在社会生活中，人际交往是无处不在的。无论是朋友之间的互动，还是职场中的合作，甚至亲密关系，都可以看作是一种交换。然而，这种“交换”并非总是物质上的，更多时候涉及情感、信息、资源和机会等抽象元素。
本文我希望通过数学建模的方式，深入理解人际交往的本质，同时揭示其背后的“交换”逻辑。
一、人际交往的交换本质
人际交往中的交换并非是直白的“给我这个，我给你那个”那么简单，而是涉及多种要素。社会学中有一种观点叫“社会交换理论”，认为：
人类的交往行为是基于成本-收益的计算，追求最大化自己的利益。
换句话说，人们在互动中会不断评估自己获得的收益和付出的成本，从而决定是否继续维持或终止这段关系。
通过对成本、收益、关系稳定性等因素进行建模，我们可以更加精确地分析人际交往的动力和机制。
二、人际交往的数学建模
成本-收益模型
首先，我们可以借用成本-收益模型来描述人际交往中的交换过程。
假设在一段人际关系中，每一方都追求自己的最大利益。为了简化，我们可以假设一个人际交往过程中的成本（Cost）和收益（Benefit）可以量化表示为函数 和 ，其中 表示第 个个体：
其中， 表示个体 在关系中投入的资源（时间、金钱、情感等）， 是与之对应的收益函数， 是成本函数。
为了便于分析，我们可以定义关系的“净收益” 为收益减去成本：
交换平衡的条件
在一个交往关系中，双方的交换是否平衡是关系稳定的关键。如果一方在交往中感受到不公平，净收益远小于另一方，那么关系往往会失衡，最终可能导致关系破裂。
我们假设有两个人 和 ，他们在这段关系中的净收益分别为 和 。关系稳定的条件可以用以下不等式来表示：
其中， 是一个表示双方可接受的不平衡程度的阈值。如果双方的净收益差异超过了这个阈值，那么关系将面临不稳定的风险。
主观感知权重
当然这里也存在视角的问题，交往的双方对成本和收益的定义和计算可能是不同的，换句话说，双方对“平衡”的理解往往存在主观差异。
对同一事件， 和 的感受和评价可能大相径庭。这种主观性增加了衡量关系平衡的复杂性，也表明模型中的阈值 并非固定，而是由双方的主观感知决定。比如在朋友关系中，一个人可能认为陪伴是最重要的，而另一个人则可能更看重金钱的支持。这种不同的价值观和期望也会影响双方对净收益 和 的计算。
在这个情况下，我们不仅需要考虑客观的投入和产出，还应结合主观因素进行调整。我们可以引入“感知权重” 来调整每个个体对不同成本和收益的感知。例如：
其中， 和 分别表示个体 对收益和成本的感知权重。这些权重可以反映不同的人在交往中关注的侧重点，从而影响他们对关系的评价。
案例：出走的决心
我们拿最近上映的电影《出走的决心》来尝试举例。这部影片讲述了一个中年女性长期在家庭中付出，却始终得不到应有的回报，最终选择“出走”（离开家成为自驾一族）的故事。从这个角度来看，我们可以用之前讨论的数学模型来分析影片中的人际关系。
电影《出走的决心》宣传海报
1. 影片中的成本-收益分析
在《出走的决心》中，女主角在家庭中承担了大量的责任，包括照顾父母、养育子女、打理家务等。这些责任构成了她在关系中的投入，即成本 ，其中 是她在时间、精力、金钱等方面的投入。
影片通过展现她的生活片段，描绘了她在家庭中长期付出的现状，而这种投入换来的回报却十分有限。她的丈夫和孩子习惯了她的付出，逐渐认为这是理所当然的，使得她在关系中得到的收益 越来越少。
为了刻画这种关系中的不平衡状态，我们可以用女主角的净收益来表示：
影片中，女主角的投入持续增加，而她的收益却没有呈线性增长。相反，随着时间的推移，她的净收益逐渐变为负值，这反映了她在关系中付出多、收获少的状态。由于她的付出没有得到相应的回报，她内心积累了不满和压抑，这种情感在数学模型中可以被视为她的净收益远远小于零的结果。
2. 交换平衡的缺失
在影片的情节中，女主角的净收益与家人的净收益差距越来越大。根据我们之前讨论的交换平衡条件：
这里， 代表女主角的净收益， 代表她家庭中其他成员的净收益。家庭成员通过她的付出获得了许多便利和支持，因此他们的净收益 相对较高。而女主角的净收益 则因为付出过多、回报不足而逐渐下降。这种净收益差异逐渐超过了她的容忍阈值 ，导致了关系的失衡。
博弈论视角
从博弈论的视角看，女主角与家庭的关系是一种动态博弈。
她原本的策略是无条件付出，期待家庭成员能够理解并给予她同等的关爱和支持。然而，随着她不断地付出，家庭成员的策略选择逐渐固化，他们默认了她的付出，而不再主动去平衡这段关系。双方形成了一种不对等的“均衡”状态，类似于一个单方面获利的纳什均衡。
在这种情境下，女主角意识到自己无法通过现有策略获得更多的净收益，于是她选择改变策略——追求自我，摆脱家庭的束缚。这种策略调整打破了原有的博弈均衡，迫使其他家庭成员重新评估他们的策略。影片中，她的出走并不仅仅是对家庭的不满，也是对整个不平衡关系的反抗，是她为打破固有的博弈模式所做出的选择。
通过对人际交往进行数学建模，我们尝试揭示其背后的交换逻辑：人们在互动中不断评估自己的收益与成本，追求一种动态的平衡。这种平衡的破裂往往是关系矛盾和冲突的根源，而重新寻找平衡的过程则是人们在关系中不断成长和调整的体现。
理解人际交往的本质，是为了更好地经营关系；而建立健康的关系，是为了我们能在追求平衡的过程中，找到属于自己的自由和幸福。（作者：王海华）
