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摘要 — 本文研究并应用了基于物理信息神经网络（PINN）的方法于核反应堆物理计算中的中子扩散模型。该研究介绍了既有定源模式又有特征值模式的反应堆问题。对于定源问题，使用了前向PINN方法求解松散耦合的反应堆模型，并且利用该模型优化了神经网络的超参数。针对核反应堆计算中特有的k特征值问题，修改了前向PINN方法，扩展了其求解基本特征值及其对应特征函数的能力。通过使用一个可学习的自由参数来逼近特征值，并引入了一种新颖的正则化技术来排除PINN框架中的无效解。本文研究了单能群和多能群扩散模型，以展示PINN在反应堆问题中求解耦合偏微分方程组的能力。通过一系列数值示例测试了PINN方法的可行性。将PINN解与有限元方法（FEM）求解的中子通量解和特征值迭代法求解的k特征值进行了比较。所预测的通量误差在简单定源问题中为0.63%，而在两群k特征值问题中误差约为15%。所预测的k特征值与特征值迭代法的偏差在0.13%到0.92%之间。这些总体上可接受的结果初步验证了PINN在反应堆问题中的应用可行性。本文还讨论了PINN方法的优势应用潜力以及其在该试验研究中的显著计算缺陷。

关键词 — 物理信息神经网络，深度学习，多群中子扩散方程，k特征值扩散模型。

I. 引言

核反应堆的建模涉及求解一系列描述反应堆堆芯中各种现象的偏微分方程（PDEs）。目前还没有通用的PDE求解器能够应用于所有的设计和分析目的。传统的数值方法（如有限元方法（FEM））由于其严格的数值性能被广泛使用。然而，这些方法或多或少存在一些缺点，包括计算复杂性、巨大的人工需求、需要先验假设等。另一方面，数据驱动的建模技术在计算上可能更有效且相对易于实施。然而，数据驱动方法的性能依赖于可用数据的数量和质量，而数据获取的成本在许多领域是非常高的，这成为了一个主要挑战。

理论指导的数据科学（TGDS）是一种新兴的数据科学范式，旨在为将科学知识（如PDEs）嵌入数据驱动方法中提供一个替代框架【1】。通过将科学知识与数据驱动技术相结合，形成了一种新的科学预测范式，该范式允许生成物理上一致的模型，同时减少对训练数据的需求。这种范式填补了已有的理论方法和数据驱动方法之间的空白。在这一范式下，不同的研究团队已经做出了许多努力，开发了用于数据驱动求解和发现PDEs的框架【2-7】。

与Lagaris等人【2】多年前引入的“硬约束”物理信息神经网络（PINN）框架相比，Raissi等人【3】最近开发的“软约束”PINN框架在TGDS领域获得了更广泛的认可。简单来说，PINN方法使用神经网络（NN）来逼近PDE的解，通过训练NN模型拟合训练数据（如边界条件），并在模型预测中施加PDE模型。PINN框架可应用于基于PDE的正向问题和逆向问题。该框架依赖于机器学习工具箱中的最新改进，特别是自动微分（AD），可以直接处理一般的非线性PDE，无需先验假设或领域离散化。

一般来说，神经网络可以被视为可微分的通用函数逼近器，这意味着其由大量的计算单元（神经元）组成，排列在连续的层中【8】。在神经网络模型中，每一层的输出加权求和后，通过激活函数传递到下一层。通过调整加权和偏置（可学习参数），可以将输入参数映射到目标输出，达到任意所需的精度。训练过程涉及将训练输入反复传递给NN以获得输出，输出与目标值比较后计算成本函数（损失函数）。损失函数是测量预测输出和目标输出之间不匹配的可微函数。损失函数及其对可学习参数的导数通过梯度下降法用于更新权重和偏置，以最小化损失函数。训练过程在满足预定条件时终止。在PINN方法中，物理信息组件被添加到损失函数中。该组件的构建首先通过PDE模型对神经网络模型的输入参数进行微分。在一些选取的配点上，通过训练数据来构建物理信息组件的预测（PDE的残差）。最小化物理信息组件的损失函数使得预测满足PDE模型。

Raissi等人在其原始工作中【3】解决了两个主要类型的问题，即数据驱动求解（正向问题）和数据驱动发现（逆向问题）。通过训练已知数据集（如边界条件和/或初始条件）以及从解域中采样的配点集以评估PDE模型的残差，可以解决正向问题。对于逆向问题，通过训练从已知解中采样的数据集，可以从参数化PDE模型中提取未知参数。对于这两类问题，他们设计了两种不同的解法：连续时间域和隐式Runge-Kutta时间步进法。

自PINN引入以来，许多持续的努力已经解决了PINN实现过程中遇到的各种问题，如计算复杂性和不确定性量化，并扩展了该方法到各个领域。传统PINN方法的变体包括不确定性量化的概率PINN【9】，用于求解随机微分方程的任意多项式混沌PINN【10】，适用于离散域的守恒型PINN【11】，用于长时间积分的并行PINN【12】，用于积分方程的非局部PINN【13】，以及用于大噪声数据场景和不确定性量化的贝叶斯PINN【14】。为降低PINN方法的计算复杂性，已经提出了各种方法，包括自适应激活函数【15】，迁移学习【16】，基于域分解的变分PINN【17】，以及极端理论的函数连接【18】。

在应用方面，PINN方法迄今为止已经成功应用于多个科学和工程领域，包括流体动力学【3,19-21】，量子力学【3】，心脏激活映射【22】，扩散系统【10,23-25】，纳米光学和超材料【26】，材料力学【27-29】，电力系统【30】，热传递【31,32】，三维表面【33】，地下传输【34】，生物组织【35】，化学动力学【36】等。

最近，一些文献报道了物理指导的数据科学在核工程中的应用【37-41】。然而，作者认为，在撰写本文时，除了在最近的学术会议上报道的初步工作【23-25】，PINN很少应用于反应堆物理计算。Xie等人【42】最近使用PINN求解了具有方形和圆形几何的二维（2D）单能群、随时间变化的反应堆扩散方程。Xie等人的工作并未聚焦于物理模型和方法论，而是基于边界条件并提出了处理边界条件的不同方法，即边界依赖法（BDM）和边界独立法（BIM）。与BIM相比，BDM的精度高出两个数量级。在BDM中，试探函数被用于给出边界条件的连续符号解。他们还研究了各种超参数和激活函数对解精度的影响。

众所周知，反应堆堆芯水平计算的主要模型是多群中子扩散方程，这本质上可以看作一组二阶PDEs。在本文中，我们进行了一项初步研究，评估基于多群扩散模型的PINN在中子学计算中的可行性。在之前的工作中【23-25】，我们初步展示了PINN方法在反应堆物理问题中的适用性。我们从稳态二维单能群定源中子扩散模型开始【23】，然后将该方法扩展到两群（2-G）定源问题【24】和k特征值问题【25】。本文扩展了这些工作，并系统性地展示了PINN方法在定源和k特征值模式下的反应堆问题中的应用。对于定源问题，我们使用了松散耦合反应堆模型（LCRM）并使用前向PINN方法进行求解，然后利用该模型优化了神经网络的超参数。对于核反应堆计算中特有的k特征值问题，我们修改了前向PINN方法，扩展了其同时求解基本特征值和相关特征函数的能力。通过使用可学习的自由参数逼近特征值，并引入了一种新颖的正则化技术，将无效解排除在PINN框架之外。本文研究了单能群和多能群扩散模型，以展示PINN在反应堆问题中求解耦合PDE系统的能力。通过一系列数值示例，验证了PINN方法的可行性。我们将PINN解与FEM方法求解的中子通量以及特征值迭代法求解的k特征值进行了比较。本文全面讨论了PINN方法在反应堆计算中的潜在优势应用以及其显著的计算不足，并作为试验性研究。

本文余下部分安排如下。第二部分阐述了前向PINN框架的理论基础，并建立了将PINN方法与中子扩散模型联系起来的清晰路径。第三和第四部分展示了基于中子扩散理论的PINN方法在定源模式和k特征值模式下的一系列反应堆物理测试问题。这些测试问题从最简单到最复杂进行设计，考虑了单能群和多能群模型。最后一部分（第五部分）总结了基于所进行的研究对PINN在反应堆物理应用中的结论性意见和未来展望。

II. PINN方法与中子扩散模型

在Raissi等人的原始论文中【3】，PINN方法被分为两类：前向PINN方法和逆向PINN方法。第一类方法构成了一个新的数据高效的PDE解逼近器家族，而第二类方法允许通过解逼近器进行数据驱动的PDE发现。对于大多数反应堆物理问题，解逼近器是主要的研究兴趣点；因此，本文重点讨论前向PINN方法，逆向PINN方法则留待未来研究。

II.A. 前向PINN方法

前向PINN方法开发了一个神经网络（NN）模型，用来逼近满足PDE模型的未知状态函数以及任何已知的函数值。考虑以下一般的非线性PDE模型：

其中：

= 独立变量；

= 满足PDE模型的所需状态函数；

= 通用非线性微分算子；

= PDE残差。

在这种情况下，方程(1)可以被视为PDE模型的残差形式。在前向PINN框架中，状态函数由一个NN模型进行逼近，NN以独立变量作为输入向量，并预测该向量下的状态值。NN模型对其输入变量可微，因此PDE的残差也可以通过对根据原始PDE形式进行微分，从而近似为：

这两个NN模型和共享相同的可学习参数。这些共享的可学习参数可以通过优化来实现两个目标：复现已知的状态函数值，并最小化预测的残差。可学习参数的优化目标通过最小化惩罚模型预测的损失函数来实现。损失函数通常包括两个项：一项用于衡量预测与已知数据（状态函数的显式值）之间的不匹配，另一项则衡量预测残差。因此，物理信息损失函数可以定义为：

其中，第一个项代表在个训练点上模型预测与目标值之间的均方误差（如PDE模型的边界或初始条件的已知显式值），第二项代表在从解域中随机采样的个训练点上预测残差的均方值。对于边界条件是状态函数及其导数的情况（如Neumann边界条件），第一个损失项的贡献将类似于残差损失表示。在这种情况下，损失函数可以定义为：

其中，是NN对边界条件的预测值。

图1描述了前向PINN方法的训练方案，同时解释了前向PINN方法的数值实现。训练方案首先为损失函数中的每一项定义一个训练数据集。NN的可学习参数（权重和偏置）在起始时随机初始化。每个训练数据集随后被传递到NN模型中以评估相应的残差函数并将其添加到总损失中。使用优化算法（如L-BFGS【43】）迭代更新NN的可学习参数，直到达到预定的收敛标准，从而输出令人满意的预测结果。

II.B. 定源扩散模型

为了将PINN应用于反应堆问题，本文使用了中子扩散模型进行示范。本节中我们专注于定源问题，稍后将扩展到k特征值模型。为了简化说明，PINN方法应用于描述的一能群二维扩散方程，表示如下：

其中，为分布的外部源项，为宏观吸收截面，为扩散系数，给定为：

其中为宏观散射截面。

为了将PINN方法应用于定源扩散问题，我们首先构建了一个神经网络模型来逼近扩散方程的通量分布，即。依赖于自动微分（AD），我们根据PDE模型对进行微分，以构建残差神经网络，表达为：

类似地，我们为系统每个表面的边界条件构建了一个神经网络逼近器。例如：

其中假设边界表面为通用的Robin型边界条件。最后，神经网络模型的共享可学习参数通过训练来最小化损失函数：

损失函数中的附加项用于逼近其余表面的边界条件。损失函数中的每一项通过从相应域中采样的一组训练点进行评估。所有训练集可以通过拉丁超立方采样（LHS）策略生成。

II.C. PINN方法在特征值问题中的应用

特征值问题在反应堆计算中非常重要，且具有独特性。对于特征值问题，广义线性微分算子的特征函数可以通过方程(10)的非平凡解定义：

其中，是标量。通过考虑残差方程，可以在PINN框架中求解主特征值和对应的特征函数：

方程(11)是带有未知参数的参数化PDE。该方程的主解可以通过NN模型来逼近特征函数，限制其预测非平凡解，同时通过一个可学习的自由参数来逼近主特征值，该参数通过最小化PDE残差来学习。尽管理论上这种方法可以收敛到系统的任一特征解，但梯度下降优化通常会收敛到基态模式。这是由于全连接神经网络的频谱偏差，使其在一定程度上无法学习高频解【46】。

在PINN应用于特征值问题时，一个独特的挑战是获得的解逼近器可能会收敛到平凡解。为消除收敛到平凡解的情况，我们在原始前向PINN方法的损失函数中引入了一个附加正则化项。这个附加的正则化项是一个积分项，用来强制特征函数在其输入空间上的积分达到预设值。积分的预设值可以与某个感兴趣的物理量直接相关，或者简单设为1。在后一种情况下，预测的特征函数将在解域上进行归一化。非平凡解的条件可以表示为：

其中是积分的预设值。正则化项可以定义为预测值的均值与目标均值之间的平方差，如下：

特征值PINN方法的总损失函数定义为：

图2展示了特征值问题中PINN方法的训练方案。

II.D. k特征值扩散模型

为了说明问题，本文给出了如下的一能群二维k特征值扩散模型：

其中是宏观裂变截面，是每次裂变发射的平均中子数，其他符号与方程(5)中的含义相同。

求解该方程中主k特征值的最著名数值方案是幂迭代法【47】。在该方法中，特征值问题实际上简化为定源问题，通过在每次迭代中更新源项来求解。首先，使用通量分布和k值的初始猜测来计算源项。然后源项被作为扩散模型中的一个定项，用以求解通量分布。计算出的通量分布用于估计下一个迭代中的k值和源项。此过程在达到收敛标准后终止。图3展示了幂迭代法在k特征值扩散问题中的应用流程图。为了验证该问题的PINN解，使用FEM并结合COMSOL Multiphysics【48】实现并使用幂迭代法作为通量求解器。

PINN方法在k特征值问题中的实现从定义与前述类似的神经网络模型开始。在这里，我们假设：

边界条件的神经网络模型与定源问题中的相同，而正则化项定义为：

神经网络模型的共享可学习参数通过最小化以下定义的损失函数进行学习：

II.E. PINN方法在多群扩散模型中的应用

在本节中，PINN方法被扩展到多群扩散模型。为了说明，我们考虑以下二维两群（2-G）k特征值扩散方程：

其中：

• （）分别表示第g群中子的通量、扩散系数、宏观吸收截面和宏观裂变截面；
• 表示从快中子群到热中子群的宏观下散射截面；
• 是快中子群的去除截面。

PINN方法可以直接应用于2-G扩散问题。我们可以使用具有两个输出的神经网络模型，每个输出表示一个通量分量。该神经网络模型可以用于构建每个群方程的残差，并且在训练阶段使用结合残差量级的损失函数作为物理约束。此外，对于k特征值问题，裂变率可以作为正则化项，避免齐次PDE的平凡解。对于2-G情况，总裂变率定义为：

通过使用裂变率的预设值并在模型预测中强制该值，神经网络模型将被限制为预测非零通量分布。通过最小化以下损失函数可以学习解：

其中：

• 分别为神经网络对快中子通量、热中子通量、快中子通量方程残差和热中子通量方程残差的预测；
• 为预设的裂变率值；
• 为神经网络对边界条件的预测值。

值得注意的是，我们将损失函数定义为残差的总和，而不是残差的均值。虽然这种定义损失函数的方式并不会实质性地影响学习过程的最终结果，但我们发现这加速了所有测试案例中解的收敛。这是因为PDE模型残差在损失函数中的权重较大，超过了损失函数的其他组成部分（即边界条件和正则化项）。

在接下来的章节中，我们提供了一系列数值示例，涵盖了反应堆物理中感兴趣的问题，并按问题复杂性递增的顺序排列。图4展示了本文讨论的示例，按四个类别展示了每个示例对PINN在反应堆物理问题中的应用价值。

III. 一能群示例

本节中讨论的一能群示例在最近由美国核学会（ANS）赞助的专题会议上进行了展示【23, 25】。我们在此简要重复这些结果，以便完整展示PINN的应用。毕竟，一能群示例可以作为一个引导案例，便于将PINN扩展到第IV节中将讨论的多群示例。由于所涉及方程的性质不同，无论是在本节还是在第IV节中，数值示例都分为两类：定源问题和k特征值问题。

III.A. 定源问题

对于定源问题，我们解决了Rokrok等人【49】中描述的松耦合反应堆模型（LCRM）问题。LCRM的配置如图5所示，其材料属性如表I所示。假设所有边界表面上的入射通量为零，可以表示为以下Robin型边界条件：

• 表面处：

• 表面处：

• 表面处：

• 表面处：

为了使用PINN方法解决LCRM问题，我们使用神经网络（NN）模型来逼近扩散方程的通量分布，即。接着，利用自动微分（AD）根据PDE模型对进行微分，构建残差神经网络：

类似地，我们构建了四个函数和，用以评估边界条件处神经网络的预测值，这些函数分别对应左、右、底和顶四个表面。例如：

神经网络模型的共享可学习参数通过最小化损失函数进行训练：

损失函数中的每一项通过从相应区域中采样的一组训练点进行评估。所有训练集均通过拉丁超立方体采样（LHS）策略生成。

在应用PINN于第II.B节描述的定源示例中，神经网络结构使用了tanh函数作为激活函数。神经网络可学习参数首先通过Adam优化器【50】进行训练，训练的固定迭代次数为，然后使用L-BFGS算法【43】进行训练，直到达到收敛标准（即损失函数梯度的最大分量）。所有模型均使用TensorFlow 1.0软件【51】实现。高阶有限元法（FEM）解由COMSOL Multiphysics【48】获得，并作为参考解。参考解被平均化为100×100的网格，以便与PINN预测结果进行逐点比较。

进行了系统参数研究，以优化神经网络架构（隐藏层数目、每层神经元数目）并了解在不同训练点数量（）下PINN预测的精度。表II展示了在固定训练点数量（）下，使用不同神经网络架构时PINN预测的平均相对误差。表III展示了在固定架构（8层隐藏层，每层40个神经元）下，使用不同配点数和边界点数时PINN预测的平均相对误差。

系统研究的结果表明，增加隐藏层的数量和/或每层神经元的数量会提高PINN预测的精度。这是预料之中的，因为增加这些参数会提升神经网络模型的逼近能力。结果还表明，在较广泛的数据量范围内，PINN预测的精度是稳定的。参数优化过程是任何与神经网络相关应用的常见做法。本文仅在第一个数值示例中详细介绍了参数优化过程，作为示例说明。在其他示例中，同样进行了优化，但仅展示了最佳神经网络架构的结果。

基于参数优化的研究结果，选择了具有8层隐藏层和每层40个神经元的PINN模型来解决LCRM问题（表II中斜体字所示）。该模型使用10,000个配点和每个表面100个边界点进行训练（表III中斜体字所示）。该模型的平均相对误差为0.69%，最大误差为6.9%。图6展示了预测的通量及其与FEM参考解逐点相对误差百分比的比较结果。选择的PINN模型的损失函数收敛曲线如图7所示。

III.B. k特征值问题

对于k特征值问题，我们针对与LCRM不同的两种几何形状解决扩散模型问题。图8展示了这两个问题的几何配置，每个区域的材料属性如表IV所示。我们同样假设所有边界表面上的入射通量为零。

在将PINN应用于第II.D节描述的k特征值问题时，我们使用了与定源问题相同的神经网络架构、训练数据集量和优化算法。在第一个数值示例中，我们求解图8a中的配置。预测的k值为0.96266，而幂迭代算法收敛的k值为0.96395。预测值的相对百分比误差为0.13%。图9展示了预测的通量以及幂迭代解与PINN预测解之间的逐点差异。预测通量的平均绝对误差（MAE）为2.9E-6。

在第二个数值示例中，我们求解图8b中的配置。预测的k值为0.95894，幂迭代算法收敛的k值为0.96321。预测值的相对误差为0.44%。图10展示了预测的通量以及幂迭代解与PINN预测通量之间的逐点差异。图10a中右上区域的通量峰值较低，在二维视图中几乎不可见。预测通量的总体MAE约为1.2E-6。这些结果初步验证了PINN方法在k特征值问题上的成功应用。进一步的验证将在第IV节中，通过将PINN应用于多群扩散问题进行讨论。

IV. 多群示例

为了展示PINN在多群情况下的应用，本文提供了若干数值示例，涵盖了一维（1D）和二维（2D）几何形状，以及定源问题和k特征值问题。对于所有测试案例，我们使用了通用的神经网络架构，包括8层隐藏层，每层40个神经元，以及tanh激活函数。我们在每个示例中使用了Adam优化器进行次迭代，然后使用L-BFGS优化算法。所有计算均在Google Colab的GPU机器上执行。

IV.A. 定源问题

IV.A.1. 定源一维均匀平板问题

对于定源的两群（2-G）扩散方程，给出如下方程：

其中，和分别表示快中子和热中子源强度。在实际应用中，我们通常假设外部源仅存在于快能区（即）。首先，我们对一个80厘米的平板求解方程(27)，该平板左侧为反射边界条件，右侧为零通量边界条件。平板的材料属性如表V所示。

对于定源问题，PINN方法定义的损失函数不包含正则化项。此示例的重要性在于它有解析解，解析解表达式如下：

其中，扩散长度和分别为：

对于PINN的实现，使用拉丁超立方体采样策略（LHS）生成了1000个点进行采样。对于这个简单的示例，训练时间不到1分钟。图11展示了解析解与PINN解的对比，结果表明PINN几乎得到了与解析解相同的通量解。

为了对结果进行直接的定量检查，可以使用两个常用的误差度量：平均绝对误差（MAE）和均方误差（MSE）。它们的定义如下：

其中， 和 分别为PINN解和参考解析解在点处的值。

预测的快中子通量的MAE为0.0043，MSE为3.599E-5；热中子通量的MAE为0.0014，MSE为2.593E-6。所有这些结果表明，PINN方法在两群（2-G）问题中的正确实现。

IV.A.2. 定源一维非均匀平板问题

在本示例中，我们求解了定源的两群（2-G）扩散模型，问题涉及七个100厘米的平板，使用三种不同类型的材料按1-2-3-2-3-3-2的顺序排列，每个数字代表对应的材料类型。每个区域的属性和体积源强度如表VI所示。假设平板的左右两侧为零通量边界条件。该示例源自文献【52】。我们使用有限元法（FEM）解作为参考解来评估PINN解的性能。图12展示了PINN解与参考解的对比。

预测的快中子通量的MAE为0.1542，MSE为0.8403；热中子通量的MAE为0.0152，MSE为0.0037。这些结果进一步验证了PINN方法在多群多区域问题中的准确性。

IV.A.3. 定源二维问题

对于二维定源问题，我们将PINN方法应用于如图13所示的X-Y笛卡尔几何。该域的左侧和底部施加了零通量边界条件，而右侧和顶部施加了反射边界条件。问题中两个区域的材料属性如表VII所示。该示例最初来自文献【53】。

在PINN实现中，使用了50000个内部采样点()和每侧200个边界点()进行采样。使用COMSOL Multiphysics获得高阶有限元（FEM）解来验证PINN解。图14显示了预测的通量和相应的误差分布。快中子通量的MAE为2.1382，热中子通量的MAE为3.9886。考虑到快中子和热中子的平均通量值，它们的MAE分别在3%和2%的范围内。

IV.B. k特征值问题

IV.B.1. k特征值一维示例

对于多群k特征值问题，我们首先求解由三个区域组成的1D两群（2-G）平板问题，每个区域的厚度为21.42厘米。每个区域的材料属性如表VIII所示。平板域的左侧施加了反射边界条件，右侧施加了零通量边界条件。

对于PINN解，我们使用1000个采样点进行采样，并使用作为正则化项。与有限元法（FEM）解相比，归一化的预测通量如图15所示。预测的k特征值为，参考值为，相对误差小于0.54%。快中子通量的MAE和MSE分别为0.0011和1.846E-6；热中子通量的MAE和MSE分别为0.0025和1.087E-5。由于这些误差是PINN预测解与参考解之间的绝对偏差，因此这些数值在一定范围内是可以接受的。该示例的训练时间约为30分钟，所有模型均在Google Colab GPU上训练。

IV.B.2. k特征值二维示例

对于二维情况，我们求解如图16所示几何的二维两群k特征值扩散方程。左侧和底部施加反射边界条件，而右侧和顶部施加零通量边界条件。表VIII中的材料属性也用于此示例。该示例是C5G7基准问题的简化版本【55】。

我们使用了个内部采样点和每侧100个边界采样点进行采样，并使用作为正则化项。使用COMSOL Multiphysics获得高阶FEM解进行验证。预测的k值为0.93620，FEM参考值为0.92764，k值的相对误差为0.92%。归一化通量及其相应的误差分布如图17所示。快中子通量的MAE为2.16E-5，热中子通量的MAE为3.67E-5。考虑到快中子和热中子的平均通量值，它们的MAE分别在8%和15%的范围内。

V. 总结与结论

在本试点研究中，我们应用了前向PINN方法来求解核反应堆计算中的中子扩散方程。我们首先通过实施前向PINN方法求解定源模式的一群扩散问题开始研究。随后，我们通过添加求解k特征值模式问题的能力，修改并扩展了该方法。最后，我们将这些方法扩展到了两群（2-G）扩散模型。

对于一群二维稳态定源扩散方程，边界条件为零入射通量，我们使用了LCRM配置的简单示例来展示PINN方法的可行性，并优化了神经网络超参数，以用于后续示例。在LCRM示例中，首先进行了系统的参数研究，研究了不同神经网络架构和训练点集对PINN性能的影响。使用COMSOL Multiphysics获得的有限元法（FEM）解作为参考解。预测通量的平均相对误差约为0.69%。逐点相对误差在解域内均匀分布，但最大误差主要出现在堆芯和包壳界面处。这些结果表明，PINN方法在定源扩散问题中的成功实现。

特征值问题在反应堆中子物理计算中具有特殊重要性，而传统的前向PINN方法并不适用于这一类问题。为了克服这一限制，我们修改了PINN框架，以便能够求解主特征值及其相关的特征函数。通过引入一个可学习的自由参数来近似特征值，并通过引入一个正则化项，强制总裂变率满足用户提供的值，从而排除零解。通过求解不同几何结构中的k特征值中子扩散方程，验证了这些想法的可行性。

我们继续研究了PINN方法在多群扩散问题中的性能，包括定源模式和k特征值模式。PINN方法可以自然地扩展为求解耦合的偏微分方程系统。这种能力被用于求解代表两群中子平衡方程的耦合方程系统。所有的数值结果都表明PINN方法在基于扩散模型的反应堆问题中的可行性。