Costas Arkolakis, Arnaud Costinot, and Andrés Rodríguez-Clare 2012 在AER 上的 New Trade Models, Same Old Gains? 是贸易领域最重要的文献之一. 在很宽泛的模型设定下提供了gains from trade的一般形式.
设定
N 个国家 每个国家一个生产要素,劳动力 商品种类为 , 测度为 劳动力不可流动 基本模型考虑一个行业,不过可以拓展到多个行业.
效用: Dixit-Stiglitz形式,那么价格指数为
生产: 需要可变成本和固定成本,假设 i 国生产,销售到 j 国的商品,可变成本为以下形式:
其中 为外生的参数,可以表示贸易成本. 为i国工资, 表示销售到 j 国的商品的生产技术, 表示 i 国对于 技术的应用程度.
固定成本为
其中 为外生的参数,可以表示贸易成本. 表示工资成本,包括本国和外国工资,因为可能固定成本由两方一起承担,并且是homogenous of degree one. 表示内生的技术决策. 表示 i 国对于 技术的应用程度.
那么总成本就是销售到所有国家的成本之和:
市场结构 文章考虑完全竞争和垄断竞争两种结构.
除了以上两个设定,为了得到最后的结果还需要再有一些条件:
R1: 贸易平衡:
虽然看起来很直接,不过在这个模型不是特别直接,因为根据固定成本的设定,他受到本国和外国工人的影响,固定成本并不是全都付给本国工人的. 所以本国总收入不一定总会等于总产出,R1保证了这个是相等的.
R2: 利润收入占比是个定值:
完全竞争条件下很直接,因为就是0. 在垄断竞争下也很直接,因为CES效用.
R3: CES import demand system,即对于任何两个国家的双边贸易,进口的价格弹性都是定值
R3': 一个更强的假设是,双边贸易满足:
gains from trade
Proposition: R1-R3成立时,real income 变化可以表示为
完全竞争
推导一下完全竞争下的结论,当然该结论不只限于完全竞争下成立.
在完全竞争下,有以下几个条件:
固定成本为0,这里设置为 专业化生产,即最低价的商品才被销售. 所有厂商都可以得到所有国家的所有技术 . 利润为0
假设 联合概率分布pdf为 (完全竞争下 )
价格: 根据利润为0,那么可以得到价格只是边际成本
其中
生产商品: 由于只有最低价商品得到生产,那么每个国家出口的商品种类为
价格指数: 根据效用函数的设定以及商品种类,可以得到价格指数为
贸易比例: 根据价格指数以及Shephard’s Lemma得到贸易比例
Lemma: 将 联合概率分布带入价格指数和贸易比例可以得到
有了以上条件,接下来分为几步来证明. 我们选取 作为numeraire
Step 1: 根据 , 并且 , 直接得到
那么接下来问题在于求解价格指数变化.
Step 2: 由以上Lemma可以对A3直接全微分得到
Step 3: 对A4全微分得到
这里用到 , 其中
Step 4: 根据贸易比例定义,有
A13可得
而根据R3, 这个弹性需要是个常数,因此有
将A13带回A10得到
Step 5: 将A14带入第一步得到
直接积分得到
一些例子
Armington model
每个国家生产一种商品,消费者消费所有国家商品.
价格指数:
贸易:
R1: 贸易平衡
R2: 利润为0
R3: 双边贸易弹性为定值:
由 , 对价格指数全微分带入贸易比例得到
由贸易比例式全微分可得
5带入4,并且带入 得到
因此得到
注意到,这里的贸易弹性为 ,是由需求函数决定的.
The Ricardian Model
假设生产率参数 , 即只和生产国有关,并且所有国家的生产率参数cdf为
商品种类: 每个国家都可以生产 的所有商品,但是只有最低价的国家才会卖得出去,所以每个国家贸易的商品种类为
贸易: 双边贸易为
与armington一样,R1 贸易平衡,R2 利润为0. 并且14式全微分可以得到双边贸易弹性为
其中
可以看到R3贸易弹性似乎不一定得到满足的. 而 直观表示为extensive margin. 在armington是没有extensive margin的,因为所有商品种类一直不变,而这里贸易的商品数是会变的.
和Armington一样,我们可以得到welfare为
14式全微分可以得到
该式带入welfare得到
当弹性全都一样时:
16就会变为之前得到的结论:
假设的重要性: 在这里可以看到R1和R2在完全竞争下没有什么大的影响,完全竞争保证了R2一定成立,R1总收入也等于总产出.主要影响结论的是R3,这个并不是一定能满足的. 什么时候会满足呢? EK假设 是iid的frechet,可以得到
计算可以得到 for , for . 带入到16就可以得到 . 并且
因此在EK设定下是刚好满足R3的条件的.
那是否有其他的设定,在Ricardian Model下也能满足R3呢,文章表示不太可能. 这个还是函数形式的设定还是挺特殊的,它保证了extensive margin都是一样的. 不过一般情况下的设定并不能保证这个,也意味着welfare的形式会变化了.
虽然看起来EK设定下比armington多了个gains from trade,因为可以增加商品种类啊. 不过最后的welfare形式都是一样的.因为换汤不换药的,总的welfare是一样的,armington和EK只是把他归类到了不同来源罢了.因为这俩贸易弹性的解释就不一样,一个是效用函数决定的,一个是生产端决定的.
The Melitz (2003) Model
考虑垄断竞争设定, 还是和Ricardian Model一样的设定,固定成本假设为取决于进出口两国的工资.
商品种类: 有利润才会生产,根据截至生产率来决定产品种类:
贸易:
弹性:
其中表示extensive margin
此时的welfare变化(价格指数变化)变为和之前的形式不一样了
带入截至生产率定义得到
贸易比例20全微分得到
带入到welfare得到
这里可以看到想要得到和之前一样的welfare变化的结论,需要满足的条件就多了啊!首先这个截至生产率前的 得相等,即R3得满足 其次这里多了个厂商数量,要保证这个等于0需要满足两个条件,R1和R2: 由free entry有总利润等于固定成本 , 根据 R2 有利润是总收入的固定比例,而R1可以得到总收入就是工资,那么就有 .
啥时候成立呢?文献中最常用的这个设定下的生产率分布为pareto.此时
此时依然可以得到R3是成立的,并且弹性为 . 依然啊,这很取决于我们怎么设定函数形式!换一个分布这个结论就不存在了.
并且带入双边贸易得到
可以看到这还是取决于 的,而 表示的是固定成本中出口国付出的比例,当 时,R3'才是得到满足的. 这样就会导致,当 时,分析事前贸易成本的变化带来的影响不止需要只要 ,还需要额外知道 ! (并不影响事后因为我们只需要知道 变化即可).
拓展
以上例子可以看到只要R1-R3得到满足就会有优美的welfare prediction. 这里再进行一下拓展.
多行业: 需求为两层:upper tier Cobb-Douglas with lower tier CES,此时价格为
中间品: 此时成本为
