数学建模是一种将现实世界的问题转化为数学语言，以便分析、理解和预测的过程。Excel 因其易用性、广泛的函数库和数据可视化能力，可以作为数学建模初学者和实际应用者的不错工具（建模也不一定都得编程呀）。本文将通过案例分析，详细介绍如何在 Excel 中进行数学建模，从而解决实际问题。
案例分析1：预测产品销售额
假设我们是一家小型零售商的市场分析员，公司希望预测未来一段时间内某产品的销售额，以便合理安排库存。历史数据显示过去12个月的销售额，目标是基于这些数据，构建一个数学模型来预测未来6个月的销售情况。
1. 数据准备
在 Excel 中创建一个表格来记录历史销售数据，假设 A 列是“月份”，B 列是“销售额”：
| 月份 | 销售额（单位：千元） |
|---|---|
| 1 月 | 15 |
| 2 月 | 20 |
| 3 月 | 18 |
| 4 月 | 24 |
| 5 月 | 22 |
| 6 月 | 27 |
| 7 月 | 25 |
| 8 月 | 30 |
| 9 月 | 29 |
| 10 月 | 35 |
| 11 月 | 32 |
| 12 月 | 38 |
2. 选择模型：时间序列分析
时间序列分析是一种基于历史数据变化趋势预测未来的常用方法。我们可以通过观察数据的波动和趋势，选择合适的模型。在本案例中，可以选择线性回归模型来描述数据的变化趋势。
在 Excel 中使用线性回归非常简单，只需选择“数据”选项卡中的“数据分析”功能，然后选择“回归分析”即可。
3. 构建模型：线性回归分析
为了在 Excel 中完成线性回归分析，首先要添加数据趋势线，并计算销售额与时间的关系。
操作如下：
插入散点图：选中数据区域（包括月份和销售额列），然后选择“插入” > “散点图”。 添加趋势线：右键点击图表中的数据点，选择“添加趋势线”，并选择“线性”。 显示公式和 R² 值：勾选“显示公式”和“显示 R² 值”以便查看拟合结果。
上述案例得到的公式为：y = 1.8427x + 14.273，其中 y 表示销售额，x 表示月份，R² 值为 0.9，表示该模型对数据拟合良好。
4. 预测未来的销售额
通过公式y = 1.8427x + 14.273，可以预测未来6个月的销售额：
13月（x=13）：y = 1.8427 × 13 + 14.273 14月（x=14）：y = 1.8427 × 14 + 14.273 …… 18月（x=18）：y = 1.8427 × 18 + 14.273
在 Excel 中，可以将公式应用到预测区域，实现自动计算。例如，将公式=1.8 * A2 + 12复制到未来月份的单元格中，生成预测值。
5. 验证模型的有效性
验证模型的一种简单方法是通过残差分析。残差是实际值与预测值之间的差值。Excel 中可以用以下步骤计算残差：
计算预测值：在历史数据区域使用模型公式计算预测值。 计算残差：残差 = 实际值 - 预测值。 分析残差：观察残差是否在一个较小的范围内波动，或者是否具有显著的系统偏差。
若残差较小且没有明显的偏差，则表明模型有效。
案例分析2：多变量回归分析（影响销售额的多因素分析）
实际应用中，销售额可能受到多个因素的影响，比如价格、促销活动和季节性因素。假设我们有以下历史数据：
| 月份 | 销售额（千元） | 价格（元） | 促销（是/否） |
|---|---|---|---|
| 1 月 | 15 | 100 | 否 |
| 2 月 | 20 | 95 | 是 |
| 3 月 | 18 | 98 | 否 |
| 4 月 | 24 | 90 | 是 |
| … | … | … | … |
| 12 月 | 38 | 85 | 是 |
1. 数据预处理
在多变量回归中，需要将“促销”转换为数值形式。我们可以用 1 表示“是”，0 表示“否”。
在 Excel 中，可以使用 IF 函数来将“促销”列的数据转换为数值形式，其中“是”表示为 1，“否”表示为 0。假设“促销”列从第 2 行开始，位于 D2:D13，可以在 E 列（例如，E2 单元格）中使用以下公式：
=IF(D2="是", 1, 0)
将此公式复制到 E 列的其他单元格，Excel 会根据 D 列的值自动填入 1 或 0：
如果 D2 的值为“是”，则公式返回 1。 如果 D2 的值为“否”，则公式返回 0。
将公式向下拖拽以填充其他行的数据，整个“促销”列即可转换为数值表示。
2. 进行多变量回归分析
选择 Excel 中的“数据分析”工具。 选择“回归”，并在“因变量”中输入销售额数据，在“自变量”中输入价格和促销数据。 点击“确定”，Excel 会输出回归分析的结果，包括回归系数和显著性水平等。
假设得到的回归方程为：
销售额 = -0.5 × 价格 + 8 × 促销 + 10
3. 解读模型结果
回归方程中各变量的系数反映了它们对销售额的影响。具体解释如下：
价格：价格系数为 -0.5，意味着价格每降低1元，销售额将增加0.5千元。 促销：促销系数为8，表示在促销的情况下，销售额会增加8千元。
4. 利用模型进行预测
在新的数据中，应用回归方程可以预测不同价格和促销策略下的销售额。假设未来一个月的价格为 90 元，并且进行了促销，则预测的销售额为：
销售额 = -0.5 × 90 + 8 × 1 + 10 = 45 千元
这说明，如果继续采用相同的价格和促销策略，公司可以预期销售额将达到45千元。
5. 模型的评价与优化
可以通过增加样本量或考虑更多因素（如季节性、产品评价等）来进一步优化模型。Excel 中也可以利用“预测”和“求解”工具对模型进行进一步的优化和调整，以便做出更加精准的预测。
其他常用的 Excel 数学建模工具
除了回归分析，Excel 中还提供了其他一些有用的数学建模工具：
Solver（规划求解）：适用于线性规划问题，如生产优化、资源配置等。 目标值求解：帮助找到使公式结果满足特定值的输入。 数据透视表：快速汇总和分析数据，为建模提供支持。
通过本案例分析，我们可以看到，Excel 提供了一系列强大且易用的工具，帮助我们在实际问题中应用数学建模。（作者：王海华）
