Mechanics of Spatial Growth

Sheng Cai，Lorenzo Caliendo，Fernando Parro，Wei Xiang的工作论文Mechanics of Spatial Growth，在dynamic spatial model中加入内生化的knowledge spillover，来研究中国区域经济增长。这里总结下通过人口流动和贸易渠道内生化knowledge spillover的模型。

模型建立在Kleinman et al. (2023)与Caliendo et al. (2019)基础上，加入idea diffusion。其通过两个渠道影响地区生产率。1. 商品进口：本地厂商可以从其他地区进口的商品中学习到生产该商品的技术。2. 人口流动：从其他地区流动到本地区的人员可以与本地区人员交流，提高本地生产率。

使用该模型分析1990s-2000s中国区域经济，发现区域间贸易与人口流动是knowledge spillover的重要渠道，并且对于中国经济增长有重要影响。

Model

地理空间： N个不同地区。

时间设置： 非连续时间

商品种类： EK设置，[0,1]连续统商品（与CDP2019一致）。

人口： 总量不变，可地区间流动，不可跨国。收入来自工资。

Landlord： 不可流动，每个地区人数一样，都是单位人数。收入来自资本收益。

商品市场结构： 完全竞争.

厂商

中间品生产： 与Caliendo et al. (2019)一样，CD生产函数：

其中 、 和 分别是劳动力、资本和最终品投入的需求。 表示中间品生产率。

单位成本： FOC得到单位成本为

其中 、 和 分别表示工资、资本价格和最终品价格， 是常数。

生产率： 需要由之后的innovation和knowledge spillover决定。根据后面推出的结论，服从frechet。即，

最终品： [0,1]连续统商品按照CES组装。每种商品从最低价地区购买。

贸易比例： 由EK结论可得，地区 从地区 购买的商品比例为

价格指数： EK结论得到

商品市场出清： 地区 的总花费 为

表示是企业对中间产品的支出加上消费者对于最终品的支出，其中消费者的收入为

Trade balance：

左侧为 的总进口，右侧为 的总出口。

劳动力市场出清： 消费者收入为总产出的比例：

以上条件联立一下，结合工资与资本租金的FOC，可以消掉花费X与资本租金r，得到只关于工资的式子：

Landowner

Landowner： 与Kleinman et al. (2023)一样orward-looking，不可地区间流动，拥有资本，并且每一期决定投资与消费。一单位消费品可以转化为一单位投资品。资本只在当地使用，不可跨地区流动。效用如下

其中 是折旧率， 为已知。

Policy function: 以上问题求解得到每一期需求与投资

人口流动

消费者效用： 与Kleinman et al. (2023)一样，人们可以在每一期期末选择流动到其他地区，地区 在时间 的消费者效用为

期望效用： 假设 服从T1EV，那么期望效用为 ：

流动比例： 从地区 到 的人口比例为

Law of motion for labor:

Idea Diffusion

以上模型部分给定生产率分布，就可以求解整个模型了。方法按照Kleinman et al. (2023)算法即可。

接下来讨论文章核心内容，生产率 如何决定。

• 对于每种商品，都有大量潜在生产者，拥有不同的生产技术
• 每个生产者由其生产率 进行区分
• 时间 和 之间，每个生产者与其他参与者互动，接触新想法。
• 新想法的生产率可能高于或低于已有想法的生产力
• 生产者只在新想法的生产率大于 时才采用新想法
• 新想法的数量和生产率是随机的

新想法的生产率由以下过程决定：

• 生产者接触到的新想法数量是随机的，遵循泊松分布
• 每个新想法对应的生产率为
• 是生产者本身性质决定的随机生产率，服从 分布。
• 是通过与其他参与者互动获得的生产率，服从 分布。而这个互动来自于人口流动与货物贸易。

我们需要做的是，算出每次新的最大生产率的分布。即所有的 中最大的值的分布。为了计算这个，需要对于z和q'进行一些假设。根据这些假设，可以得到新的分布服从frechet分布，即前面模型中的q的分布。

自身生产率部分

为了简化运算，这里对于 做出假设

假设a： 自身生产率部分 z 的分布为Pareto分布：，其中 为下限， 。

假设 b： 想法扩散的强度 ，严格小于 1。

假设 c： 在时间 和 之间到达的新想法数量遵循泊松分布，平均值为 。

新的生产率分布：  新的生产率 不超过 q 的概率为：

其中第四行等号来源于最低生产率不会低于

使用假设 a 的函数形式，我们得到

值得注意的是，以上式子的推导是不需要给定G的分布的。

最大生产率分布： 假设 c意味着在时间 和 之间，最好新想法的生产率不超过 的概率为：

整理得到：

这个式子看起来比较像frechet了，不过还不完全一致。为此引入假设 d：

假设 d： thin tail分布，即

极限分布： 接下来研究 的极限情况，本文中的核心结论均是基于该极限情况（只是为了获得frechet分布，这样是否合理？）。我们有

其中右侧的第一个项根据假设 d为零。当 时，该表达式仅等于第二项，即 。

因此得到最大生产率分布为

每一期生产率分布：  以上式子得到了每一期新的最大生产率分布，总的分布还取决于当期分布。因为只有当期生产率小于新的最大生产率才会进行生产率更新。记每一期生产率分布为F，那么有

其中最后一行是通过迭代回到 得出的。

注意到，为了得到每一期都是frechet分布，我们需要对第0期的分布进行假设，假设第0期分布为frechet：

那么任何时刻 的 都是frechet：

其中

到此为止就得到了每一期生产率都是frechet分布，这个结论并不依赖于G的假设。

q' from Trade and Migration

接下来需要讨论 q' 的分布。根据之前的设定， q' 来自于于其他参与者的互动。这里的互动为两部分，即从贸易中和从人口流动中进行的学习。因此假设新的生产率根据下式决定：

这里就只是把之前的 写为了 （从人口流动中学习的部分）和 （从贸易中学习的部分）的函数。

参数 为来自两种类型的学习强度，且 。根据之前的结论，假设两种来源的生产率分布分别为 ，我们有

该证明和之前类似，也是需要基于 时的极限情况。

带入人口流动和贸易中生产率的分布，以上积分可以求出以下形式的解：

证明9式需要知道分别来自人口流动和贸易的生产率分布。

Law of motion for A:

这里需要算两个部分的积分，分别来自一下两个分布。

来自人口流动： 这个生产率的分布来自所有流动到地区 的人的生产率分布：

其中 是居住在 的人来自地区 的人的比例，即

根据之前可知F为frechet分布，那么带入可以得到第一个部分的积分为

来自货物流动： 与人口流动类似， 从货物流动中学习的生产率来自于所有到达本地的商品的生产率的分布：

其中 和 分别是frechet的CDF和pdf：

带入上述积分得到分布为

把这个分布带入Law of motion的第二部分积分得到

使用变量替换，定义

那么有

两部分积分结合起来就得到了 9 式。