度 的偏差，即浮力），我们使用最大跳跃的一半 ，这产生了固定的整体理查森数 。数据可从 Lefauve, Partridge & Linden (2019a) 下载。我们主要比较两个典型的 HW 数据集：H1，在 下表现出双模对称 HW；H4，在 下表现出单模不对称 HW，详细研究见 Lefauve 等人（2018）。

2.2  物理驱动神经网络（PINN）

用于增强时间依赖、三维、多尺度数据的物理驱动神经网络（PINN）如图 2 所示。一个全连接深度神经网络的输入是流场区域的空间坐标 和时间 ，输出则是相应的速度 、密度 和压力 。该网络由 14 层组成，具有逐步增大的人工神经元数（[64 × 4, 128 × 3, 256 × 4, 512 × 3]）。通过对网络结构的敏感性分析，确保网络具有足够的复杂性以捕捉流动的非线性动态。每一层的输出 通过对前一层 的非线性变换来计算，遵循基本的“神经元”公式 ，其中 和 分别是第 层的偏置向量和权重矩阵。为了引入非线性并克服深度网络可能出现的梯度消失问题，我们对所有隐藏层使用 Swish 激活函数 （Ramachandran, Zoph & Le 2017）。

输出的 和 与实验数据 和 （即观测值）进行比较，以获得绝对均值误差损失函数 （图 2 中的红色部分）。通过自动微分（Baydin et al. 2018）（绿色部分）在每个采样点计算 、 和 的空间和时间导数。为了施加物理约束，导数被代入控制质量、动量和密度的标量方程中，分别对应于损失函数 、 和 （蓝色部分）。我们还通过 施加边界条件（无滑移 ，以及在四个壁面 上的无通量 ）。

结合这些约束，我们定义总损失函数：

其中 、 和 分别是控制方程、边界条件和观测损失的权重系数（在最近的工作中，Calicchia 等人（2023）的公式可能与我们的方法最为相似，不同之处在于我们针对固体壁面施加了适当的边界条件）。训练样本数定义为 （控制方程）、（边界条件）和 （观测值）。对于 H1 数据集，，对于 H4 数据集，（取决于数据的分辨率），，。通过优化损失函数（2.1），控制方程和边界条件被要求在物理训练点上满足，这使得 PINN 能够超越实验观测获取更多信息，从而实现超分辨率。

该神经网络通过使用 ADAM 算法（Kingma & Ba 2014）训练，以最小化总损失 。为增强训练过程的收敛性，我们采用指数衰减的优化器步长，整个训练过程在 NVIDIA A100 GPU 上大约耗时 100 小时。

图 2. PINN 示意图。输出变量 （黄色）从输入变量 （橙色）预测，受到物理约束（蓝色）和实验观测（红色）的限制。

该 PINN 的一个关键优势是其能够通过克服扫描测量引起的跨向畸变来重构真正的瞬时三维流场（Knutsen 等人 2020 和 Zigunov 等人 2023 也尝试过类似方法）。这仅需将每次交替的前向和后向扫描期间获取的连续快照 输入神经网络（如图 1 所示），这些快照在时间 处的间隔为 ，其中 H1 数据集的 ，H4 数据集的 。除了对采样数据的重新排列，PINN 还通过强制进行物理合理的非线性投影，使扫描数据更加准确和可靠，优于任何临时的运动学修正。

2.3. 使用 DNS 验证 PINN

为了验证 PINN 在重构 SID 流动方面的性能，我们将其应用于普朗特数为 7 的直接数值模拟（DNS），该普朗特数代表了水中的温度分层（要在盐分层的普朗特数为 700 的条件下运行 DNS 代价非常高）。DNS 使用流向周期性边界条件运行，导致形成静止的开尔文–亥姆霍兹不稳定性（该不稳定性也在此普朗特数下的实验中观察到），而不是传播的 Holmboe 波不稳定性。为了模拟实验数据中的不完美性，我们对经过均匀间隔降采样后的速度和密度 DNS 数据进行了训练，空间分辨率为 ((nx, ny, nz) = (150, 31, 61))，并添加了 5% 的随机噪声，x–z 平面则被作为沿 y 扫描采集的数据输入。我们训练了一个 10 层的 PINN（具有 [64 × 4, 128 × 4, 256 × 2] 个神经元）。结果表明，PINN 能够忠实地再现 DNS 的结果，垂直速度 和压力 （未用于训练）在点误差方面低于 3%：见图 3。

图 3. PINN 与 DNS 的验证： (a–c) 垂直速度 ，(d,e) 压力 。请注意，DNS 的“真实值”（a,d，未显示 ）；训练样本（b，不包括压力）；以及 PINN 重构（c,e）。

3. 结果

3.1. 改善实验数据的质量

首先，我们比较了 Holmeboe 波（HWs）的实验原始数据与通过 PINN 重建数据的流动快照和统计结果。虽然神经网络通过连续函数逼近解，但此处的结果显示，重建的空间分辨率通常是实验数据的两倍（在 x、y 和 z 方向上），并且可以通过增加采样输入点进一步提高分辨率。瞬时体积数据也在比实验采集更高的时间分辨率下生成，具体时间间隔为 （对 H1）和 （对 H4），但分析时间限制在 （对 H1）和 （对 H4）。时间分辨的 H1 和 H4 原始数据与 PINN 数据的对比可在补充影片 1–4 中查看，网址：https://doi.org/10.1017/jfm.2024.49。

首先，图 4(a,b) 显示了在 H4 实验中，在 时刻于 中平面处获取的垂直速度 的快照。实验中的大尺度 Holmboe 波结构（图 4a）被 PINN 真实地重建（图 4b），并且相比实验数据中的大量小尺度结构要少得多，这些小尺度结构被识别为实验噪声，违背了物理约束并增加了损失函数 (2.1) 中的损失。这张 的快照与 Lefauve 等人（2018）通过同一数据集 H4 中的平均流动稳定性分析预测的“受限 Holmboe 不稳定性”模式非常吻合（见他们的图 9m）。这种“干净的”、无噪声增强实验数据将改善三维 HW 的结构，我们将在 3.2 节中进一步讨论。

其次，图 4(c-f) 展示了 PINN 如何纠正沿跨流向扫描方向（参见第 2.1 节和图 1）的实验数据的不可避免的畸变，这在补充影片 1 中也可清楚看到。顶视图显示了在密度接口附近的水平面 的快照，在 处， 接近中性密度，。面板 (c,e) 显示了在 H1 流动中的两个连续体积快照，时间分别为 （前向扫描）和 （后向扫描），此时畸变最为显著（因为 比 H4 大两倍），而面板 (d,f) 则显示了由 PINN 输出的相应瞬时体积。原始数据使得此右移 HW 模式的波峰和波谷在前向扫描时向右倾斜，在后向扫描时向左倾斜（见倾斜的黑色箭头）。这种畸变被 PINN 成功纠正，显示出沿 x 方向传播的 HW，其相位面垂直于 x（直箭头），如理论所预测的那样（Ducimetière 等人，2021）。

图 4. 瞬时快照的改进：(a,b) 在 H4 中  时的垂直速度 ，(c–f) 在 H1 中界面上方的密度 ，(c,d) （前向扫描）和 (e,f) （后向扫描）。

第三，图 5 比较了界面高度 的时空图，其中 定义为 时的垂直坐标。实验中的 HW 传播特征（图 5a,c）与 PINN 结果（图 5b,d）基本一致，但也存在一些显著差异。由于信噪比低，当信号接近零时，确定密度界面（）特别容易受到噪声的影响。在这里，我们可以看到通过 PINN 渲染的轮廓变得更加平滑。H1 中时间分辨率增加 10 倍（ 对比 ）也使得传播特征变得更加清晰（图 5c,d），显示出两个方向的传播迹象以及干扰现象。相比之下，H4 由于密度界面（）偏离了剪切层的中点（ 在 处），仅显示出一个左向传播模式，如 Lefauve 等人（2018）所解释的。然而，实验数据无法揭示这种偏移的原因，这将在 3.4 节中的压力场分析中进一步阐明。

图 5. 界面高度  的时空图改进，用于 (a,b) H4 和 (c,d) H1，捕捉 HW 传播的特征。

第四，我们通过计算实验原始数据与重建数据中 和 的均方根差异 来量化和解释 PINN 校正的幅度。我们发现 H1 的 ，H4 的 。我们识别出至少两个导致 的来源：（i）平面 sPIV/LIF 测量中的噪声，（ii）扫描 y 方向造成的体积畸变。作为基准，我们还比较了一个完全层流的数据集 L1，在 下的 PINN 校正为 。在 L1 中， 主要归因于（i），因为该简单、稳定的流动使得（ii）可以忽略不计。L1 的能量谱（见 Lefauve & Linden，2022）突出显示了小尺度测量噪声的存在。我们确信在 H1 和 H4 中，来源（i）保持相对不变，因此在 H4 中 主要由（i）解释，而在 H1 中，较大的跨流向畸变（ii）则解释了较大的 ，这与界面变化的增加和 H1 中扫描时间翻倍相一致，如图 4(c-f) 所示。

3.2. Holmboe 波的三维涡旋结构

之前对 SID 流动中 HW 数据集的研究揭示了，在由 量化的湍流水平增加的情况下，相对较弱的三维 Holmboe 涡旋结构如何演变成成对的反向传播湍流发卡涡旋（Jiang 等，2022）。这些涡旋的特殊形态导致流体被吸入并搅拌到混合的界面区域，揭示了剪切驱动混合的关键机制（Riley，2022）。然而，Jiang 等人（2022）指出，由于信噪比的限制，无法准确解析最弱的初生 Holmboe 涡旋的结构，如图 1 中通过 判据可视化所示。

图 6. H4 中  时的三维涡旋和等密度面：(a) 实验数据 vs (b) PINN 重构。灰色等值面表示 ，颜色表示等密度面  及其垂直位置 。两条黑线表示中间平面  中的等密度面  和 。

图 6 展示了无噪声的 PINN 数据如何揭示 H4 实验中涡旋运动学，通过可视化瞬时的 等值面（灰色），其中 ，使用应变率 和旋转率 的 Frobenius 张量范数（Hunt, Wray & Moin，1988）。一个位于密度界面上方的等密度面叠加在图中，黄色到红色的色调表示其垂直位置。未经平滑处理的实验数据（图 6a）高度碎片化，使得这些弱的单个涡旋难以识别。在完全层流的数据集 L1 中也观察到了类似的噪声模式（此处未显示），确认了其非物理性质。PINN 数据（图 6b）有效地滤除了噪声，使我们能够分析涡旋的运动学。

3.3. 能量预算与混合效率

在分层流中的湍流混合能量学研究是环境流体力学的一个主要话题（Caulfield 2020; Dauxois et al. 2021）。Lefauve 等人（2019b）和 Lefauve & Linden（2022）研究了数据集 H1 和 H4 的能量预算，但我们将展示，PINN 数据可以克服空间分辨率（特别是在 方向）和相对较低的扰动变量信噪比等限制，这些问题在计算实验中的能量学时尤为突出。

图 7. H1 和 H4 中的改进能量预算： (a) 生产 ；(b) 耗散 ；(c) 浮力通量 ；(d) 标量耗散 ；(e) 混合效率 ，定义如 (3.1a–d)。蓝色和红色虚线表示平均密度界面 。

图 7 展示了湍流动能（TKE） 和湍流标量方差（TSV） 中的四个关键项，即 TKE 的产生项 和耗散项 ，TKE 与 TSV 之间的浮力通量 以及 TSV 的耗散项 ，它们的定义与 Lefauve & Linden（2022）一致：

其中，扰动变量（以撇号表示的变量）是围绕时间和空间（x 和 t）平均值的波动（）， 是应变率张量的 Frobenius 范数， 是速度场， 是密度场。

图 7a 显示了 TKE 产生项 的垂直分布，PINN 数据（实线）与实验数据（虚线）之间几乎没有差异，无论是在 H1（蓝色）还是 H4（红色）中。这是因为 不包含速度扰动的导数，因此不太受小尺度噪声的影响。相比之下，TKE 的耗散项 （图 7b）确实包含导数，因此在 PINN 和实验数据之间存在较大的差异。在 H4 中，实验噪声高估了耗散，尤其是在界面远处和靠近管壁的区域（），这些区域不应出现湍流扰动。

浮力通量 和 TSV 耗散 在 H1（）和 H4（）的密度界面处达到峰值，并且实验与 PINN 之间也存在显著差异。实验通常高估了 （不包含导数的项）的大小，而低估了 ，后者包含在高 Pr = 700 流动中出现在小尺度的 导数。PINN 通过其超分辨率密度场的能力，预计可以更好地捕捉这些导数。我们还注意到， 在各自界面处呈现局部负值，证实了 Holmboe 波的冲刷行为（Zhou 等，2017）。混合效率定义为 TSV 与 TKE 耗散的比率（），在 PINN 重建的数据中约为实验数据的两倍，在各自的密度界面处尖锐地达到峰值（在 H1 中 ，在 H4 中 ）。PINN 纠正混合效率估计的能力对于进一步研究高 Pr 湍流的混合至关重要。

最后，当 TKE 和 TSV 在整个体积 和长时间（大约 100 个时间单位）平均时，预计它们将接近统计稳态，因此其预算中的所有源和汇之和应当抵消（Lefauve & Linden 2022）。重要的是，PINN 预测了比实验更合理的预算，例如在 H4 中：

以及

3.4. 潜在压力场与不对称 Holmboe 波的起源

众所周知，当锋利的密度界面（此处为 ）相对于剪切层的中点（此处为 ）产生偏移时，会导致不对称的 Holmboe 波（Lawrence, Browand & Redekopp, 1991），在这种情况下，一个传播模态占主导地位，而另一个可能完全消失，如 H4 中所见。最近对 SID 流动的直接数值模拟（DNS）揭示了压力场在偏移密度界面中起到了复杂作用，通过类似于液压跃现象的机制，这种现象在较大的倾斜角 下出现（如 H4 中所示）（Zhu 等，2023）。然而，由于计算成本的限制，这些 DNS 在 Pr = 7（与实验中的 700 相比）下运行，因此无法再现 HWs。这里我们展示了 PINN 重建 Pr = 700 实验数据所提供的物理洞察。

图 8. 潜在压力的预测：中间平面  中的瞬时压力场（颜色）。(a) 由 Zhu et al. (2023) 的 B5 案例重现的 DNS（显示整个管道）；(b) 由 PINN 重构的 H4，显示测量体积 ，如 (a) 中的黑框所示，并叠加了 -准则的黑线。白色实线表示密度界面 。(c) H1 和 H4 中的纵向压力力 ，与最接近的 DNS B2 和 B5 进行比较。

图 8(a,b) 对比了 PINN 在 H4 中预测的瞬时无量纲压力场（图 8b）与 Zhu 等（2023）中的 DNS 压力场（案例 B5，图 8a），该模拟在相同的 和略高的 （实验为 438）下进行了。

尽管由于 Pr 值的差异导致了不同的流态（H4 中的 HW 对比 B5 中的驻波，后者在 处产生了内部液压跃），但压力分布仍有明显的相似之处，比较面板 (a) 和面板 (b) 中的黑框即可看出。在这两种情况下，密度界面附近都存在压力最小值，而在靠近管道中心处（）则发现了负压力（蓝色阴影）。这一压力最小值导致上层（）左侧管道（）的压力从右向左增加，即与流动方向一致，这使得上层在管道中段之后的流动速度减慢。下层在右侧管道中出现了对称的情况。这种现象被解释为 时液压跃现象的结果（Atoufi 等人，2023），而在 时则不存在。

图 8(c) 中的压力力 分布也验证了这一物理图景。此面板显示了 H1 和 B2（低 ）都具有典型的有利压力力 （下层为正，上层为负），这是水平交换流的预期现象。然而，H4 和 B5 都在上层左侧管道中表现出不利的压力力（即 ），这是液压跃现象下游的典型特征，导致密度界面在该区域向下偏移，从而解释了 HW 的不对称性。

面板 (b) 中叠加的 Q 判据线也突出了该低压区与强涡旋的关联，这与常见的涡旋–压力关系一致（Hunt 等人，1988）。我们推测，在剪切层中，三维 HW 的抬升导致了波附近局部高剪切的发展，进一步演化为 型涡旋（Jiang 等人，2022）。

4. 结论

在本文中，我们应用了一种物理驱动神经网络（PINN），该网络基于物理定律增强实验数据，并将其应用于两个高普朗特数 的SID数据集，这两个数据集分别展示了对称和不对称的Holmboe波（HW）。首先，我们在第3.1节中展示了PINN消除了非物理噪声以及由扫描数据采集引起的波前横向畸变，从而生成了更清晰的、高度分辨的时空波传播图。噪声的减少使我们能够在第3.2节中明确检测到之前与高雷诺数湍流结构相关的弱但重要的三维涡旋结构，并研究其与等密度面的相互作用。具体的界面涡旋和 形涡旋 被识别出来，分别对应于非线性HW的生成和维持。由于PINN的噪声消除和超分辨率能力，尤其是在涉及小尺度导数计算的项（如TKE和标量方差的耗散）方面，能量预算的准确性在第3.3节中也得到了提高。混合效率被揭示为比原始实验数据高出两倍，在对称HW情况下局部峰值为0.06，而在不对称HW情况下峰值为0.12。最后，通过潜在的压力场在第3.4节中揭示了额外的物理现象，确认了模拟数据中观察到的管道中心附近存在压力最小值的现象。这个压力最小值与液压跃现象的存在有关，该现象使得密度界面产生偏移，这是解释数据中不对称HW存在与否的关键。

这些结果标志着通过使用最先进的实验室数据，研究密度分层湍流和混合的一个重大进展。或许最值得注意的是，这一成就是在目前超出DNS能力的普朗特数 下实现的。未来的挑战包括处理更高的 值，在这种情况下流动将更加湍流，以及了解如何最佳设计PINN架构以最小化训练时间并最大化准确性。我们希望在不久的将来对此进行报道。