在数学建模的过程中，我们利用数学手段描述现实问题并给出解决方案。建模不仅需要对问题的深刻理解，还要掌握科学的方法，以便将问题转化为清晰、简洁的数学模型。本文将围绕如何建立一个有效的数学模型进行探讨，并通过实际案例来展示关键步骤和思路。
一、明确建模目标
在建立模型前，首先需要明确建模的目标。这一步决定了模型未来的方向和复杂性。一般来说，建模的目标可以分为以下几类：描述与理解，估计与预测，溯因与解释以及评价与决策（我也称这种目标分类方式为DEED框架，感兴趣的朋友可以参考《模型，就是数学化的思维》一文）。具体来说：
描述与理解：该目标主要关注于建立模型来描述系统的结构和行为，以深入理解其内部运作机制。描述模型可以帮助研究者构建对系统的概念性理解，也为后续的分析和实验设计提供基础。
估计与预测：当我们希望对未来或未观测的数据做出合理的估计或预测时，可以构建模型来进行量化分析。这种建模通常基于已知的历史数据或特定条件下的统计规律，从而推测未来的趋势。预测模型的准确性和可行性在于其对已有数据的合理解释和对未来的科学推断。
溯因与解释：在特定结果或现象已经发生的情况下，溯因模型可以帮助研究者探寻导致该现象的潜在原因。此类模型通常会结合统计推断方法，通过反推条件来确定主要影响因素。通过溯因分析可以找到导致这一变化的因素，从而为后续优化决策提供依据。
评价与决策：该类目标的建模侧重于为特定方案、政策或决策提供评估依据。模型在这里的作用是量化评估不同方案的有效性、经济性和风险性，以帮助决策者在复杂环境中做出合理选择。评价模型往往需要综合多个因素，以确保结果的科学性和可靠性。
目标不同，模型所需的精细程度也随之变化。若模型旨在为农业顾问提供决策支持，简单的经验模型可能已经足够；但若用于实验设计，则需要更详细的结构和更多变量，以捕捉影响因子之间的复杂关系。
二、系统分析与假设
明确目标后，下一步就是分析系统，确定哪些因素对系统行为有重要影响。系统分析的核心在于界定系统边界和做出合理假设。
界定系统边界：系统和环境的区分非常重要。一个良好的系统边界应该能够将影响系统行为的外部因素归类为“环境”，使得系统的影响尽可能不作用于环境。例如，在分析小型松树林的生长时，可以将天气视为环境变量，并通过气候数据来间接表示其对生长的影响。
提出合理假设：假设是模型的基础，描述了我们对系统如何运作的理解。假设可以是关于系统行为的，也可以是关于系统变量之间关系的。例如，在研究人口增长时，一个常见的假设是“在没有限制因素的情况下，人口将以与其规模成正比的速率增长”。通过这种假设，我们可以将模型简化为一个经典的指数增长微分方程：
其中， 表示时间 时的人口规模， 为增长率常数。解得：
通过这种假设和方程，我们可以初步预测人口在不受限制条件下的增长趋势。然而，若模型中的假设不符合现实，如食物供应有限、栖息地拥挤等，则模型预测结果可能会偏离实际情况。对假设的选择和验证是建模的核心。
三、模型框架的构建
在明确系统边界和假设之后，我们需要将系统转化为可操作的数学框架。这一过程包括定义状态变量、选择方程形式和设计系统流图。
定义状态变量：状态变量是描述系统状态的基本要素。它们是模型中用来量化系统当前状态的信息。例如，在人口模型中，状态变量可以是人口规模；在能源模型中，状态变量可能是动物的体重和摄入的能量。
选择方程形式：选择合适的数学方程来描述状态变量之间的关系。常用的方程形式包括微分方程、差分方程和概率模型。例如，当模型涉及连续变化的变量时，可用微分方程；当变量是离散的，则用差分方程；若包含随机性，可引入概率模型。
建立流程图：流程图可以帮助我们直观地表示系统结构和变量之间的关系。流程图包括状态变量、物质流通道和信息流通道，通常用于更复杂的系统描述。例如，针对牛生长的能量模型，可以使用流程图表示体重（状态变量）、能量摄入（源）和能量消耗（汇）之间的关系。
四、选择合适的数学方程
数学方程是模型的核心，决定了模型的运算规则和预测效果。在选择方程时，我们可以参考已有文献，或者通过数据拟合来探索新的关系。
从文献中选择方程：某些学科已经形成了标准的模型方程，例如物理中的扩散方程、流体力学方程等。这些方程通常能很好地描述对应领域内的系统行为。以生物扩散为例，可以利用扩散方程来描述物种迁移的过程：
其中 表示在时间 和位置 处的粒子浓度， 为扩散系数。
数据拟合探索方程：当缺乏理论依据时，可以采集数据，通过回归分析拟合出描述变量间关系的方程。这种方法常用于非线性关系较强或未知系统的建模中。例如，当我们不清楚变量如何影响生长率时，可以通过收集实验数据拟合出描述变量与生长率的关系方程。
五、求解方程：解析法与数值法
得到方程后，需要选择求解方法。求解方法主要有解析法和数值法。
解析法：解析法即通过数学运算得到精确解。这种方法通常适用于简单的线性模型。在模型较为简单且方程可以直接求解的情况下，解析法是一种高效而准确的方法。
例如，简单的微分方程 的解为：
然而，当方程较为复杂或包含非线性项时，解析解可能无法得到，这时就需要使用数值方法。
数值法：数值法即通过计算机程序模拟系统的状态变化，得到方程的近似解。常用的数值方法包括欧拉法和龙格-库塔法。以二阶微分方程 为例，该方程的解析解是余弦函数。我们可以用数值方法模拟这个过程，如用四阶龙格-库塔法（Runge-Kutta）获得较高精度的近似解。
六、验证与改进
模型构建完成后，需要对模型进行验证和改进。验证模型的主要方法包括对比模型预测与实际数据，以及考察模型的鲁棒性（即在参数变动下模型的表现）。验证步骤可以帮助我们识别模型中的假设是否合理，方程选择是否准确。
对比预测与实际数据：通过将模型预测与实际数据进行对比，我们可以评估模型的准确性。若模型预测偏差较大，可能需要重新审视假设，或是引入更详细的系统变量和方程。
调整模型：模型验证后，可能会发现一些假设并不准确，如某些参数对模型结果的影响较大。此时可以考虑调整模型结构，或引入随机性和空间性等因素。例如，在人口模型中，可以加入环境变量或扩展到空间分布模型，使得模型更符合现实。
案例分析：人口增长模型
以人口增长模型为例，假设在无限资源的情况下，人口按指数增长。然而在现实中，食物、栖息地等因素对人口增长有制约作用，这时我们可以考虑引入“环境承载量”概念，将模型修改为逻辑增长模型：
其中， 为增长率， 表示环境的携带容量。模型预测将不再是无穷增长，而是在达到携带容量时趋于平稳。通过这种改进模型，更能准确地描述自然种群的实际增长情况。
数学建模是一个从问题分析到构建、验证再到调整的复杂过程。成功的建模不仅需要在构建框架和选择方程时科学严谨，还需在验证模型时关注细节，通过假设调整和参数优化，不断提高模型的准确性。掌握数学建模的流程和方法，可以帮助我们更好地理解和描述复杂系统。（作者：王海华）
