有时候感觉数学建模就像猜谜，有时候能猜的很准，有时候则相差万里。
我们从复杂的现实中抽取出简化的模型，通过设定一系列的假设，试图对某些现象进行解释或预测。
然而，问题在于，大多数模型常常只停留在表面假设上——我们看到现象，做出假设，构建模型，然后进行求解和分析。到此为止吗？当然不是。真正的数学建模高手会深入思考，追问这些假设的合理性，并不断向下挖掘，直到触及本质的第一性原理。
第一性原理，它不依赖于任何现有理论，而是通过还原到最基本的事实，直击问题的根本。本文将从一个简单的文章阅读量模型出发，揭示如何通过第一性原理探求数学建模假设背后的假设，推动我们走向更加坚实可靠的模型。
1. 表象的假设
假设你刚写了一篇文章，发布后每天有一批人阅读，你观察到阅读量曲线逐渐上升，但增长速度似乎越来越慢。
这时候，直觉可能告诉你：好吧，这应该是一个典型的逐步趋于稳定的增长曲线。于是你顺手写下了一个常见的模型：
这个模型意味着随着时间 的增加，阅读量 增长，但增长速度却越来越慢，甚至最终趋于零。这是一个十分典型的"递减"模型，表明系统增长受到某种抑制机制的影响一一开始增长很快，但最终减缓。
看似合理，对吧？问题在于，为什么？这个模型看起来“正常”，甚至可能对数据拟合效果还不错，但它真的有足够的理论支持吗？它背后的逻辑链条是怎样的？ 这就是我们接下来要深挖的地方。
2. 假设的背后
当我们简单假设“增长速度变慢”时，实际上是基于某些潜在因素的。但这些因素并没有被直接体现在模型中，或者说它们只是被模糊地表现为“某种抑制”。我们可以从以下几个方面来思考模型背后的假设。
读者兴趣的自然衰减：人们对于一篇文章的兴趣随着时间推移可能会自然下降，尤其在互联网上，人们的注意力被源源不断的新内容所吸引，这导致旧文章逐渐被遗忘。
推荐算法的衰退效应：大多数内容平台有一个“推荐窗口”，新内容会在发布后的短期内获得更高的曝光率，而随着时间的推移，平台的推荐系统会将资源倾斜到更新的内容，导致老文章的曝光率逐渐下降。
用户转发行为的减弱：在文章发布的早期阶段，读者的转发行为较为频繁，但随着时间的推移，转发的热度下降，进而导致新读者的减少，阅读量的增长也趋于停滞。
这些假设与现实世界的规律相符，然而，我们还需要进一步问：这些现象背后究竟是什么在起作用？或者更直接地说，是什么驱动了读者兴趣衰减、推荐减少、转发减弱？这就引出了更深层的假设分析。
3. 追溯假设的根源
当我们深入思考以上现象时，会发现它们都是在更基本的原则下运作的。为了更好地理解这些现象，我们可以借助第一性原理的思维方式，追溯每个假设背后的根本原因。
读者兴趣衰减的本质
读者兴趣衰减本质上是人的认知和注意力机制在起作用。注意力是有限的资源，它总是被新奇、有趣或者与当前需求相关的事物所吸引。旧的内容逐渐失去吸引力，这是一个基于信息过载的原理：互联网提供的信息量庞大，人们的注意力只能分配给有限的内容。在新的信息涌入时，旧的内容自然而然地被边缘化。
这里，我们可以从心理学和认知科学的第一性原理出发，假设人们的兴趣衰减是一个自然的、非线性过程。模型可以从简单的衰减假设转向一个更符合人类认知模式的复杂模型。例如，可以引入一个与内容“新鲜度”相关的函数：
其中， 是一个衡量新鲜度减弱速度的参数。这个模型源于人类的注意力机制，揭示了阅读量随着时间的自然衰减规律。
平台推荐衰减的驱动力
平台的推荐机制也有其第一性原理。大多数内容平台的目标是最大化用户的停留时间和参与度，为此，它们必须不断向用户推荐最新的、最相关的内容。因此，旧文章在推荐系统中的权重会逐渐降低，这是因为平台在最大化整体效用的过程中，对时间敏感的内容自然会被优先推荐。
这种现象背后隐藏着一种资源竞争的第一性原理：平台有有限的推荐资源，它需要将这些资源分配给最能“抓住”用户注意力的内容。而随着时间推移，老文章逐渐失去竞争力，因此它们的推荐频率下降。这是一个典型的经济学原理：资源的稀缺性和效用最大化。
这个原理可以被量化为一个平台推荐权重的衰减模型，例如：
这里， 代表平台在时间 对文章的推荐概率， 是控制推荐衰减速度的参数。该模型能够更好地反映推荐系统的动态变化过程。
社交传播衰减的本质
社交网络中的转发行为同样受制于第一性原理：早期的传播主要依赖于核心用户的扩散，而当这些核心用户已经接触并分享过内容时，后续的传播速率会下降。
4. 第一性原理下的模型重建
通过上面的一系列分析，我们从读者兴趣衰减、平台推荐衰减和社交传播衰减三个方面，基于第一性原理重新审视了阅读量随时间变化的模型。每一个现象的背后，都有着更加根本的动力机制，而这些机制决定了模型的结构。
我们可以构建一个更加复杂的混合模型，结合这些不同的衰减因素，将它们统一在一个数学框架下。
（未完待续，我还没完全确定好，欢迎读者们留言给出高见）
希望这个模型不仅捕捉了阅读量随时间的变化趋势，还能够反映出平台推荐和社交传播的动态影响。通过这种方式，我们得到了一个更符合实际的、理论上坚实的数学模型。
数学建模不仅仅是对数据进行拟合或预测，更重要的是通过追问假设背后的假设，深入到问题的根本。
通过对问题本质的追问，我们可以超越表象，构建更加可靠和解释力强的模型，使我们的预测和决策更加准确，科学地揭示现象背后的本质。（作者：王海华）
