一、什么是物理信息神经网络(PINN)？
物理信息神经网络（PINN）是一种将深度学习与物理建模相结合的方法，用于求解偏微分方程（PDE)和其他物理问题。PINN 的关键思想是将物理约束嵌入神经网络中，从而使网络能够学习物理系统的行为并满足物理方程。这种方法通常用于数据稀缺或者问题复杂的情况，为科学和工程领域提供了一种强大的数值求解工具。
(1)主要特点
深度学习结合物理建模： PINN 将深度神经网络与物理模型相结合，以更好地适应实际物理系统。 数据稀缺性： 适用于数据稀缺或难以获取足够数据的问题。 灵活性： 允许用户集成自定义的物理方程和约束，适用于各种科学和工程领域。
(2)使用方法
定义物理模型： 定义系统的物理方程和约束条件。 构建神经网络： 构建包含物理信息的神经网络结构。 训练网络： 通过优化算法训练网络，使其逼近物理方程并满足约束。 求解问题： 使用训练好的网络进行物理问题的求解。
1.1 用来求解正反偏微分方程问题的一种新方法
PINN的损失函数通常由四个主要部分组成：数据匹配项、物理方程项、边界条件项和初始条件项。
(1)数据信息
数据匹配项确保神经网络在已知的数据点上准确地匹配真实数据。假设我们有一组带有标签的数据 ，其中 是空间点， 是相应的观测值。数据匹配项通常采用平方误差形式：
其中， 是神经网络在点 处的输出。
(2)物理控制方程
物理方程项确保神经网络满足物理方程。假设我们有一个描述物理系统的偏微分方程（PDE）：
其中， 是描述物理方程的函数， 表示梯度运算， 表示 Laplace 运算。物理方程项通常采用形如下式的损失：
(3)边界条件
如果问题涉及到边界条件，可以加入边界条件项以确保网络在边界处的行为符合预期。边界条件项的形式取决于具体问题的边界条件。
(4)初始条件
初始条件项确保神经网络在时间初始点上满足初始条件。如果时间是一个变量，初始条件项的形式通常为：
其中， 是神经网络在时间初始点 处的输出， 是相应的初始条件值。
以上四个项的组合构成了PINN的总体损失函数。通过最小化这个损失函数，神经网络能够学习逼近真实数据并同时满足物理方程、边界条件和初始条件。
深度学习在各个领域取得了显著的进展，包括计算机视觉、自然语言处理、语音识别和推荐系统。它在图像分类、目标检测、机器翻译和语音识别等任务中取得了或甚至超越了人类水平的表现，受到广泛关注和研究兴趣。在科学和工程领域，求解偏微分方程（PDEs）是许多重要问题的核心。Raissi 等人引入了物理信息神经网络（PINN）方法，利用神经网络架构的通用逼近定理和自动微分技术的广泛应用。PINN 提供了一种通过在神经网络的训练过程中嵌入物理约束来近似未知解函数并从数据中提取系统行为信息的创新方法。这种方法不仅规避了昂贵的离散化过程，还处理复杂的边界条件和几何形状，使 PINN 在求解 PDEs 方面具有很大的前景。
近年来，研究人员通过修改网络架构、损失函数表达和配置点采样方法，采用 PINN 来解决非线性光学中的问题。Jiang 等人展示了 PINN 在模拟各种物理效应下的脉冲演化方面的强大表征能力。Chen 等人将 PINN 应用于解决纳米光学和超材料技术中的不同逆散射电磁问题。Lin 等人提出了一种基于守恒量的两阶段 PINN 方法，以提高预测精度和泛化能力。Fang 等人成功预测了从失谐稳态到稳定锁模的孤子动态行为。
在掺铒光纤中，光脉冲的传播特性可以通过耦合的非线性薛定谔-麦克斯韦-布洛赫 (NLS-MB) 方程来描述：
其中 和 分别表示归一化的传播距离和时间，复包络 是缓慢变化的电场， 是共振介质的极化度量， 表示粒子数反转度，符号 表示复共轭。 和 分别是群速度色散参数和克尔非线性参数， 表示测量的共振频率偏移。NLS-MB 系统最早由 Maimistov 和 Manykin 提出，用于描述在克尔非线性介质中传播的极短脉冲。该系统在解决光纤损耗引起的传输距离限制方面也起着至关重要的作用。方程 (1) 具有自感应透明 (SIT) 孤子和 NLS 孤子的混合和共存状态，称为 SIT-NLS 孤子，在光纤通信中得到了广泛研究。
三、 NLS–MB 方程的孤子演化预测
在本节中，我们将重点解决与 NLS–MB 方程相关的正问题，即在考虑硬约束初始条件和狄利克雷边界条件的情况下，通过使用上述 PINN 算法预测孤子演化。NLS–MB 方程在指定的初始和边界条件下可以表示为：
边界条件和初始条件为：
其中 , 。
“”是一个虚数，下标表示各个量关于空间 和时间 的偏导数， 和 分别表示时间 的上边界和下边界，而 和 分别表示空间变量 的初始时间和终止时间。此外， 表示在 处的初始值，而 和 分别对应 和 处的下边界和上边界。
3.1 明亮 M-W 形态的一个孤子
设参数为
和 ，NLS-MB 方程的明亮 M-W 形态一个孤子解为：💙整理不易，希望各位道友能够多多支持宝库，支持邪云宝库！你的一个点赞、一次转发、 随手分享，都是宝库前进的最大动力~
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