本书来自QuantEcon系列Dynamic Programming VOLUME I: FINITE STATES。 https://dp.quantecon.org/
有很多情况下,折现率都是随机的,尤其是在各种宏观模型中.这里讨论一下怎么处理随机折现率.
Time-Varying Discount Factors
为啥引入随机的折现率,因为现实生活之中利率他也不是个定值,有很大波动,如下图
此时一个厂商的利润就会变为
Theory
对于一般情况下的理论.
state 为有限集. 并且为P-Markov.
折现率满足
value function为
Theorem: 记
如果 ,那么value function可以表示为
证明由Neumann series lemma可以很直接得到.
可以看到当 ,这个问题就变成了一个最基本的Markov Dynamics的问题, .
那么什么时候才能确保 呢,有以下理论:
Lemma: 对于初始的
当且仅当存在一个 使得 . 这里需要计算所有 空间中使得 最大的.
Lemma: 当P是irreducible. 可以有以下简化版本,给定一个初始 :
这表明 就是所有时期 的期望几何平均值.
多个state: 当有多个state variable并且都是Markov process时,可以稍微简化一下计算 : 假设有俩state variable, Z 为 Q-markov, Y 为 R-Markov,并且折现率只和Z有关,那么按照之前的写法:
此时求 比较复杂,因为需要对Z和Y一起求期望.但是因为我们发现折现率只和Z有关,因此我们可以定义
Lemma .
证明只需要直接带入期望即可,在Z和Y不相关的情况下可以得到
有以上条件那么就只需要对Z求期望即可,不需要求Z和Y一起的期望了.
接下来需要证明在折现率也是随机的情况下,该问题满足不动点,依然能用不动点求解.不感兴趣,我知道是满足的就好了!
Optimality with State-Dependent Discounting
考虑在MDP中引入state-dependent折现率,那么Bellman equation如下
此时每一期折现率和state X以及每一期的选择a有关了.
在 时,以上问题的性质和之前一样优美.不过这个条件有点太严格了,后面有放松的条件.
policy operator如下
以及
与之前不同的地方在于,这里我们不能无脑说明 满足不动点了,因为 不再是一个恒小于1的常数了. 有以下理论来说明什么时候可以用不动点
Lemma: 如果对于所有的 , , 那么 有以下唯一不动点
Bellman operator:
Proposition: 如果对于所有的 , , 那么之前MDP所有的结论都成立,即Bellman equation有唯一不动点,对应的v-greedy policy就是optimal policy,存在至少一个optimal policy.
算法
之前的VFI,HPI,OPI都在这里适用. 算法与之前完全一样,除了把 换成 .
外生
一个特例.
以上是最广泛的情况,即折现率受到state以及当期决策的影响.当有两个state variable,折现率只和其中一个有关,并且那一个是外生的,即不受决策的影响,问题可以得到简化.
假设和之前一样,有Y和Z两个state variable,折现率只和Z有关,Z与决策无关.那么Bellman equation写为
这种情况可以简化一下判断 的条件:
Proposition: 记
只要上述定义的 ,该问题就满足所有不动点和bellman 最优化的性质.
Asset Pricing
举个例子.
Risk-Neutral Pricing
假设一个厂商每一期利润 是随机的,总利润为
在这个设定下,厂商是Risk-Neutral的,即只要未来利润的期望是一样的就行. 但是这个设定不是很合理.加入有另一个项目,给的利润是 , 并且 . 那么这俩项目给的总利润是完全一致的:
然而从经济学直觉上来看,另一个项目显然风险更大了,因为每一期的利润有更大的随机性,尽管期望一致,也应该选择风险小的那个才对.因此这个Risk-Neutral的设定不太符合现实.
A Stochastic Discount Factor
为了解决这个问题,考虑以下决策:
消费者选择每期购买资产数量 ,使得效用最大化. 为消费, E 为每期外生给定的工资. 为资产价格. 为外生给定的资产的回报.
FOC得到
可以看到这个式子里清楚的反映了资产价格和资产回报的关系,前面有一个系数
这个系数叫做stochastic discount factor (SDF) or pricing kernel,这个特定函数也叫做Lucas stochastic discount factor
当效用函数是线性时,价格为risk neutral:
当效用函数是CRRA时
A General Specification: 一般形式为
Markov Pricing
做如下假设:
那么资产价格变为
我们假设购买该资产后每一期可以获得 的分红. 因此在 购买在 卖出的资产可以获得 ,那么资产价格就满足
即
那么根据Neumann series lemma,当 ,资产价格为
这个也叫做 equilibrium price function
也可以将资产定价迭代写为分红的无穷期加总:
Nonstationary Dividends
以上假设都是建立在分红满足stationary, 不会无限期增长.
不过一个很常见的假设是
这里 是一个固定的函数, 是一个iid的随机变量,分布为 . 此时分红随着时间增加. 这种情况下就没办法和之前一样算出一个只和 相关的价格函数. 因为价格一定也会随着时间改变.
此时计算price-dividend ratio 并且祈祷这个是不变的.
由两边除以 可以得到
即
接下来来求解该问题,记
那么原问题就可以很简单的写为
由此得到 price-dividend ratio
